基于旋轉(zhuǎn)變換的混沌光學(xué)圖像加密方法

葛琳琳，姜文昊，張 威，李易霖

（1.遼寧石油化工大學(xué)，遼寧撫順113001；2.大連海洋大學(xué)，遼寧大連116023）

近年來，光學(xué)圖像加密技術(shù)在光學(xué)信息處理中顯得尤為重要，它具有計(jì)算速度快、光學(xué)并行等優(yōu)點(diǎn)，在信息安全系統(tǒng)中具有廣泛的應(yīng)用前景。目前已經(jīng)提出了許多光學(xué)圖像加密方法，例如利用傅里葉變換（FT）、分?jǐn)?shù)傅里葉變換（FRT）和擴(kuò)展FRT進(jìn)行光學(xué)圖像加密的方法[1]；利用傅里葉平面上的隨機(jī)相位掩膜（RPM）的拼圖變換（JT）以及加密圖像的拼圖變換對(duì)光學(xué)圖像進(jìn)行加密方法[1]；基于莫爾光柵、水印、偏振光、像素加擾、無透鏡光學(xué)安全系統(tǒng)和二進(jìn)制密鑰編碼的光學(xué)圖像加密方法[2]；在傅里葉平面中，利用具有夾層擴(kuò)散器的孔徑，提出了二維圖像光學(xué)加密中的復(fù)用方法[2]；還提出了基于Ikeda的非線性延遲動(dòng)力學(xué)和光環(huán)諧振器的方法[3]，以及基于FRT的混沌的加密方法[1]。

基于混沌的加密方法已被用于光通信，混沌函數(shù)對(duì)初始條件非常敏感，在光學(xué)圖像加密技術(shù)中，使用RPM對(duì)圖像進(jìn)行加密，并且必須將整個(gè)RPM發(fā)送到接收者一側(cè)來對(duì)原始圖像進(jìn)行解密。因此，這些方法中的數(shù)據(jù)安全性變得很差[4?6]。

利用旋轉(zhuǎn)變形（GT）對(duì)圖像進(jìn)行加密，并且使用混沌函數(shù)生成兩個(gè)RPM，這些RPM被稱為混沌隨機(jī)相位掩膜（CRPM）。該方法中，輸入圖像在輸入平面上乘以第一CRPM，然后在執(zhí)行第一GT，將得到的輸出圖像乘以第二CRPM，然后在執(zhí)行第二GT。處理后在GT平面上獲得加密圖像，利用Logistic映射、帳篷映射和Kaplan?Yorke映射三種混沌函數(shù)生成CRPM，并評(píng)估均方差（MSE），對(duì)所提方法在旋轉(zhuǎn)角度和CRPM的種子方面盲解密的魯棒性進(jìn)行評(píng)估，并給出加密和解密技術(shù)的光學(xué)實(shí)現(xiàn)方案。

1 旋轉(zhuǎn)變換

GT是一個(gè)線性正則積分變換，在相位空間的扭曲位置?空間頻率平面(xi,qy)和(yi,qx)中產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，帶參數(shù)旋轉(zhuǎn)角α的二維實(shí)函數(shù)f(xi,yi)的GT定義為[7?8]：

核函數(shù)為：

式中，(xi,yi)為輸入平面坐標(biāo)；(x0,y0)為輸出平面坐標(biāo)。

當(dāng)在Diracδ函數(shù)δ(x0-xi)上執(zhí)行GT時(shí)，得到式（2）中的旋轉(zhuǎn)核函數(shù)作為輸出函數(shù)，逆GT的旋轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)于GT的相反數(shù)-α，定義為：

對(duì)于α=0，對(duì)應(yīng)于恒等變換；對(duì)于α=π/2，以π/2的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)到正/逆FT；對(duì)于α=π，得到逆FT；對(duì)于α=3π/2，在π/2的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的逆FT，對(duì)于旋轉(zhuǎn)角度α的其他值，GT的核函數(shù)Kα(xi,yi,x0,y0)具有恒定幅度和雙曲相位結(jié)構(gòu)。對(duì)GT提出了兩種類型的調(diào)整。第一種圖像旋轉(zhuǎn)是以特定角度在位置和動(dòng)量平面一起旋轉(zhuǎn)；第二種調(diào)整為交叉旋轉(zhuǎn)，在(qx,py)和(qy,px)相空間中執(zhí)行聯(lián)合旋轉(zhuǎn)。其中，qx和qy是位置坐標(biāo)，px和py是動(dòng)量坐標(biāo)，GT和FRT的性質(zhì)有一定的相似性，GT和FRT之間也存在基本差異，因?yàn)镚T的核函數(shù)是雙曲波和平面波的乘積，而FRT的核函數(shù)是球面波和平面波的乘積。

2 混沌函數(shù)

混沌函數(shù)用于描述非線性動(dòng)力系統(tǒng)?；煦绾瘮?shù)具有幾個(gè)有趣的性質(zhì)，對(duì)初始條件非常敏感，這使它在數(shù)據(jù)安全方法中非常重要。這些函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)迭代值，隨機(jī)迭代值在邊界之間是有限的，迭代值的收斂性在任何迭代值之后都是不可見的[9?10]。

本文使用3個(gè)混沌函數(shù)，第1個(gè)混沌函數(shù)是Logistic映射，其定義為：

該函數(shù)為有界函數(shù)，即0＜p＜4，其迭代形式可以表示為：

以x0為初始值（混沌函數(shù)的種子值）。第2個(gè)混沌函數(shù)帳篷映射定義為：

該函數(shù)是有界函數(shù)，即0＜a≤2，其迭代形式可表示為：

以x0為初始值。第3個(gè)混沌函數(shù)是Kaplan?Yorke映射，其定義為：

該函數(shù)也是有界函數(shù)，即0≤a≤2和0≤b≤1，其迭代形式可表示為：

以x0為初始值，利用混沌函數(shù)生成RPM。Logistic映射和帳篷映射為一維混沌函數(shù)，Kaplan?Yorke映射為二維混沌函數(shù)。對(duì)于二維混沌函數(shù)，需要2個(gè)種子值來產(chǎn)生CRPM，CRPM具有普通PRM無法比擬的優(yōu)點(diǎn)。在利用RPM的光學(xué)圖像加密技術(shù)中，使用RPM對(duì)圖像進(jìn)行加密，并且必須將整個(gè)RPM發(fā)送到接收方來解密原始圖像。因此，這些方法中數(shù)據(jù)的安全性變得更低，在使用CRPM的光學(xué)圖像加密技術(shù)中，只有稱為種子值的初始元素被發(fā)送到接收方一側(cè)，而不是發(fā)送整個(gè)RPM。

3 提出的方法

所提出的加密和解密技術(shù)是基于GT和混沌理論，加密和解密過程如圖1所示。

圖1 加密和解密過程

執(zhí)行2次GT，并在中間平面上引入利用混沌函數(shù)產(chǎn)生的RPM，旋轉(zhuǎn)角作為圖像加密和解密技術(shù)的密鑰。設(shè)f(x,y)為要加密的原始圖像，輸入圖像乘以由相位函數(shù)exp[iπC1(x,y)]表示的第1個(gè)CPRM，其中C1(x,y)是由混沌函數(shù)生成的隨機(jī)數(shù)序列，旋轉(zhuǎn)角α1的第1次GT操作通過式(14)得出：

利用第2個(gè)CPRM對(duì)第1次GT操作的結(jié)果進(jìn)行編碼，第2個(gè)CPRM表示為相位函數(shù)exp[iπC2(x2,y2)]。其中，C2(x2,y2)是使用不同的種子值獲得的第2個(gè)混沌函數(shù)，然后進(jìn)入旋轉(zhuǎn)角α2的第2次GT操作，在輸出平面上的分布為：

g(x3,y3)=

解密是加密的逆過程，在g(x3,y3)上執(zhí)行第1個(gè)逆GT（GT旋轉(zhuǎn)角度的相反數(shù)-α2），然后乘以第2個(gè)CRPM的共軛，在得到的輸出上執(zhí)行第2個(gè)逆GT，再乘以第1個(gè)CRPM的共軛，最后得到解密圖像，解密過程表示為：

4 結(jié)果與討論

為了驗(yàn)證所提出方法的有效性，在Matlab平臺(tái)上進(jìn)行數(shù)值仿真。

利用3個(gè)混沌函數(shù)產(chǎn)生的CRPM如圖2所示。從圖2可以看出，每個(gè)混沌函數(shù)生成具有不同種子值的2個(gè)CRPM。Logistic映射產(chǎn)生的CRPM通過式（5）生成，其中第1個(gè)CRPM種子值x=0.341，第二個(gè)CRPM種子值x=0.241；帳篷映射產(chǎn)生的CRPM通過使用式（9）生成，其中第1個(gè)CRPM種子值x=0.610，第2個(gè)CRPM種子值x=0.620；Kaplan?Yorke映射產(chǎn)生的CRPM通過式（12）—（13）生成，其中第1個(gè)CRPM種子值x=0.200 5，y=3 005，第2個(gè)CRPM種子值x=0.200 0，y=3 000。

圖2 利用3個(gè)混沌函數(shù)產(chǎn)生的CRPM

GT的數(shù)值算法需基于GT的光學(xué)設(shè)置進(jìn)行數(shù)值模擬。在GT的光學(xué)設(shè)置中，使用了3個(gè)間距固定的廣義透鏡，利用譜傳播方法對(duì)自由空間中Fresnel衍射進(jìn)行模擬，并對(duì)廣義透鏡的作用進(jìn)行適當(dāng)?shù)南辔徽{(diào)制項(xiàng)。GT算法的性能使用標(biāo)準(zhǔn)的Lena圖像進(jìn)行旋轉(zhuǎn)來檢驗(yàn)，振幅數(shù)據(jù)、相位數(shù)據(jù)恢復(fù)的圖像振幅如圖3所示。

圖3 振幅數(shù)據(jù)、相位數(shù)據(jù)恢復(fù)的圖像振幅

圖3（a）表示旋轉(zhuǎn)45°和90°的振幅數(shù)據(jù)重構(gòu)圖像的振幅，圖3（b）表示旋轉(zhuǎn)45°和90°的相位數(shù)據(jù)重構(gòu)圖像的振幅。對(duì)于加密和解密過程，第1種GT的旋轉(zhuǎn)角度和第2種GT的旋轉(zhuǎn)角度分別為45°和90°。

利用2種方法來研究不正確的解密過程。3個(gè)混沌函數(shù)加密圖像、解密圖像及不正確解密圖像如圖4所示。第1種方法是解密過程中使用不正確的旋轉(zhuǎn)角度來執(zhí)行，通過在2個(gè)旋轉(zhuǎn)角度中引入0.02°的誤差，來計(jì)算用于解密系統(tǒng)的不正確的旋轉(zhuǎn)角度；第2種方法是通過交換CRPM在解密過程中的位置來執(zhí)行。由于混沌函數(shù)的CRPM的種子值非常接近，所以采用第2種錯(cuò)誤解密方法研究了該技術(shù)對(duì)種子值的敏感性。

圖4 3個(gè)混沌函數(shù)加密圖像、解密圖像及不正確解密圖像

從圖4可以看出，即使旋轉(zhuǎn)角度引入很小誤差，也不可能成功解密，因此旋轉(zhuǎn)角度可作為1個(gè)密鑰；如果2個(gè)CRPM的位置互換，則圖像解密不成功。因此，混沌函數(shù)對(duì)于初始條件非常敏感，CRPM的種子值也可以作為1個(gè)密鑰。

所提方法的性能由數(shù)值進(jìn)行評(píng)估，輸入圖像和輸出圖像之間的均方差（MSE）經(jīng)常被用來驗(yàn)證重構(gòu)圖像的質(zhì)量，其定義為：

式中，I1(i,j)、I2(i,j)分別為輸入圖像和輸出圖像在像素(i,j)處的值；N×N為圖像的像素總數(shù)。

MSE首先利用正確的解密參數(shù)來計(jì)算，Logistic映射加密圖像與原始圖像的MSE為3.26×104，解密圖像與原始圖像的MSE為0；帳篷映射加密圖像與原始圖像的MSE為3.24×104，解密圖像與原始圖像的MSE為0；Kaplan?Yorke映射加密圖像與原始圖像的MSE為3.25×104，解密圖像與原始圖像的MSE為0。

5 盲解密算法的魯棒性

為了評(píng)估算法對(duì)盲解密的魯棒性，計(jì)算了解密圖像與輸入圖像的MSE。引入不同誤差的解密圖像與原始圖像的MSE如圖5所示。從圖5可以看出，在2個(gè)旋轉(zhuǎn)角中引入誤差b(b=±0.02°)增加了MSE的值。因此，旋轉(zhuǎn)角作為密鑰可以保護(hù)盲解密的數(shù)據(jù)源。

圖5 引入不同誤差的解密圖像與原始圖像的MSE

6 所提方法的光學(xué)實(shí)現(xiàn)

GT可由3個(gè)廣義透鏡和2個(gè)固定的只有空間間隔構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng)執(zhí)行，每1個(gè)廣義透鏡都是由2個(gè)相同功率的薄圓柱透鏡組合成。第1個(gè)和第3個(gè)廣義透鏡是相同的，它們的焦距f等于設(shè)置的2個(gè)連續(xù)廣義透鏡之間的距離z；第2個(gè)廣義透鏡的焦距f2=z/2，前2個(gè)透鏡通過相對(duì)于彼此旋轉(zhuǎn)來給出旋轉(zhuǎn)角度；第3個(gè)透鏡是固定的，用于補(bǔ)償旋轉(zhuǎn)圖像不希望得到的相位調(diào)制。這種相位調(diào)制是通過前2個(gè)透鏡的旋轉(zhuǎn)而引入，第1個(gè)圓柱透鏡與垂直軸形成的角度為φ1，第2個(gè)圓柱透鏡與垂直軸形成的角度為φ2。如果角度φ表示圓柱透鏡的對(duì)稱軸的位置，那么，第1個(gè)圓柱透鏡的軸與垂直軸形成角度為φ1=-φ，第2個(gè)圓柱透鏡的軸與垂直軸OY形成角度為φ2，由φ2=-(φ1+π/2)導(dǎo)出。式（1）—（2）中的旋轉(zhuǎn)角度α使用式（18）來計(jì)算：

第一和第二透鏡的旋轉(zhuǎn)如圖6所示。其中，L1和L2分別表示第一和第二透鏡。

圖6 第一和第二透鏡的旋轉(zhuǎn)

本文方法的光學(xué)實(shí)現(xiàn)如圖7所示。

圖7 本文方法的光學(xué)實(shí)現(xiàn)

用激光作相干光源，用分束器BS1和BS2將激光分為兩部分，分束器的一個(gè)臂用作參考光束，另一個(gè)臂用作目標(biāo)光束，R1和R2分別是分束器BS1和BS2的參考光束，M1、M2和M3為3個(gè)反射鏡，光折變晶體（PRC）用于存儲(chǔ)光學(xué)數(shù)據(jù)。在加密過程中，遮光器S1關(guān)閉，遮光器S2打開，被加密的圖像與第1個(gè)CRPM相結(jié)合，并顯示在第1個(gè)SLM1上，用透鏡L1、L2和L3來執(zhí)行第1次GT操作，第2個(gè)CRPM顯示在第2個(gè)SLM2上，用透鏡L4、L5和L6來執(zhí)行第2次GT操作，該圖像與參考光束R2結(jié)合，存儲(chǔ)在PRC中，并記錄在電荷耦合器件（CCD1）相機(jī)中；在解密過程中，采用相位共軛讀出方案，在這個(gè)過程中，遮光器S1打開，遮光器S2關(guān)閉，光束A2從反射鏡M2反射，并作為參考光束R2的共軛，從而產(chǎn)生與圖像承載光束A4成比例的光束A3，相位共軛光束同時(shí)攜帶與整個(gè)加密圖像相關(guān)的全部信息，當(dāng)存儲(chǔ)信號(hào)的相位共軛通過L6、L5和L4、第2個(gè)CRPM和L3、L2和L1時(shí)，對(duì)記錄在CCD2中的圖像進(jìn)行解密，用透鏡L6、L5和L4執(zhí)行第2次逆GT，用透鏡L3、L2和L1執(zhí)行第1次逆GT，在對(duì)解密進(jìn)行輸入時(shí)必須精確地消除加密過程中引入的相位變化。

7 結(jié) 論

提出一種利用旋轉(zhuǎn)變換和混沌加密圖像的新思路，當(dāng)采用不正確的解密過程時(shí)，不能成功得到解密圖像。對(duì)MSE進(jìn)行了評(píng)估，根據(jù)盲解密理論，評(píng)估了CRPM種子值的初始值和GT的旋轉(zhuǎn)角的魯棒性，旋轉(zhuǎn)角度作為密鑰可以保護(hù)數(shù)據(jù)，在未知種子值的情況下，不能成功地解密圖像。CRPM的種子值和GT的旋轉(zhuǎn)角度在盲解密過程可以作為魯棒的密鑰?；贑RPM的加密技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)在于，只有混沌函數(shù)的種子值可以用于生成解密的CRPM，因此不需要將整個(gè)RPM發(fā)送到接收方進(jìn)行解密；二維混沌函數(shù)優(yōu)于一維混沌函數(shù)，二維混沌函數(shù)需要2個(gè)種子值，進(jìn)一步提高了加密圖像的安全性。