數(shù)學(xué)教學(xué)中的反例教學(xué)

強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)中的反例教學(xué)是因?yàn)椋?/p>

首先 從認(rèn)識(shí)論的角度來(lái)看：我們知道，認(rèn)識(shí)過(guò)程是由淺入深，由點(diǎn)到面的，不可能一學(xué)就懂，一懂就透，而是曲折中前進(jìn)的。在每個(gè)概念的建立過(guò)程中，都有正確與錯(cuò)誤的理解對(duì)立。糾正了理解上片面和錯(cuò)誤，認(rèn)識(shí)就前進(jìn)了。因此，教師在講課中，?？衫脤?duì)比的方法來(lái)鮮明地突頭事物的本質(zhì)特性，也就是不僅從正面講清概念、定義、定理、公理、推論或公式等的內(nèi)涵，還應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生從反面揭示認(rèn)識(shí)上容易產(chǎn)生的混淆和錯(cuò)誤，弄清概念、定義、定理、公理、推論或公式等的外延，外延經(jīng)常是通過(guò)反例來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

其次 從當(dāng)前教材和教師的一般狀況來(lái)看，目前全國(guó)使用的中學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)編教材，都是從正面闡述概念、定義、定理、公理、推論或公式，教師在講課中也多半是由正面教學(xué)，因此，學(xué)生也就往往習(xí)慣于從正面理解和思考，這不利于開(kāi)拓思路，發(fā)展智力，倘若我們教師能在緊扣教材，吃透教材的基礎(chǔ)上，適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比地從正反兩個(gè)方面去理解知識(shí)，這無(wú)疑對(duì)學(xué)生加深理解，活躍思維都是積極的，有效的。要做到這些，就要用到反例教學(xué)。

再次，從學(xué)生的實(shí)際狀況來(lái)看，他們學(xué)習(xí)概念、定義、定理、公理、推論或公式等時(shí)，犯了混淆不清的錯(cuò)誤幾乎是一種普通現(xiàn)象，這多半是由一些心理因素所致。比如學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，一些舊有知識(shí)的“經(jīng)驗(yàn)”干擾，思維定勢(shì)的干擾，負(fù)遷移的干擾等，要排除這些干擾，反例教學(xué)是一種極有力的手段，常可起到事半功倍的效果。

以下就從四了方面具體地來(lái)談?wù)劮蠢跀?shù)學(xué)教學(xué)中的作用。

一、反例是反駁的有力手段

我們知道，要證明一個(gè)命題正確，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的證明了。所以反例是反駁最有力手段。

例1 命題“能被1和它自己本身整除的非1自然數(shù)是質(zhì)數(shù)”。

正確嗎？思考，若正確，，須嚴(yán)格證明，似乎不大好說(shuō)、這時(shí)可考慮能否找到一個(gè)反例來(lái)否定其正確性，若找到了，命題的正確性就被反駁了，這比嚴(yán)格的證明容易得多。

答：因?yàn)榉?的自然數(shù)4、6、8、9等也能被1和它自己本身整除，但它們都不是質(zhì)數(shù)，所以上述命題錯(cuò)誤。

進(jìn)而讓學(xué)生考慮，對(duì)上述命題怎樣修改，才能正確，這樣就能使學(xué)生明白質(zhì)數(shù)的準(zhǔn)確概念以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言的重要性。所謂差之毫厘失之千里。

現(xiàn)在在各類數(shù)學(xué)考試中選擇題所占比例很大，占了全卷的150分中的60分，這類題是給出四個(gè)答案，其中只有一個(gè)答案是準(zhǔn)確的。要求選擇出其中唯一正確的答案。用舉反例的方法——排除法正是處理這類題目的有效方法。

我們可以對(duì)以上四個(gè)答案逐一判斷。因?yàn)檫@四個(gè)答案中，僅有一個(gè)正確，那么否定了其它三個(gè)答案，剩下的就是正確答案。要否定一個(gè)答案，只需要舉出它的一個(gè)反例即可。

若是答案（A），那么當(dāng)x=3時(shí)，分母無(wú)意義，不成立;而當(dāng)x=2時(shí)，分母為零，也無(wú)意義，所以（B）也不成立，從而（C）也就不成立。否定了（A）、（B）、（C）答案，余下的是唯一正確的答案只有（D）了，所以答案應(yīng)選擇（D）。

二、反例是加深理解的重要手段

學(xué)生在新學(xué)的一個(gè)概念、定義、定理、公理、推論或公式時(shí)往往側(cè)重于記憶其結(jié)論：不注意分析具體條件而生搬硬套，因此教師在講清概念、定義、定理、公理、推論或公式等的條件，結(jié)論、實(shí)際意義及應(yīng)用范圍的基礎(chǔ)上，若能根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知狀況，適當(dāng)?shù)嘏e一些反例，往往會(huì)起到加深理解知識(shí)的重要作用。

三、反例是糾正錯(cuò)誤的有效工具

利用反例引起學(xué)生對(duì)一些問(wèn)題錯(cuò)誤解法的警覺(jué)，是教學(xué)中大量采用的極其有效的方法。

這種反例常常比正面講述公式印象深刻，顯然，反例對(duì)正確理解數(shù)學(xué)概念，鞏固地掌握定義、公理、定理、推論或公式，預(yù)防和糾正錯(cuò)誤都有重大作用。

但值得注意的是，使用反例教學(xué)一般應(yīng)在學(xué)生對(duì)新概會(huì)有了初步認(rèn)識(shí)以后，若一開(kāi)始就正反例并舉，反而會(huì)適得其反。

四、活躍思維離不開(kāi)反例

由前面的部分，我們看到了構(gòu)造反例對(duì)加深概念、定義、定理、公理、推論或公式等的理解能起到至關(guān)重要的作用，更重要的是構(gòu)造反例的本身就是一個(gè)積極的思維過(guò)程，反例構(gòu)造得巧妙，常使問(wèn)題變得簡(jiǎn)捷明快，取得出奇制勝的效果。

例3 講述“原命題等價(jià)于逆命題”是否成立時(shí)，我們常采用學(xué)生熟悉的事物來(lái)作反例，說(shuō)明不成立。

原命題 逆命題

1 小狗是會(huì)跑的 會(huì)跑的是小狗（舉反例，如牛、馬等）

2 被5整除的數(shù)的個(gè)位是5（如20） 個(gè)位是5數(shù)能被5整除

通過(guò)上兩例可說(shuō)明原命題和逆命題不等價(jià)，如果教師再引導(dǎo)學(xué)生就自己熟悉的事物或所學(xué)過(guò)的命題仿寫(xiě)原命題、逆命題構(gòu)造反例，可進(jìn)一步加深對(duì)原、逆命題的理解，又能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)思維發(fā)展。

例4 在平面幾何里，學(xué)生學(xué)過(guò)如下定理：

在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行，

學(xué)生對(duì)這個(gè)定理的印象深刻，也就受這個(gè)定理的影響，發(fā)生負(fù)遷移，不看在“同一平面內(nèi)”的條件，想當(dāng)然地把這個(gè)定理類推到空間中去：“垂直于同一平面的兩條平面平行”的謬論。教師舉反例時(shí)，可以用張開(kāi)的課本“立”在桌面上，張開(kāi)的書(shū)面都可以看作不同的平面，桌子也看作一個(gè)平面，可以看到立起來(lái)的書(shū)的每一頁(yè)所在平面都與桌面垂直，但它們是相交的，并不一定平行。

也就是說(shuō)，學(xué)生如果采用舉反例的方法，可以輕松判斷“垂直于同一直線的兩條直線平行”、“垂直于同一平面的兩條平面平行”是錯(cuò)誤的命題。進(jìn)而知道二維平面上的定理，不能想當(dāng)然的推到三維空間去，并且在構(gòu)造反例的過(guò)程中，將有利于學(xué)生提高空間想象能力，加深對(duì)立體幾何中的概念、定義、定理、公理、推論和公式的理解。

總之，反例教學(xué)可以貫穿于教學(xué)工作的始終，是我們數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要的、必不可少的教學(xué)手段，應(yīng)當(dāng)引起廣大教學(xué)工作者的足夠重視。

云南省鎮(zhèn)雄縣大灣中學(xué) 孫學(xué)湘