基于簡易裝置的空氣柱共鳴的聲速測量實(shí)驗(yàn)

翦知漸，周艷明，謝 中

(湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心，湖南 長沙 410082)

“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的教學(xué)模式有了很多變化和發(fā)展[1，2].目前各大MOOC平臺(tái)上有很多高校都開設(shè)了大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程，作為線下課程的一種有益補(bǔ)充發(fā)揮了很好的作用[3-5].同時(shí)，線下課程的教學(xué)也大量融入了線上教學(xué)的元素，虛實(shí)結(jié)合的教學(xué)模式已成為物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)的新方向[6，7].一直以來，大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的MOOC課程的實(shí)驗(yàn)操作部分主要是以虛擬仿真實(shí)驗(yàn)為載體，而虛實(shí)結(jié)合教學(xué)模式的實(shí)驗(yàn)操作部分基本上是在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境中完成的，所以要在學(xué)生動(dòng)手能力培養(yǎng)等方面滿足課程教學(xué)大綱的要求仍舊離不開實(shí)驗(yàn)室的基礎(chǔ)環(huán)境.如何使實(shí)驗(yàn)課程的遠(yuǎn)程教育發(fā)展得更均衡、更有效力，是物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)的從業(yè)者們需要思考的問題，而今年的新冠疫情使得全世界的實(shí)驗(yàn)課程教師都直接面對(duì)了這一問題，很多人都給出了各自的解決方案——“宅+實(shí)驗(yàn)”[8]，這些教學(xué)方案在實(shí)際教學(xué)過程中發(fā)揮了巨大的作用，也取得了很好的效果.

湖南大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心設(shè)計(jì)了一系列的居家實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，再加上虛擬仿真實(shí)驗(yàn)，基本可以替代實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下的實(shí)驗(yàn)教學(xué).這些實(shí)驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)基于居家環(huán)境下隨手可得的實(shí)驗(yàn)器材，不以精確測量為主要目的，側(cè)重于對(duì)學(xué)生實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)能力、動(dòng)手能力、數(shù)據(jù)處理能力的訓(xùn)練.因?yàn)閷?shí)驗(yàn)條件的限制，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能誤差較大，但通過分析實(shí)驗(yàn)的物理過程，控制實(shí)驗(yàn)條件或改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方案，都可以有效提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精度，這個(gè)過程對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)是很有益處的.

本文討論其中的一個(gè)項(xiàng)目“空氣柱振動(dòng)的頻率特性”，并對(duì)實(shí)驗(yàn)過程中的一些影響因素進(jìn)行分析，消除系統(tǒng)誤差后，聲速的測量結(jié)果在誤差范圍內(nèi)與標(biāo)準(zhǔn)值符合.

1 實(shí)驗(yàn)原理與實(shí)驗(yàn)方案

1.1 實(shí)驗(yàn)原理

本實(shí)驗(yàn)的研究對(duì)象是空氣柱振動(dòng)發(fā)聲時(shí)的共鳴現(xiàn)象.聲波在一頂端開口、底端封閉的均勻圓柱形容器中傳播時(shí)會(huì)在底部被反射，容器中的聲場實(shí)際上為入射波與反射波的疊加，如圖1(a)所示，聲源頻率合適時(shí)，將形成穩(wěn)定的駐波.瓶底反射處是剛性反射面，因而形成波節(jié).如果瓶口處正好是波節(jié)，則該處空氣的振幅基本為零，對(duì)向外發(fā)出的聲音沒有貢獻(xiàn)，此時(shí)聽到的聲音就會(huì)比較小；如果瓶口處是波腹，則對(duì)外發(fā)出的聲音將會(huì)增強(qiáng)出現(xiàn)共鳴的現(xiàn)象，波幅增加一倍，聲強(qiáng)增加到四倍.所以，如果聲源是多頻率混合的，容器會(huì)有“選頻”的作用，符合共振條件的音頻將會(huì)被放大.

圖1 管狀容器中聲波的共振

因?yàn)橄噜彽牟ü?jié)與波腹的間距是λ/4，所以能產(chǎn)生共振的最長的波長是4L，如圖1(b)所示的半個(gè)駐波；每當(dāng)波長滿足L=λ/4 +nλ/2(n為任意非負(fù)整數(shù))時(shí)，都將會(huì)產(chǎn)生共振.因此，最長波長4L對(duì)應(yīng)的頻率f(f=c/4L，c為空氣中的聲速)稱為基頻，相應(yīng)的3f、5f、7f……是泛音頻率.空氣柱對(duì)外傳播的聲音是一個(gè)復(fù)音，基頻決定了空氣柱發(fā)聲的音調(diào)，泛音決定了它的音色.

當(dāng)向容器中注水時(shí)，聲源實(shí)際上是水流撞擊水面發(fā)出的聲音，這個(gè)聲音里面包含的頻率非常豐富.頻率不符合共振條件的聲音，將很難傳出容器，而頻率符合共振條件的聲音將會(huì)被放大，所以聽到的聲音基本上只有符合共振條件的音頻.注水的過程中，空氣柱的長度將會(huì)逐漸縮短，也就是共振的波長越來越短，所以聽到的聲音其音調(diào)越來越高.

設(shè)空氣柱的長度為L=L0-βt，這里L(fēng)0是測量開始時(shí)空氣柱的長度，β是均勻注水時(shí)瓶中水面上升的速度.因此聽到的聲音頻率(基頻)將會(huì)是

(1)

由實(shí)驗(yàn)測出注水過程中聲音頻率的變化，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)處理后，聲音頻率的變化應(yīng)該能滿足式(1)，并可由此求得聲速值.

1.2 實(shí)驗(yàn)器材與實(shí)驗(yàn)步驟

準(zhǔn)備一細(xì)長、均勻的圓柱形透明容器(細(xì)長的瓶子或水杯)；米尺；膠帶；一部下載了Phyphox APP軟件的智能手機(jī)(圖2).在接近容器底部的位置做一水平標(biāo)志并測量其到頂端的距離L0(主要是防止容器內(nèi)的底部不夠平整)，打開水龍頭往容器中勻速注水，控制流速使得容器注滿水的時(shí)間至少為30秒(但要保持水流連續(xù)).然后用手機(jī)秒表功能測量水面高度從底部標(biāo)志線增漲至瓶口時(shí)所需的時(shí)間t0，則可得β=L0/t0.

圖2 實(shí)驗(yàn)所用器材：細(xì)長容器、米尺、膠帶、智能手機(jī)

保持水的流速不變，清空容器，準(zhǔn)備開始實(shí)驗(yàn).打開手機(jī)App Phyphox的“Frequency history”功能模塊，水面高度到達(dá)底部標(biāo)志線時(shí)開始測量，Phyphox將會(huì)記錄每個(gè)時(shí)刻接收到的聲音頻率，數(shù)據(jù)還會(huì)以圖形的方式實(shí)時(shí)顯示在屏上.數(shù)據(jù)記錄界面如圖3所示.水面快接近瓶口時(shí)停止測量，在菜單欄中選擇“Export Data”導(dǎo)出數(shù)據(jù).

圖3 Phyphox的數(shù)據(jù)記錄界面

2 數(shù)據(jù)處理

首先觀察數(shù)據(jù)記錄的圖形，如圖4所示.“Frequency history”功能模塊的采樣周期是0.04545s，采樣頻率約22Hz，使用不同的容器、不同水流速度進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，其記錄的數(shù)據(jù)分布會(huì)有較大差別.為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？

圖4 兩次不同的實(shí)驗(yàn)，記錄數(shù)據(jù)顯示的圖形

因?yàn)锳PP是先對(duì)接收到的聲音信號(hào)作頻譜分析，在采樣的那個(gè)時(shí)刻，APP所記錄的頻率是該時(shí)刻聲音頻譜中強(qiáng)度最大的頻率分量.因?yàn)樗魉俣炔煌⑷萜鞑馁|(zhì)不同、周圍環(huán)境不同等都會(huì)使得聲音的頻譜不一樣，因而各時(shí)刻采集到的聲音頻率就會(huì)不一樣，其中會(huì)包含基頻f的聲音、泛音3f甚至5f的聲音，還有環(huán)境噪音.因?yàn)樗鬏^小聲音低沉，而且高頻聲音易于衰減，所以數(shù)據(jù)記錄中基頻的數(shù)據(jù)點(diǎn)最多.可以看到，基頻帶是位于數(shù)據(jù)圖下方的那條較粗的數(shù)據(jù)帶，其他的則是噪音和泛音的數(shù)據(jù)點(diǎn).

將數(shù)據(jù)導(dǎo)入Origin并作出頻率值的散點(diǎn)圖，圖5是某次測量的數(shù)據(jù).因?yàn)閿?shù)據(jù)記錄中基頻的數(shù)據(jù)點(diǎn)最多，形成了帶狀，所以對(duì)數(shù)據(jù)的處理主要是針對(duì)基頻帶的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，因此要將基頻帶之外的數(shù)據(jù)點(diǎn)排除，利用Origin的“屏蔽數(shù)據(jù)點(diǎn)”功能即可做到這一點(diǎn).對(duì)屏蔽處理后的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行非線性擬合，結(jié)果如圖6所示.

圖5 頻率記錄值的原始數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖

圖6 基頻帶數(shù)據(jù)點(diǎn).紅色的數(shù)據(jù)點(diǎn)是被屏蔽的非基頻點(diǎn)，紅色曲線是對(duì)基頻帶的非線性擬合結(jié)果

根據(jù)頻率隨時(shí)間的變化關(guān)系式(1)，非線性擬合所采用的函數(shù)表達(dá)式為

(2)

比較式(1)和式(2)，可以得到對(duì)應(yīng)關(guān)系：a? 4L0/c，b?-4β/c.

圖6中的數(shù)據(jù)其擬合結(jié)果為：參數(shù)a=0.00234，b=-4.588×10-5，COD=0.95974.可以看到，對(duì)于非線性擬合而言，擬合曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合得還是相當(dāng)不錯(cuò)的.

聲速的計(jì)算：因?yàn)槭腔l帶，故聲波波長為λ(t) = 4(L0-βt)，所以我們得到聲速為

(3)

將測得的初始參數(shù)L0和β代入，可得到時(shí)刻ti的波長λ(ti)，從擬合曲線中可得到時(shí)刻ti的頻率擬合值f(ti)，因此有

(4)

N為有效數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù).圖6的這組數(shù)據(jù)中，L0= 0.178 m，β=0.003765 m/s，利用式(4)計(jì)算可以得到c= 303.5 m/s.

作為比較，測量時(shí)室溫下的標(biāo)準(zhǔn)聲速值約為338.9 m/s.從結(jié)果中可以看出，測量值與標(biāo)準(zhǔn)值有較大偏差.

3 對(duì)測量結(jié)果的分析和修正

利用空氣柱共鳴演示共振現(xiàn)象，并用于測量聲速的實(shí)驗(yàn)多見于報(bào)道[9-11]，但相關(guān)研究基本上只給出了實(shí)驗(yàn)方法，并未對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析.一般來說，測得的聲速與標(biāo)準(zhǔn)值比較其偏差基本在容許范圍之內(nèi).

本實(shí)驗(yàn)方案所得結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值相差頗大(10.5%)，已超出了正常范圍.雖然簡陋的測量條件會(huì)帶來較大的誤差，但這里長度的測量誤差小于2%，時(shí)間的測量誤差在2%左右，即便再考慮其他因素帶來的誤差，測量結(jié)果的偏離也不應(yīng)該有如此之大，一定存在某種系統(tǒng)誤差.

3.1 L0的修正值

在本實(shí)驗(yàn)中，因?yàn)楣荛L較短，聲波傳輸?shù)淖杩固匦詭淼挠绊懖荒芎雎?，由此產(chǎn)生的誤差必須考慮.設(shè)管長為L，管半徑為r，聲波波數(shù)為k，管底(x= 0)為聲源，其阻抗為Z0；管口處(x=L)阻抗為ZL，有如下關(guān)系[12]：

(5)

其中S為管橫截面積(πr2)，ρ0、c分別為空氣密度與空氣中的聲速.

因?yàn)楣芸谑情_放的，存在聲輻射，所以其阻抗為輻射阻抗[12]：

ZL=ρ0cS(R1(2kr)+jX1(2kr))，

R1(x)=1-2J1(x)，

X1(x)=2H1(x)/x

(6)

其中J1為一階Bessel函數(shù)，H1為一階Struve函數(shù).當(dāng)頻率較低時(shí)(kr<<1)，上式簡化為

(7)

實(shí)際上只要kr<0.5上式即可成立.

空氣柱共振的條件是Z0為一個(gè)純粹的聲阻(虛部為零)，將式(7)代入式(5)，在kr<<1的條件下可得共振條件為

tan(nπ-kL)=(8/3π)kr≈tan(8kr/3π)

(8)

ΔL=8r/3π ≈ 0.85r

(9)

稱為末端修正或管口修正，這個(gè)現(xiàn)象相應(yīng)地也稱為管口效應(yīng).

圖6的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，所用容器的管口直徑為0.048 m，因此ΔL= 0.0204 m，ΔL/L0超過了11%，可見末端修正帶來的影響很大.

實(shí)際上末端修正可以很容易用實(shí)驗(yàn)證明：將實(shí)驗(yàn)用的容器清空，放入一個(gè)連接了可調(diào)節(jié)頻率的音頻發(fā)生器的小手機(jī)耳機(jī)(如使用手機(jī)App如Frequency Sound Generator作為音頻發(fā)生器).開始時(shí)容器內(nèi)的耳機(jī)聲音很小，實(shí)驗(yàn)者很難聽到，當(dāng)改變頻率至最低共振頻率時(shí)，實(shí)驗(yàn)者即可聽到明顯的共鳴聲.從測得的最低共振頻率可以計(jì)算出波長，從而得到空氣柱的長度.實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)，末端修正基本是正確的.

見于文獻(xiàn)報(bào)道的其他類型空氣柱共鳴的實(shí)驗(yàn)中，因?yàn)榭諝庵^長而管直徑較小，而且測量的往往是高于基頻的共振頻率，因此管口修正帶來的影響較小，一般都忽略或歸入了測量誤差.本實(shí)驗(yàn)是在簡陋環(huán)境下進(jìn)行的，一般使用的都是短而粗的容器，所以管口修正帶來的影響就不能忽略.

3.2 β值對(duì)結(jié)果的影響

β是一個(gè)測量值，其意義為管中水面上升的速度，看起來似乎與管口效應(yīng)無關(guān)，但從前面的分析中可知基頻的波長表達(dá)式為4(L0-βt)，所以β真實(shí)的意義是“空氣柱長度”縮短的速度，而空氣柱的長短是與末端修正有關(guān)的.

實(shí)際上，在3.1中計(jì)算管末端的阻抗ZL時(shí)，是在低頻近似下(kr<0.5)得到表達(dá)式(7)的，當(dāng)頻率逐漸升高的時(shí)候這一點(diǎn)并不能總是被滿足.如圖7所示[12]，當(dāng)頻率較高時(shí)管末端阻抗ZL的實(shí)部R1增加得很快，虛部X1也不再近似滿足與kr的線性關(guān)系，隨著kr的增加X1是一個(gè)逐漸減小的振蕩.因此高頻時(shí)管口效應(yīng)帶來的影響是很復(fù)雜的，固定不變的末端修正公式(9)不再適用.因此空氣柱長度的變化不僅與β有關(guān)，也與末端修正值隨時(shí)間(頻率)增加而引起的變化有關(guān)，這實(shí)際上也就意味著β不再是一個(gè)常數(shù)，而與時(shí)間有關(guān).

圖7 輻射阻抗的實(shí)部和虛部隨x變化的關(guān)系曲線.R1為實(shí)部，X1為虛部，其中x = kr

另一方面，β作為測量值是一個(gè)常數(shù)，在公式中也是一個(gè)常數(shù)參量.聲速計(jì)算公式(3)是時(shí)間的非線性函數(shù)，計(jì)算結(jié)果對(duì)β的變化非常敏感.如圖8所示，如果輸入不同的β值，聲速的計(jì)算結(jié)果隨時(shí)間的變化趨勢(shì)可能完全相反.圖8中兩條曲線顯示的是在測量水面上升速度β時(shí)，水面升至瓶口的時(shí)間僅僅相差±0.9 s的結(jié)果，這樣的誤差在手動(dòng)測量時(shí)間的時(shí)候很容易產(chǎn)生.

圖8 β值的微小變化給聲速計(jì)算值帶來的影響.灰色點(diǎn)是β取值偏小的結(jié)果，黑色點(diǎn)是β取值偏大的結(jié)果

所以為了減小β的測量誤差帶來的影響，再考慮到這種影響隨時(shí)間非線性增加的因素，在計(jì)算聲速的時(shí)候應(yīng)該截?cái)鄷r(shí)間較大的數(shù)據(jù)(也就是高頻部分).怎樣確定時(shí)間的截?cái)帱c(diǎn)？從前面的分析來看，末端修正式(10)成立的條件是kr< 0.5，或者說是λ>4πr，對(duì)于基頻來說就是4(L0-βt) > 4πr，因此要求：

(10)

將β和修正后的L0代入式(4)，應(yīng)用式(10)截?cái)喔哳l部分的數(shù)據(jù)點(diǎn)，即可計(jì)算出聲速測量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其討論

為了驗(yàn)證本實(shí)驗(yàn)方法的有效性，本文選擇了一些不同的容器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，它們的區(qū)別主要是長度和直徑的比值不同.所得結(jié)果如表1所示.

表1 不同長度與口徑的圓形容器測得的聲速

表1中r為容器內(nèi)半徑，L0為初始長度，L0/r為長度/半徑比，c為按前述方法測量并計(jì)算所得的聲速，E為與標(biāo)準(zhǔn)聲速的偏差(實(shí)驗(yàn)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)聲速為344.5 m/s).從表中數(shù)據(jù)可以看出，細(xì)長容器所得結(jié)果更為準(zhǔn)確，而且比值L0/r越大結(jié)果越好.當(dāng)長度/半徑比小于4的時(shí)候，誤差較大，用這種方法來測量聲速已不適用.

實(shí)際上，當(dāng)長度/半徑比很小的時(shí)候，容器已經(jīng)不能看作是“管”了，而應(yīng)該看做是一個(gè)“聲容”，前述的討論將不再適用.

4 結(jié)論

基于簡易測量裝置進(jìn)行的空氣柱共鳴實(shí)驗(yàn)，易于操作，但在物理原理的學(xué)習(xí)與理解方面還是很有價(jià)值的.在實(shí)驗(yàn)過程和數(shù)據(jù)處理過程中，學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)發(fā)掘與提取等方面得到很好的訓(xùn)練，同時(shí)對(duì)如何改善實(shí)驗(yàn)環(huán)境、消除引起誤差的因素等方面得到實(shí)際的鍛煉，提高了實(shí)際動(dòng)手解決問題的能力.

因?yàn)閷?shí)驗(yàn)條件的限制，本實(shí)驗(yàn)研究的空氣柱是在短而粗的容器中進(jìn)行的，這就產(chǎn)生了一些新的問題.本文經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算聲速時(shí)需要考慮管口的聲輻射導(dǎo)致的管口效應(yīng)，應(yīng)該給管長加上一個(gè)修正值，同時(shí)還需截?cái)囝l率較高的數(shù)據(jù)點(diǎn)，這樣才能得到正確的聲速測量結(jié)果.作為基本聲學(xué)知識(shí)的延伸，本實(shí)驗(yàn)方案提供的數(shù)據(jù)處理方法可以使學(xué)生在多方面得到訓(xùn)練和提高.