基于序列凸規(guī)劃的運(yùn)載火箭軌跡在線規(guī)劃方法

程曉明，尚 騰，徐 帆，王晉麟，姚寅偉

(北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854)

0 引 言

隨著世界各航天強(qiáng)國(guó)對(duì)外層空間開(kāi)發(fā)與利用的不斷深化，運(yùn)載火箭需要在處理故障與自主飛行方面具有更強(qiáng)的自主控制能力[1]。因此，軌跡在線規(guī)劃技術(shù)已成為運(yùn)載火箭未來(lái)進(jìn)入空間的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，該技術(shù)賦予火箭自主規(guī)劃與故障應(yīng)變能力，能夠極大地提升火箭執(zhí)行任務(wù)的靈活性與完成新型任務(wù)的能力，也可節(jié)省飛行成本[2]。

由于大氣層內(nèi)火箭軌跡規(guī)劃模型的復(fù)雜性，在面對(duì)突發(fā)任務(wù)、故障情況時(shí)，如何快速、可靠地求解出最優(yōu)飛行軌跡，是目前火箭控制中的難點(diǎn)之一[3]。近幾十年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在軌跡規(guī)劃方法上的研究主要分為基于最優(yōu)控制原理的間接法和基于數(shù)值優(yōu)化的直接法。如文獻(xiàn)[4-8]基于間接法的思想，研究了氣動(dòng)影響下的最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法，通過(guò)求解包含橫截條件的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的思路，對(duì)最優(yōu)軌跡進(jìn)行直接求解。這種方法形式簡(jiǎn)單，但較為依賴初始協(xié)態(tài)猜想，收斂速度較慢，導(dǎo)致其實(shí)用性大打折扣。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展及其運(yùn)算能力的提升，基于數(shù)值方法的直接法得到較快的發(fā)展[9]。如文獻(xiàn)[10-15]利用直接多步打靶法、偽譜法等對(duì)火箭的軌跡規(guī)劃進(jìn)行了大量的研究，驗(yàn)證了直接法應(yīng)用于火箭軌跡規(guī)劃上的有效性。這些方法的優(yōu)化結(jié)果精度較高，但由于離散變量多，計(jì)算量大，導(dǎo)致算法的實(shí)時(shí)性不足。另外，這些算法在理論上缺少收斂性證明。

為了進(jìn)一步保證數(shù)值算法的收斂性與實(shí)時(shí)性，將軌跡規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸規(guī)劃問(wèn)題，能利用凸規(guī)劃求解算法(如內(nèi)點(diǎn)法)所具有的多項(xiàng)式時(shí)間收斂特性，以同時(shí)滿足算法收斂性與實(shí)時(shí)性要求。近年來(lái)，文獻(xiàn)[16-17]利用凸優(yōu)化理論研究了火星著陸在線軌跡規(guī)劃問(wèn)題，文獻(xiàn)[18-19]針對(duì)大氣層外入軌問(wèn)題的軌跡規(guī)劃問(wèn)題，研究了基于凸優(yōu)化的軌跡規(guī)劃方法。然而，對(duì)于地球大氣層內(nèi)的運(yùn)載火箭軌跡規(guī)劃問(wèn)題，其氣動(dòng)模型的復(fù)雜性使其不能簡(jiǎn)易的轉(zhuǎn)化為凸規(guī)劃問(wèn)題而得到求解，因此，需要進(jìn)一步研究大氣層內(nèi)火箭軌跡規(guī)劃問(wèn)題的快速求解方法。

序列凸規(guī)劃[20]是一項(xiàng)求解非凸規(guī)劃問(wèn)題的局部?jī)?yōu)化方法，通過(guò)序列逼近的方式，將原非凸規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為序列凸規(guī)劃問(wèn)題，并進(jìn)行序列求解。文獻(xiàn)[21]通過(guò)序列線性化的方式，將序列凸優(yōu)化應(yīng)用于航天器的軌跡優(yōu)化中。文獻(xiàn)[22-24]基于序列凸規(guī)劃的思想，研究了火箭的自主軌跡規(guī)劃方法。但在目前的這種方式中，模型的凸化均是基于對(duì)非線性模型的線性化方式，這種方式會(huì)造成任務(wù)狀態(tài)變化較大時(shí)軌跡在線規(guī)劃模型的失準(zhǔn)，且依賴初始猜想軌跡，對(duì)任務(wù)的適應(yīng)性較弱。

本文基于序列凸規(guī)劃思想，研究了一種模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃方法，該方法不需要初始猜想，其核心思想是序列地利用前一次規(guī)劃得到的最優(yōu)軌跡，補(bǔ)償下一次迭代時(shí)軌跡規(guī)劃問(wèn)題中動(dòng)力學(xué)的非線性項(xiàng)(軸向力加速度、法向力加速度和重力加速度)與過(guò)程約束，直到前后兩次迭代的最優(yōu)解收斂。通過(guò)在序列凸規(guī)劃問(wèn)題中增加柯西約束，保證得到的序列最優(yōu)解為一組柯西序列，從而保證了該方法的收斂性。最后針對(duì)火箭上升段與著陸段的軌跡規(guī)劃問(wèn)題對(duì)該算法進(jìn)行仿真校驗(yàn)。

1 火箭軌跡規(guī)劃問(wèn)題描述

1.1 火箭運(yùn)動(dòng)方程

在發(fā)射點(diǎn)慣性坐標(biāo)系下，建立火箭的運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

式中：r=[x,y,z]T表示位置，v=[vx,vx,vx]T表示速度，m為飛行器質(zhì)量，g=[gx,gx,gx]T表示重力加速度，T=[Tx,Tx,Tx]T表示飛行器推力。Isp為飛行器的比沖，g0為海平面的重力加速度大小。A和N分別為飛行器氣動(dòng)力中的軸向力與法向力。

1.2 約束與性能指標(biāo)

1.2.1控制約束與狀態(tài)約束

假設(shè)飛行器的比沖不隨飛行狀態(tài)改變，但推力可以通過(guò)節(jié)流閥門進(jìn)行調(diào)節(jié)，根據(jù)節(jié)流閥的最小與最大節(jié)流程度，可得推力的約束范圍為：

(2)

通常，飛行器的當(dāng)前狀態(tài)作為初始端點(diǎn)約束

s(t0)=s0∈R7

(3)

(4)

令飛行器的凈重為mdry，初始質(zhì)量m0,飛行器的燃料約束描述如下：

M={m(t)∈R+:mdry≤m(t)≤m0, ?t∈[0,tf]}

(5)

1.2.2過(guò)程約束

火箭在大氣層內(nèi)飛行時(shí)，考慮三種常見(jiàn)的過(guò)程約束：動(dòng)壓約束、軸向過(guò)載約束和彎矩約束。

(6)

(7)

|qα|≤Qα max

(8)

式中：qmax，amax和Qα max分別為動(dòng)壓約束、軸向過(guò)載約束和彎矩約束的最大允許值。α為飛行器的攻角，由飛行器體軸與速度軸的夾角構(gòu)成。

1.2.3性能指標(biāo)

考慮最省燃料這一性能指標(biāo)：

(9)

由于飛行器的質(zhì)量是單調(diào)遞減的，因此可將最省燃料的性能指標(biāo)(9)轉(zhuǎn)化為梅耶(Mayer)形式：

minJ=-m(tf)

(10)

因此，本文火箭軌跡規(guī)劃問(wèn)題的主要目標(biāo)便是求解最優(yōu)的推力矢量T(t)∈R3，使其滿足各約束的同時(shí)，令性能指標(biāo)(式(10))最小。

2 基于序列凸規(guī)劃的軌跡規(guī)劃方法

2.1 模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃方法

模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃方法的核心是如何序列地補(bǔ)償大氣層內(nèi)軌跡規(guī)劃問(wèn)題中的非線性項(xiàng)，使其逼近真實(shí)的氣動(dòng)加速度模型與重力加速度模型，因此，為了在后續(xù)方法設(shè)計(jì)中對(duì)這些非線性項(xiàng)進(jìn)行較為直觀的處理，將火箭的動(dòng)力學(xué)方程重新描述為：

(11)

并將控制量增廣為：η=[υ,uT]T，控制約束可以重新寫為：

(12)

0≤Tmine-Z≤υ≤Tmaxe-Z

(13)

U(t)={η(t)=[υ(t),uΤ(t)]Τ∈R4:

0≤Tmine-Z[k-1](t)≤υ(t)≤Tmaxe-Z[k-1](t)

(14)

由于軸向力加速度a、法向力加速度n、重力加速度g以及過(guò)程約束的非線性，導(dǎo)致該問(wèn)題無(wú)法得到快速求解，因此本文研究了模型序列補(bǔ)償?shù)姆绞?，以迭代的方式?duì)這些非線性項(xiàng)進(jìn)行逐步逼近，最終收斂到真實(shí)的模型，并提出了針對(duì)大氣層內(nèi)火箭軌跡規(guī)劃問(wèn)題的模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃方法。

2.1.1模型序列補(bǔ)償方法

模型序列補(bǔ)償方法的實(shí)現(xiàn)策略是，在第一次迭代中，將動(dòng)力學(xué)中的非線性項(xiàng)建模為時(shí)間的線性函數(shù)，并將非凸最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解；然后在后續(xù)迭代中，利用前一次迭代產(chǎn)生的最優(yōu)解對(duì)這些非線性項(xiàng)模型進(jìn)行序列補(bǔ)償，直到其收斂到真實(shí)模型。

為了便于描述，將動(dòng)力學(xué)中的非線性項(xiàng)(包括重力加速度、氣動(dòng)力)以一個(gè)新的變量表示：

ψ(t)=g(t)+a(t)+n(t)

(15)

在序列迭代補(bǔ)償方案設(shè)計(jì)中，在序列補(bǔ)償?shù)牡谝淮诬壽E優(yōu)化時(shí)，根據(jù)軌跡規(guī)劃任務(wù)的始末狀態(tài)，將自動(dòng)給出這些非線性項(xiàng)的初始線性猜想，其次基于該模型形成的凸規(guī)劃問(wèn)題，利用凸優(yōu)化方法進(jìn)行快速軌跡求解，然后將前一次得到的結(jié)果對(duì)下一次優(yōu)化時(shí)動(dòng)力學(xué)模型中的ψ(t)進(jìn)行補(bǔ)償。表示如下：

ψ(k+1)(t,s(k))=g(k)(t,s(k))+a(k)(t,s(k))+

n(k)(t,s(k))

(16)

通過(guò)上述補(bǔ)償方式，可以將火箭軌跡規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為序列求解凸規(guī)劃問(wèn)題，直到模型ψ(t)收斂。

2.1.2過(guò)程約束的序列凸化

在模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃方法中，對(duì)過(guò)程約束的凸化采用了利用前一次迭代產(chǎn)生的最優(yōu)解對(duì)后續(xù)迭代中的過(guò)程約束進(jìn)行序列凸化的策略。主要包括：

1)動(dòng)壓約束

通過(guò)分析動(dòng)壓函數(shù)對(duì)高度和速度的海森陣可知，動(dòng)壓約束(6)不是一個(gè)凸約束。

為了滿足本文所提出的算法在求解最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)對(duì)凸模型的需求，利用前一次迭代得到的最優(yōu)解，對(duì)動(dòng)壓約束進(jìn)行如下近似：

(17)

2)軸向加速度約束

根據(jù)前文所述的變量替換方法，軸向加速度約束可以基于前一次迭代得到的重力加速度，寫為：

(18)

因此，軸向加速度約束可以簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化為凸約束。

3)彎矩約束

(19)

(20)

此時(shí)，通過(guò)利用前一次迭代的最優(yōu)軌跡結(jié)果將過(guò)程約束轉(zhuǎn)化為凸約束

2.1.3凸模型下的大氣層內(nèi)火箭軌跡規(guī)劃問(wèn)題

通過(guò)對(duì)控制量約束、動(dòng)力學(xué)模型與過(guò)程約束進(jìn)行序列凸化后，非凸的大氣層內(nèi)火箭軌跡規(guī)劃問(wèn)題可以建模為凸最優(yōu)控制問(wèn)題(21)。

η∈U(t),s∈Χ(t)，[s,η]∈P(t)，s(t0)=s0

U(t)={η(t)=[(υ(t),uΤ(t)]Τ∈R4:

0≤Tmine-Z[k](t)≤υ(t)≤Tmaxe-Z[k](t)

Χ(t)={s(t)∈R7:smin≤s(k)≤smax,

Z(t)≥ln(mdry)}

(21)

2.2 基于模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃對(duì)火箭軌跡規(guī)劃算法描述

采用等間隔方法，對(duì)凸最優(yōu)控制問(wèn)題(21)進(jìn)行離散。通過(guò)將時(shí)間區(qū)間進(jìn)行離散、并將最優(yōu)控制問(wèn)題中的各種約束限制在每個(gè)離散點(diǎn)上的方式，將無(wú)窮維的連續(xù)線性凸最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限維的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。由于該最優(yōu)控制問(wèn)題中的約束均為線性約束或二階錐約束，因此離散后將得到一個(gè)二階錐規(guī)劃問(wèn)題，從而可以使用有效的凸優(yōu)化求解方法對(duì)其進(jìn)行實(shí)時(shí)求解。

對(duì)于給定的時(shí)間區(qū)間[0,tf]，取等間隔時(shí)間區(qū)間為Δt，那么每個(gè)離散點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為：

tk=nΔt,n=0,…,N

(22)

式中：N=tf/Δt為離散點(diǎn)的個(gè)數(shù)。控制變量采用零階保持，即在時(shí)間區(qū)間t∈[tn,tn+1)內(nèi)，控制量為ηn=η(tn)。

基于上述狀態(tài)變量與控制變量的離散和已知的時(shí)間區(qū)間，式(21)所描述的連續(xù)凸最優(yōu)控制問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)離散凸最優(yōu)控制問(wèn)題：

(23)

式中：上標(biāo)(k+1)代表第(k+1)次迭代，即當(dāng)前迭代，下標(biāo)n代表第n個(gè)離散點(diǎn)。由式(23)確定的最優(yōu)控制問(wèn)題中的動(dòng)力學(xué)方程可以看作是一個(gè)線性時(shí)不變方程。僅有ψ(k+1)會(huì)隨著時(shí)間改變，但其各離散點(diǎn)的值均已知。性能指標(biāo)函數(shù)為關(guān)于終端狀態(tài)的凸函數(shù)，可以將其離散為關(guān)于最后一個(gè)離散點(diǎn)處狀態(tài)的函數(shù)，該函數(shù)的凸性不變。因此，可以認(rèn)為式(23)這一離散凸最優(yōu)控制問(wèn)題可以逼近原連續(xù)凸最優(yōu)控制問(wèn)題(21)。

式(23)中的離散狀態(tài)空間矩陣為：

(24)

其中，η=[uΤ,υ]Τ;矩陣Ac,Bc和Cc分別為

(25)

(26)

(27)

在完成凸規(guī)劃問(wèn)題的離散建模后，該問(wèn)題可利用原始-對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法對(duì)其進(jìn)行快速求解。因此，在進(jìn)行火箭軌跡規(guī)劃算法設(shè)計(jì)時(shí)，基于模型序列補(bǔ)償方法，對(duì)離散凸規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行重復(fù)求解，當(dāng)max(s(k+1)-s(k))

定理1.當(dāng)給定的初始離散設(shè)計(jì)變量在可行域內(nèi)時(shí)，即Y(0)∈M?RNY，模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃算法在有限次迭代后能夠收斂到定點(diǎn)最優(yōu)解Y*∈M。

證.由于本文提出的模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃算法增加了柯西約束：

(28)

在迭代解的更新中，序列凸規(guī)劃算法自映射迭代算子：φ:M?RNY→M?RNY表示離散可行設(shè)計(jì)變量Y(k)的更新，即輸入由前一次迭代k得到的全體設(shè)計(jì)變量Y(k)，該算子能夠在迭代k+1中得到狀態(tài)量Y(k+1)：

Y(k+1)=φ(Y(k))

(29)

當(dāng)增加了式(28)描述的柯西約束后，可知離散凸優(yōu)化模型補(bǔ)償?shù)蛄衁(k)=φ(Y(k-1))=φ(k)(Y(0)),k=1,2,…,M為一個(gè)柯西序列。當(dāng)式(29)給出的柯西序列有界時(shí)，該柯西序列可收斂到定點(diǎn)最優(yōu)解Y*=φ(Y*)∈M。

定理2.假設(shè)由式(23)表示的離散凸最優(yōu)控制問(wèn)題通過(guò)模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃算法，收斂到一個(gè)離散最優(yōu)解Y*，那么由這個(gè)解逼近得到的連續(xù)解([r*,v*,m*],T*)是原非凸最優(yōu)控制問(wèn)題的一個(gè)局部最優(yōu)解。

證.首先假設(shè)由式(23)表示的離散凸最優(yōu)控制問(wèn)題，在模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃算法下，收斂到一個(gè)離散的最優(yōu)解Y*=(s*,η*)。根據(jù)本文對(duì)連續(xù)最優(yōu)控制問(wèn)題的離散化描述，離散方法能夠逼近連續(xù)凸最優(yōu)控制問(wèn)題(21)，因此連續(xù)凸最優(yōu)控制問(wèn)題(21)的最優(yōu)解(s*,η*)可以由Y*逼近得到，并在此假設(shè)(s*,η*)與Y*等價(jià)。

對(duì)于由式(23)描述的最優(yōu)控制問(wèn)題，矩陣Ac,Bc和Cc均為時(shí)不變矩陣，該問(wèn)題的可控性克萊姆矩陣為：

(30)

式中：Φ(t,τ)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,Φ(t,τ)=eAc(t-τ)。

由于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t,τ)在任意時(shí)間區(qū)間處均為滿秩，即rank(eAc(t-τ))=7，且rank(Bc)=4，可知，null(eAc(t-τ)Bc)=0，因此可知可控性克萊姆矩陣是W(t)非奇異的，最優(yōu)控制問(wèn)題(23)中由[Ac,Bc]確定的連續(xù)線性動(dòng)力學(xué)是可控的。

在可控性基礎(chǔ)上，根據(jù)文獻(xiàn)[16]可知，變量替換后控制量約束的松弛凸化是無(wú)損的，因此可知在每次迭代Ψ(k+1)都已知的情況下，式(21)表示的連續(xù)凸最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)解(s*,η*)，也是控制量約束“松弛”處理前的線性非凸最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)解(s*,u*)。

由離散最優(yōu)解Y*是一個(gè)定點(diǎn)最優(yōu)解，可知(s*,u*)也為定點(diǎn)最優(yōu)解。這意味著動(dòng)力學(xué)非線性項(xiàng)Ψ(k+1)通過(guò)序列凸化，最后能夠收斂，因此(s*,u*)也是原始非凸最優(yōu)控制問(wèn)題的局部最優(yōu)解。此時(shí)，通過(guò)變量反替換可知，與(s*,u*)對(duì)應(yīng)的([r*,v*,m*],T*)是原非凸最優(yōu)控制問(wèn)題的一個(gè)局部最優(yōu)解。

總結(jié)上述基于模型序列補(bǔ)償凸規(guī)劃的火箭軌跡規(guī)劃算法，下面將算法流程描述如下。

第二步：基于線性化后的重力/氣動(dòng)加速度猜想值與過(guò)程約束凸化方法，利用無(wú)損凸化與變量替換技術(shù)，將軌跡規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸規(guī)劃問(wèn)題，并進(jìn)行求解后儲(chǔ)存為軌跡k，軌跡狀態(tài)為s(k)。

第三步：計(jì)算軌跡k上狀態(tài)s(k)對(duì)應(yīng)的重力/氣動(dòng)力加速度值g(s(k)),a(s(k))和n(s(k))，將其補(bǔ)償?shù)阶顑?yōu)控制問(wèn)題(23)的建模中。

第四步：求解式(23)，得到軌跡k+1。

第五步：如果軌跡k+1與軌跡k中對(duì)應(yīng)狀態(tài)的差小于允許的閾值，則停止程序；否則，令k=k+1，返回第三步。

3 數(shù)值仿真與分析

為了檢驗(yàn)本文所提出模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃方法的有效性，以火箭大氣層內(nèi)軌跡在線規(guī)劃任務(wù)為背景，對(duì)該方法進(jìn)行仿真校驗(yàn)。數(shù)值仿真平臺(tái)為PC機(jī)，性能為Inter Core i7-6700 3.4 GHz，仿真軟件采用了MATLAB2014a，其中的凸優(yōu)化求解軟件采用了CVX工具箱[25]。

本節(jié)主要通過(guò)大氣層內(nèi)軌跡規(guī)劃的兩個(gè)方面進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：1)火箭上升段軌跡自主規(guī)劃仿真；2)火箭著陸段軌跡自主規(guī)劃仿真。

3.1 火箭上升段軌跡自主規(guī)劃仿真與分析

火箭上升段軌跡自主規(guī)劃仿真采用的火箭模型以及基本任務(wù)參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 上升段火箭模型與任務(wù)參數(shù)設(shè)置

圖1中，標(biāo)記“·”的曲線代表最后一次迭代得到的最優(yōu)推力大小曲線。圖2中，標(biāo)記“·”的曲線代表最后一次迭代得到的最優(yōu)俯仰角和偏航角指令曲線。

圖1 上升段推力大小變化曲線

圖2 上升段姿態(tài)角變化曲線

經(jīng)過(guò)仿真校驗(yàn)，基于該推力曲線，模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃方法得到的最優(yōu)軌跡能夠精確滿足表1中給定的火箭上升段終端狀態(tài)約束與控制量約束。

圖3中，標(biāo)記“·”的曲線代表最后一次迭代得到的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的氣動(dòng)加速度變化曲線。從圖3可以看出，氣動(dòng)加速度曲線呈現(xiàn)遞減的趨勢(shì)，這主要是隨著飛行高度的增高，大氣密度快速減小導(dǎo)致的。從氣動(dòng)加速度的迭代過(guò)程圖可以看出，模型補(bǔ)償序列凸優(yōu)化方法通過(guò)對(duì)氣動(dòng)力的不斷補(bǔ)償進(jìn)行序列軌跡規(guī)劃，對(duì)氣動(dòng)力補(bǔ)償?shù)氖諗恳馕吨撔蛄蟹椒ǖ氖諗俊?/p>

圖3 上升段氣動(dòng)力加速度在發(fā)慣系三個(gè)方向分量的變化曲線

在軌跡規(guī)劃收斂時(shí)間方面，該任務(wù)仿真時(shí)通過(guò)7次迭代后收斂，共耗時(shí)1.5 s，平均每次迭代耗時(shí)0.21 s；本次數(shù)值仿真對(duì)應(yīng)50個(gè)離散點(diǎn)(以1 s為等時(shí)間間距進(jìn)行離散)，當(dāng)實(shí)際任務(wù)需要進(jìn)一步減少軌跡生成時(shí)間時(shí)，可以在軌跡精度允許范圍內(nèi)，增大離散點(diǎn)間隔，從而通過(guò)減少離散點(diǎn)個(gè)數(shù)的方式加快軌跡生成速度。

3.2 火箭垂直著陸段軌跡自主規(guī)劃仿真與分析

對(duì)于火箭垂直著陸任務(wù)，需要在火箭著陸時(shí)刻保持火箭速度為0，且箭體豎直向上。另外，通常要求火箭在著陸階段燃料消耗最省，以節(jié)省火箭的發(fā)射成本、提高火箭的有效載荷重量。

仿真采用的火箭模型以及基本任務(wù)參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 著陸段火箭模型與基本任務(wù)參數(shù)設(shè)置

圖4和圖5中，標(biāo)記“·”的曲線代表最后一次迭代得到的最優(yōu)飛行軌跡和最優(yōu)速度在發(fā)慣系三個(gè)方向上的分量，沒(méi)有標(biāo)記“·”的曲線則代表迭代過(guò)程中得到的飛行軌跡和速度曲線。

圖4 垂直著陸段位置在發(fā)慣系三個(gè)方向分量的變化曲線

圖5 垂直著陸段速度在發(fā)慣系三個(gè)方向分量的變化曲線

每幅圖有多條曲線，代表序列迭代過(guò)程中每次迭代產(chǎn)生的最優(yōu)解曲線。雖然每次迭代產(chǎn)生的解均能滿足著陸約束，但中間迭代采用的氣動(dòng)模型還處于不斷補(bǔ)償修正中，并不能代表真實(shí)的模型，只有最后一次模型補(bǔ)償收斂后得到的解，才能算是具有真實(shí)意義的最優(yōu)解。

圖6和圖7中，標(biāo)記“·”的曲線分別代表最后一次迭代得到的最優(yōu)推力大小曲線和最優(yōu)俯仰角、偏航角指令曲線。仿真結(jié)果表明，基于該推力大小和姿態(tài)角形成的推力矢量，模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃方法得到的最優(yōu)軌跡能夠精確滿足火箭垂直著陸所需要的終端狀態(tài)約束條件。

圖6 垂直著陸段推力大小變化曲線

圖7 垂直著陸段姿態(tài)角變化曲線

圖8中，標(biāo)記“·”的曲線代表最后一次迭代得到的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的氣動(dòng)加速度變化曲線。從圖8可以看出，火箭在著陸過(guò)程中，氣動(dòng)加速度也會(huì)隨著速度的降低而減小，最后時(shí)刻減小為0。從氣動(dòng)加速度的迭代過(guò)程圖可以看出，模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃方法對(duì)氣動(dòng)加速度進(jìn)行了序列的補(bǔ)償并最終收斂。

圖8 垂直著陸氣動(dòng)力加速度在發(fā)慣系三個(gè)方向分量迭代更新圖

最后，在軌跡規(guī)劃收斂時(shí)間方面，該任務(wù)仿真時(shí)通過(guò)8次迭代后收斂，共耗時(shí)2 s，平均每次迭代耗時(shí)0.25 s；每次迭代所需時(shí)間與離散點(diǎn)個(gè)數(shù)、約束數(shù)量相關(guān)，本次數(shù)值仿真對(duì)應(yīng)60個(gè)離散點(diǎn)(以0.5 s為等時(shí)間間距進(jìn)行離散)，當(dāng)實(shí)際任務(wù)需要進(jìn)一步減少軌跡生成時(shí)間時(shí)，可以在軌跡精度允許范圍內(nèi)，通過(guò)增大離散點(diǎn)間隔，減少離散點(diǎn)個(gè)數(shù)的方式進(jìn)行處理。

綜合以上仿真結(jié)果可知，本文提出的模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃方法可以通過(guò)序列補(bǔ)償?shù)姆绞教幚泶髿鈱觾?nèi)非線性氣動(dòng)力對(duì)軌跡規(guī)劃帶來(lái)的不利影響。在利用該方法對(duì)軌跡規(guī)劃問(wèn)題序列求解時(shí)，火箭的氣動(dòng)力通過(guò)不斷的補(bǔ)償最終收斂到準(zhǔn)確的氣動(dòng)模型，同時(shí)也完成了方法的收斂迭代過(guò)程，這一快速收斂性將有利于滿足火箭軌跡自主規(guī)劃任務(wù)對(duì)軌跡優(yōu)化實(shí)時(shí)性的需求。

4 結(jié) 論

針對(duì)大氣層內(nèi)的火箭軌跡自主規(guī)劃問(wèn)題，本文研究了一種模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃方法。該方法對(duì)火箭軌跡規(guī)劃問(wèn)題的非線性項(xiàng)(軸向力加速度、法向力加速度和重力加速度)和過(guò)程約束進(jìn)行了序列補(bǔ)償方案設(shè)計(jì)，結(jié)合無(wú)損凸化和變量替換技術(shù)，將火箭軌跡規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)序列凸規(guī)劃問(wèn)題。通過(guò)在序列凸規(guī)劃問(wèn)題中增加柯西約束，保證得到的序列最優(yōu)解為一組柯西序列，從而進(jìn)一步保證了該方法對(duì)應(yīng)求解算法的收斂性。從理論分析可知，模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃方法不需要初始猜想軌跡，具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，自主性強(qiáng)的特點(diǎn)。最后，分別通過(guò)對(duì)大氣層內(nèi)上升段與垂直著陸段的軌跡自主規(guī)劃任務(wù)的仿真，對(duì)本文提出的模型補(bǔ)償序列凸規(guī)劃方法進(jìn)行了校驗(yàn)，得到結(jié)論如下：

1)該方法能夠較好地處理大氣層內(nèi)氣動(dòng)力影響下的火箭軌跡規(guī)劃問(wèn)題。

2)該方法具有較好的收斂性，能夠滿足火箭軌跡自主規(guī)劃任務(wù)對(duì)軌跡規(guī)劃問(wèn)題求解的收斂性要求與實(shí)時(shí)性要求。

3)該方法對(duì)火箭的著陸段與大氣層內(nèi)上升段的軌跡規(guī)劃任務(wù)都有較好的適應(yīng)性，對(duì)在線軌跡規(guī)劃在工程上的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。