間接論證：神奇的反證法

文鐘 鳴

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市西漳中學(xué)）

同學(xué)們，這里有一個(gè)有趣的問(wèn)題：請(qǐng)證明“神不是萬(wàn)能的”。

直接證明很困難，間接證明試一試。反證法是間接論證的方法之一，是拉丁語(yǔ)中的“轉(zhuǎn)化為不可能”（Re?ductio ad absurdum），阿基米德經(jīng)常使用它，亦稱“逆證”。

對(duì)于反證法，我們應(yīng)該不陌生。在七年級(jí)數(shù)學(xué)教材下冊(cè)第16 頁(yè)讀一讀“怎樣證實(shí)‘兩直線平行，同位角相等’”部分，就是用反證法進(jìn)行的論證，同學(xué)們不妨先回到課本去讀一讀。這里，我們模仿著試一試。

假設(shè)“神是萬(wàn)能的”，那么“神就一定能夠造出一塊連自己都搬不動(dòng)的石頭”。而這與假設(shè)“神是萬(wàn)能的”相矛盾。所以，“神不是萬(wàn)能的”。

可見(jiàn)，反證法的一般步驟是：①假設(shè)要證明的結(jié)論的反面是成立的；②依據(jù)推理規(guī)則進(jìn)行推演，得出與已有假設(shè)或事實(shí)矛盾的結(jié)論；③否定假設(shè)的成立，肯定要證明的結(jié)論。特別是在進(jìn)行正面的直接證明或反駁比較困難時(shí)，用反證法往往會(huì)收到神奇的效果。

在我們學(xué)習(xí)過(guò)的幾何內(nèi)容中，并不缺乏這樣的例子：

例1如圖1，直線a∥b，直線b與直線c相交于點(diǎn)A，直線c與直線a平行嗎？為什么？

圖1

【解析】正面直接論證怎么進(jìn)行呢？延長(zhǎng)直線c，直觀上會(huì)和直線a相交，難道依靠直觀就解釋了直線c與直線a不平行嗎？有沒(méi)有更有力的論證呢？假設(shè)“直線c與直線a平行”，又因?yàn)椤癮∥b”，那么過(guò)直線a外一點(diǎn)A有兩條直線c和b都與直線a平行。這與基本事實(shí)“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾。所以假設(shè)不成立，則直線c與直線a不平行。

類似地，同學(xué)們不妨試試下題。

【練習(xí)】如圖2，直線a、b、c，a⊥b，直線c與直線b相交于點(diǎn)A，直線c與直線a垂直嗎？為什么？

例2一個(gè)四邊形最多只有3 個(gè)鈍角，為什么？

【解析】畫圖可以幫我們確認(rèn)這個(gè)事實(shí)，但是無(wú)法給出有力的解釋。正難則反，我們用反證法試一試。假設(shè)“一個(gè)四邊形有4 個(gè)鈍角”，那么這4個(gè)鈍角的和大于360°，這與“四邊形內(nèi)角和是360°”相矛盾，所以“一個(gè)四邊形最多只有3 個(gè)鈍角”。論證清晰、簡(jiǎn)潔、有力。

牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧！币话銇?lái)講，反證法常用來(lái)證明正面直接證明有困難、情況多或復(fù)雜，而命題的否定比較簡(jiǎn)單的題目。對(duì)于反證法，同學(xué)們可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)多些了解，也可以提前閱讀數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第71頁(yè)《趣談“反證法”》。這樣，我們的論證思路就會(huì)更加廣闊。在后繼的學(xué)習(xí)中，我們還會(huì)接觸到另外一種間接論證的方法——肯定存在、構(gòu)造目標(biāo)的同一法。同學(xué)們，期待嗎？