鏈接算籌文化 凸顯十進(jìn)位值制
——以“認(rèn)識(shí)萬以內(nèi)數(shù)”為例

竺君斐，周 潔

（浙江省寧波市奉化區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校，浙江省寧波市奉化區(qū)莼湖街道中心小學(xué)）

“數(shù)的認(rèn)識(shí)”板塊的本質(zhì)內(nèi)容是十進(jìn)位值制。十進(jìn)位值制記數(shù)法包括“十進(jìn)制”與“位值制”兩條原則。“十進(jìn)”指的是“滿十進(jìn)一”?！拔恢怠笔峭粩?shù)字在不同位置上所表示的數(shù)值不同。如三位數(shù)“555”，右邊的5 在個(gè)位上表示5 個(gè)一，中間的5 在十位上表示5 個(gè)十，左邊的5 在百位上則表示5 個(gè)百。十進(jìn)位值制使極為困難的整數(shù)表示和驗(yàn)算變得簡(jiǎn)便易行。

怎樣在“認(rèn)識(shí)萬以內(nèi)數(shù)”教學(xué)過程中讓學(xué)生深度理解“十進(jìn)位值制”的內(nèi)涵與價(jià)值？常規(guī)的做法是：通過數(shù)數(shù)活動(dòng)中的“怎樣數(shù)”“怎樣記錄”這兩個(gè)問題展開。以數(shù)黃豆為例，當(dāng)“捏一撮”（10以內(nèi)）時(shí)，我們可以一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)；當(dāng)“抓一把”（100 以內(nèi)）時(shí)，我們可以十個(gè)一堆，十個(gè)一堆地?cái)?shù)；當(dāng)數(shù)目更大時(shí)，就需要用更大的計(jì)數(shù)單位來記數(shù)，進(jìn)而明確一而十，十而百，百而千，千而萬。記錄黃豆數(shù)量的同時(shí)，需要明確每一個(gè)數(shù)位上數(shù)的含義。

很多“認(rèn)識(shí)萬以內(nèi)數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)能從數(shù)的本質(zhì)出發(fā)，讓學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)十進(jìn)位值制的含義，以及計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系。但是，學(xué)生對(duì)其中“滿十進(jìn)一”體會(huì)深刻，對(duì)位值制的價(jià)值卻感悟不深。

十進(jìn)位值制是我國(guó)最早發(fā)明的。文明古國(guó)巴比倫采用60 進(jìn)位制（這一進(jìn)位制到現(xiàn)在仍留有痕跡，如1 分=60 秒）。古印度、古埃及也很早就采用了十進(jìn)位制，但是他們沒有位置，沒有零，并不知道位值制。如古埃及采用“計(jì)算單位累加”的方法，不同計(jì)算單位用不同的符號(hào)表示，從圖1 古埃及的“235”中可以看到 2 個(gè)百用 2 個(gè)“旋風(fēng)”，3 個(gè)十用 3 個(gè)“門洞”，5 個(gè)一用5 個(gè)小棒表示。依次推理。如果表示999，“旋風(fēng)”“門洞”“小棒”分別要畫9 個(gè)，非常繁瑣，給記錄與運(yùn)算帶來不便。

圖1

從歷史發(fā)展順序來看，“位值”的出現(xiàn)明顯比“十進(jìn)”晚，說明“位值”比“十進(jìn)”更難理解。

弗賴登塔爾認(rèn)為：“年輕的學(xué)習(xí)者應(yīng)重蹈人類的學(xué)習(xí)過程?！绷袑幰苍?jīng)說過：“一門科學(xué)的歷史是那門科學(xué)中最寶貴的一部分，科學(xué)只能給我們知識(shí)，而歷史卻能給我們智慧”。數(shù)學(xué)，既是被人們發(fā)現(xiàn)的，也是被人們創(chuàng)造的。前人在數(shù)學(xué)研究過程中，其數(shù)學(xué)思維和經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)是非常有借鑒意義的，對(duì)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力有著極大的促進(jìn)作用。

因此，“認(rèn)識(shí)萬以內(nèi)數(shù)”一課，有必要鏈接教材“你知道嗎”板塊中的“算籌文化”，讓學(xué)生在“中國(guó)算籌”“古埃及記數(shù)法”兩種記數(shù)方法的認(rèn)識(shí)、試寫、對(duì)比中，挖掘“十進(jìn)位值制”背后的數(shù)學(xué)思想與方法，讓學(xué)生充分感受“位值制”的簡(jiǎn)潔與價(jià)值，豐滿數(shù)學(xué)教學(xué)中的“人文元素”，體會(huì)“數(shù)學(xué)有著悠久的鮮活的歷史”。

一、靜態(tài)的中國(guó)算籌：動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)中體會(huì)“古人智慧”

教材呈現(xiàn)的知識(shí)是靜態(tài)的。而站在歷史的角度，動(dòng)態(tài)地看待數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展過程，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，參與再創(chuàng)造，有利于學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)靈動(dòng)的一面。

中國(guó)算籌一般是用小竹棍（或其他材料）制成。古人為了區(qū)分相鄰數(shù)位上的數(shù)，創(chuàng)造了橫向、縱向兩種算籌。需要學(xué)生體驗(yàn)這個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)生過程。

第一步，借助方塊直觀模型，理解數(shù)位意義。

（1）課件有序出示小方塊（1 個(gè)、10 個(gè)、100 個(gè)、1000個(gè)），明確計(jì)數(shù)單位個(gè)、十、百、千。

（2）課件出示235 個(gè)小方塊。明確235 由幾個(gè)百、幾個(gè)十、幾個(gè)一組成。

（3）指一指：這個(gè)“2”表示圖上哪些小方塊？

（4）追問：為什么它可以表示這么多方塊？因?yàn)?在百位上，表示2個(gè)百。

（4）歸納：個(gè)位、十位、百位、千位就是數(shù)位。

第二步，介紹中國(guó)算籌。

（1）出示“你知道嗎”內(nèi)容，介紹算籌，了解橫式與縱式兩種表示方法。（如圖2）

圖2

（2）追問：“5”用5 根小棒表示，為什么“6”不是6根，而用一橫一豎來表示呢？

第三步，用算籌表示235，探究并發(fā)現(xiàn)記數(shù)規(guī)律。

（1）學(xué)生嘗試。（如圖3）

圖3

（2）交流評(píng)價(jià)。你喜歡哪一副作品，為什么？

3 號(hào)作品是正確的。表?yè)P(yáng)4 號(hào)作品：“雖然反了，但是他這種縱橫交替的思想特別寶貴。”

第四步，用算籌表示5555。

（1）學(xué)生嘗試。

（2）作品反饋。（如圖4）

圖4

用算籌表示數(shù)，匯集了兩千多年前中國(guó)古人的集體智慧。讓學(xué)生通過觀察，引發(fā)思考，如“6”為什么用一橫一豎表示？因?yàn)椤耙砸划?dāng)五”更簡(jiǎn)約更美觀，展現(xiàn)了中國(guó)古人的智慧。又如算籌表示235，學(xué)生1號(hào)作品，容易與55，或者10產(chǎn)生混淆。為了區(qū)分2、3、5這三個(gè)數(shù)字在不同的數(shù)位上，中國(guó)古人發(fā)明并規(guī)定個(gè)位縱向，十位橫向，交替重復(fù)的方法。讓學(xué)生在嘗試創(chuàng)造、相互評(píng)價(jià)中感受其奧妙，發(fā)展思維，提升素養(yǎng)。

二、繁瑣的古埃及記數(shù)：探究中體驗(yàn)“機(jī)械呆板”

十進(jìn)位值制之所以被馬克思稱頌為“人類最美妙的發(fā)明之一”，是因?yàn)樗暮?jiǎn)約。萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，除了讓學(xué)生掌握位值制的含義，即“相同的數(shù)字，在不同的數(shù)位上，表示不同的數(shù)值”之外，有必要繼續(xù)深入探究，體會(huì)它的優(yōu)點(diǎn)。為此，借助古埃及記數(shù)“5555”的繁瑣，可以使學(xué)生在探究中體驗(yàn)其方法的呆板。

第一步，介紹古埃及1～9，10，100，1000，10000的表示方法。（如圖5）

圖5

第二步，介紹古埃及的“235”，說說他們的記數(shù)方法。

第三步，學(xué)生獨(dú)立探究古埃及“5555”的寫法。第四步，交流評(píng)價(jià)學(xué)生作品，明確各部分的含義。（如圖6）

圖6

學(xué)生喜歡創(chuàng)造，喜歡探究。古埃及記數(shù)，先舉例呈現(xiàn)，再發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后讓學(xué)生用自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律試寫“5555”。古埃及計(jì)數(shù)單位“個(gè)、十、百、千”有不同的符號(hào)，每個(gè)符號(hào)需要重復(fù)畫5 次，用學(xué)生的話來說“手都畫酸了”。隨著數(shù)量增大，古埃及需要統(tǒng)一更多的計(jì)數(shù)單位，畫更多次數(shù)“小花”“門洞”等，“手就更酸了”。整個(gè)過程都以學(xué)生為主體，既拓展學(xué)生視野，滿足學(xué)生探究未知領(lǐng)域的愿望，又訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，同時(shí)還讓學(xué)生深刻體會(huì)到古埃及記數(shù)方法的繁瑣與復(fù)雜，以及記數(shù)方法歷史的“豐富性”。

三、中國(guó)算籌的位置制：對(duì)比中凸顯“高明美妙”

同樣是二千多年前，同樣是“5555”，中國(guó)算籌卻與古埃及不同。中國(guó)算籌中沒有“小花”“”旋風(fēng)“門洞”等這些專門的記數(shù)符號(hào)，只需把算籌“5 根小棒”放在不同的數(shù)位上，就可以表示 5 個(gè)千，5 個(gè)百，5 個(gè)十，5 個(gè)一了。學(xué)生在對(duì)比中，對(duì)萬以內(nèi)數(shù)的兩種表示方法進(jìn)行抽象概括，強(qiáng)烈感受到了位值制的高明與美妙，深刻體會(huì)中國(guó)古人的智慧與偉大創(chuàng)造。

第一步，對(duì)比古代中國(guó)算籌和古埃及記數(shù)法。

師：對(duì)比二千多年前古埃及的5555，與古代中國(guó)5555，你想說些什么？

生：古埃及的千、百、十、一有專門的符號(hào)，中國(guó)的算籌沒有專門的符號(hào)，用不同數(shù)位加以區(qū)分。

生：古埃及的太麻煩，我們古代中國(guó)的算籌更方便。

生：我們中國(guó)人要比古埃及人聰明。用不同數(shù)位的數(shù)表示不同的計(jì)算單位。

生：作為中國(guó)人，我很驕傲，我們的祖先太聰明了！

第二步，對(duì)比古代中國(guó)算籌和現(xiàn)代記數(shù)法。

生：現(xiàn)代記數(shù)法采用了我國(guó)古人發(fā)明的“十進(jìn)位值制”。

生：現(xiàn)代記數(shù)法用阿拉伯?dāng)?shù)字代替算籌1～9，更簡(jiǎn)約更方便。

師：數(shù)學(xué)追求簡(jiǎn)潔美，我們現(xiàn)代人使用的萬以內(nèi)數(shù)表示方法凝聚了一代又一代數(shù)學(xué)家的努力和智慧。“十進(jìn)位值制”是古代中國(guó)人對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展作出的一項(xiàng)不可磨滅的貢獻(xiàn)。

第一次對(duì)比，體會(huì)中國(guó)算籌位值制的簡(jiǎn)約，滲透愛國(guó)主義教育。第二次“古代算籌與現(xiàn)代記數(shù)法”對(duì)比，讓學(xué)生感悟到“知識(shí)是發(fā)展的”“數(shù)學(xué)是人類共同的文化活動(dòng)”，而古今中外一代又一代數(shù)學(xué)家創(chuàng)造精神的傳承，有利于促進(jìn)學(xué)生良好品格的形成，可謂一舉多得。

華東師師范大學(xué)的汪曉勤教授曾將HPM 研究?jī)r(jià)值歸納為“知識(shí)之諧”“方法之美”“探究之樂”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”。以上設(shè)計(jì)中這六大價(jià)值均有所體現(xiàn)。如了解算籌的記數(shù)方法，體會(huì)“以一當(dāng)五”，這是感受“知識(shí)之諧”；讓學(xué)生嘗試探究“中國(guó)古人記數(shù)235”“古埃及記數(shù)5555”，體悟的是數(shù)學(xué)“探究之樂”；經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程，明白縱橫交替擺法的優(yōu)勢(shì)，加強(qiáng)思維訓(xùn)練，提高解決問題能力，發(fā)揮學(xué)生能動(dòng)性，是“能力之助”；在古代中國(guó)算籌和古埃及記數(shù)方法對(duì)比中，感受古埃及記數(shù)方法的繁雜，體會(huì)中國(guó)算籌十進(jìn)位值制的價(jià)值，感受古代中國(guó)人民的偉大，是“德育之效”；在歷史發(fā)展進(jìn)程中，感受數(shù)學(xué)是不斷發(fā)展，不斷前進(jìn)的，數(shù)學(xué)是屬于全世界人類的一項(xiàng)文化成果，體會(huì)的是“文化之魅”。

將數(shù)學(xué)文化知識(shí)“中國(guó)算籌”“古埃及記數(shù)”融入“認(rèn)識(shí)萬以內(nèi)數(shù)”課堂教學(xué)中，充分體現(xiàn)了趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性、新穎性。學(xué)生學(xué)得輕松，學(xué)得扎實(shí)。