Cutoff對FitzHugh-Nagumo方程行波解最小波速的影響

吳 瓊,潘超紅

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽421001)

0 引 言

FitzHugh-Nagumo方程

f(u)=u(1-u)(u-a),a<0,

(1)

是Hodgkin-Huxley模型的簡化，該方程最初由霍奇金研究尖峰沿神經(jīng)傳播而產(chǎn)生的[1]。方程(1)在物理、生物、數(shù)學(xué)、現(xiàn)實生活中都有很多實用的價值。其中黃建華[2]研究了在Neuman邊值條件下，空間離散的方程(1)的漸近行為，并證明了在不變區(qū)域存在整體吸引子和吸引集。在此基礎(chǔ)上，黃建華利用有限差分格式，對方程(1)同時離散時間和空間變量，獲得了離散模型吸引子存在的條件[3]。石丹青[4]運用Lyapunor穩(wěn)定性分析了方程(1)的穩(wěn)定性，并且在非齊次邊界條件下，證明了方程(1)整體解的存在性和穩(wěn)定性。在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中，為解決科學(xué)、工程科技中出現(xiàn)的非線性問題，余夢蘭[5]應(yīng)用同倫攝動理論求出了方程(1)的同倫攝動近似解。在現(xiàn)象學(xué)上，P.Carter[6]使用奇異攝動技術(shù)構(gòu)造入侵前沿，研究了不穩(wěn)定流形以及前推和后推前沿的變化，描述出相位上不穩(wěn)定穩(wěn)態(tài)的滑移動力學(xué)。最近，方程(1)也可用作一些行波解的優(yōu)化問題，B.Karasozen和M.Uzunca[7]比較了對流FHN最優(yōu)控制的適當(dāng)正交分解，得出FHN最優(yōu)控制的適當(dāng)正交分解是最準(zhǔn)確、最快的。對于一些特殊情況下的FitzHugh-Nagumo方程，例如帶有記憶的半線性拋物方程，研究了進(jìn)行錯誤分析的一種反饋控制技術(shù)的數(shù)值方法[8]。

FitzHugh-Nagumo方程也存在一些行波解。C.B.Tabi[9]對方程(1)的行波系統(tǒng)進(jìn)行了定性分析，運用LS(least square)解法，CPP(catalytic pyrolysis process)解法，與李群分類法分別得到了不同種類的周期解，顯式行波解[10-11]。

在諸多生物現(xiàn)象中，種群、密度等會出現(xiàn)突然地跳躍或者截斷，因此考慮cutoff對方程的影響是有現(xiàn)實意義的[12-16]。cutoff函數(shù)是被E.Brunet and B.Derrida[12]引入來研究模型的波動，當(dāng)?shù)陀谀骋粋€臨界值時，會降低在區(qū)域中所有點的振幅。 在反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中，常常引入cutoff來模擬方程行波解傳播，cutoff的作用是選擇一個單一的速度，該速度在ε→0時，由于截止引起的速度變化取決于完整的反應(yīng)項。當(dāng)將cutoff函數(shù)作用在反應(yīng)項上時，這個系統(tǒng)的傳播面的特性會發(fā)生改變。對于任何cutoff，無論多么小，都起著速度唯一選擇的作用，隨著cutoff的去除，行波解最小速度接近有限。 D.A.Kessler[17]考慮Refs結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，以(lnε)-2接近其波速極限值，得到選定速度對cutoff的依賴性非常顯著。

本文在Brunet[12]的基礎(chǔ)上考慮cutoff對方程FitzHugh-Nagumo行波解最小波速的影響。證明了最小波速的存在性是與ε有關(guān)，通過對三個區(qū)域行波解的光滑匹配，并進(jìn)一步獲得了波速改變量與ε的精確表達(dá)式。

1 主要結(jié)果

考慮cutoff在FitzHugh-Nagumo方程中對行波解最小波速的影響，因此反應(yīng)項轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

u(1-u)(u-a)Θ(u-ε)，

這里Θ(u-ε)是Heaviside階躍函數(shù)。接下來考慮如下反應(yīng)擴(kuò)散方程

ut=uxx+f(u)Θ(u-ε)

(2)

經(jīng)過如下變量替換

z=x-ct，u(z)=u(x-ct)=u(x,t)，

這里的c是未加cutoff的最小波速，方程(2)就變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?/p>

u″+cu′+u(1-u)(u-a)Θ(u-ε)=0

(3)

利用Heaviside階躍函數(shù)性質(zhì)，方程(3)可以改寫為

(4)

接下來通過如下三個區(qū)域來考慮方程(4)的解的漸進(jìn)行為

情況一、Ⅰ區(qū)：系統(tǒng)(4)的第一個方程的線性方程為

u″+cu′-au=0，

(5)

并設(shè)它的解為u=e-μz。由該方程組的特征方程為

μ2-cμ-a=0，

因此方程(5)的通解為

情況二、Ⅱ區(qū)：這區(qū)間最小波速受ε的影響，假設(shè)它的最小波速為cε，因此線性化后的方程為

u″+cεu′-au=0，

該方程特征方程的兩個虛根

則線性化方程的通解為

情況三：Ⅲ區(qū)：該區(qū)域方程為

u″+cu′=0。

齊次線性微分方程的通解為u=A0e-c0(z-z0)。

接下來我們將對三個區(qū)域的行波解進(jìn)行光滑匹配，因此Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)、Ⅱ區(qū)和Ⅲ區(qū)在邊界處對應(yīng)的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值應(yīng)該相等。

為了使得Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)的解匹配，我們獲得

(6)

式(6)中兩個方程作比值：

為了使得Ⅱ區(qū)和Ⅲ區(qū)的解匹配，我們獲得

(7)

將式(7)中兩個方程作比值得

(8)

把式(8)代入式(7)得

由

得到

其中