關(guān)于“等差數(shù)列的前n項和”教學素材、設(shè)計案例的思考與研究

祝 玲

(浙江省蘭溪市第一中學 321102)

一、問題提出

“等差數(shù)列的前n項和”的教學設(shè)計是一線老師比較喜歡研究的重點課題之一，也是目前賽課較熱門的內(nèi)容之一．因為這節(jié)課中公式推導是最令人心馳神往的，也是各類期刊談?wù)撟疃嗟?，就是如何引入倒序相加法，推導出等差?shù)列的前n項和公式，可謂仁者見仁，智者見智．筆者一直都在想，目前我們各省市有各種版本教材，對公式的推導設(shè)計有何異同？若沒有教材上提示或?qū)W生事先不預(yù)習，推導方法學生會想到嗎？學生想不到，老師又如何精心設(shè)計教學,引導學生自然而然探究出公式呢？基于以上思考，筆者查閱教科書和有代表性的期刊，進行研究，寫下拙文．

二、文獻研究

1.各種版本教材對等差數(shù)列前n項和公式推導的編寫比較

根據(jù)等差數(shù)列{an}的通項公式，上式可以寫成

Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+...+[a1+(n-1)d]

(1)

再把項的次序反過來，Sn又可以寫成

Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d]

(2)

把(1)，(2)的兩邊分別相加，得

2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an) (下稱含d的倒序相加法)

文[3]給出高斯的算術(shù)老師提出的問題：1+2+3+…+100=?指出高斯采用下列方法迅速算出正確答案：(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050．也即說明了高斯解決了等差數(shù)列：1，2，3，…，n，…前100項的和的問題．人們從這個算法中受到啟發(fā)，用下面的方法計算1，2，3，…，n，…前n項和：由

再給出探究：高斯的算法妙在哪里？這種方法能夠推廣到求一般等差數(shù)列的前n項和嗎？自然給出數(shù)列前n項和定義，特別強調(diào)由高斯算法的啟示，用兩種方式表示前n項和Sn，一種是順序的，一種是倒序的，再相加，類似文[1]．

文[4]創(chuàng)設(shè)情景：某鋼材庫新到200根相同的圓木料，要把它們堆放成正三角形垛(如圖4)，并使剩余的圓木料盡可能的少，那么將剩余多少根圓木料？

設(shè)共擺放了n層，能夠成三角形垛的圓木料數(shù)為Sn，則Sn=1+2+3+…+n．指出這是一個等差數(shù)列的求和，如何計算呢？引出高斯小時候求當n=100的算法：有趣的是和文[2]、文[3]“配對求和”不同，這里給出倒序相加的思想方法：

S100=1+2+3+4+...+98+99+100=100+99+98+97+...+3+2+1

這兩個等式上、下對應(yīng)項的和均為101，所以

用“你能從這個問題的解決過程中悟出求一般等差數(shù)列前n項和的方法嗎？”過渡到抽象概括階段，下同文[1]，但在旁白留有兩個問題，用來提煉數(shù)學思想方法．推導出公式后，給出它的幾何意義如圖5，在旁注中再次提及：這種思想方法，用圖形來說明就更清楚，在圖上拼一個倒過來的圖形，就成為各行有相同個數(shù)的平行四邊形，計算這個平行四邊形的個數(shù)就很容易了，如圖6．

文[5]和文[1]從情景圖引入到推出求和公式都一樣，只是將鋼管由原來7層改為6層，圖設(shè)計得更精美,如圖7．另外筆者也發(fā)現(xiàn)，文[5]將文[4]中的情景題放置在第2課時的練習題4中．

文[1]和文[5]由情景設(shè)置很容易和“倒序相加法”掛鉤，不拖泥帶水，單刀直入，學生看一眼就明白，無法進行探究性學習．盡管文[1]、[2]、[3]是人民教育出版社編寫的，在后兩文中沒有繼承前者的情景創(chuàng)設(shè)，筆者估計由于時代發(fā)展，當今小學生和初中生都能知道高斯速算的故事，所以由高斯速算創(chuàng)設(shè)情景是可行的．但是“高斯的算法與一般等差數(shù)列求和還有一定距離，因此教科書接下來設(shè)置了求1+2+3+……+n的問題，目的是引出求等差數(shù)列前n項和的一般方法：‘倒序相加法’．這樣，很自然地就過渡到一般等差數(shù)列求和問題”．

另外，我們無法考證將近250年前高斯到底用何算法，所以文[4]在不損“數(shù)學王子”形象情況下，揣測他用“倒序相加法”，實屬高明，這樣就為下面推導作好做好鋪墊，而不使人誤入歧途．另外五個版本教材都沒有利用等差數(shù)列性質(zhì)，采用如下寫法：

Sn=a1+a2+a3+...+an-2+an-1+an

(1)

Sn=an+an-1+an-2+...+a3+a2+a1

(2)

(下稱不含d的倒序相加法)．

2．各種期刊對等差數(shù)列前n項和公式推導教學設(shè)計案例的比較

由于教材不同，加上每個老師對教材理解不同，學生學習程度不同，產(chǎn)生許多精彩紛呈的教學設(shè)計．

文[7]創(chuàng)設(shè)生活中的一個問題，引入新課:學校為美化校園,決定在道路旁擺放盆景.從校門口取出花盆到距校門1m處開始擺放,每隔1m擺放一盆,學生小王每次拿2盆,若要完成擺放30盆的任務(wù),最后返回校門處,問小王走過的總路程是多少?

問題轉(zhuǎn)化求4+8+12 +…+60 =?出示課題，給出前n項和Sn的定義，重新叫學生計算:1+2+3+4 +…+100 =?(高斯10歲時的算法)．

老師又給出變式:1+2+3+…+99 =?

方法1 原式=(1+2+3+4+…+98+99+100) - 100.

方法2 原式=(1+2+3+4+…+98)+99.

方法3 原式= 0+1+2+3 +…+98+99

方法4 原式= (1+2+3 +…+49+51 +…+98+99)+50

方法5 原式= (1+2+3 +…+97+98+99+99+98+97 +…+3+2 +1)÷2

文[8]首先設(shè)計問題，創(chuàng)設(shè)情境．教師給出高斯小時候算過的問題1：求 1+2+3 +…+100=?學生中出現(xiàn)“配對求和”和“倒序相加法”．

問題2：如圖8，是一垛鋼管，最下面一層放了102 根，最上面一層放了3根，往上每一層都比它下面一層少放一根．這垛鋼管共放了多少根鋼管?

思考文中的兩個問題，起了“雙保險”的作用，若學生由問題1想不到倒序相加法，則問題2可以幫助學生想到；若第1問就能想到倒序相加法，則第二問題就是對倒序相加法的幾何解釋．“配對求和”是深入人心的方法．

文[9]問題1：用文[1]例題，只是將“120”改為“100”，進而引出求數(shù)列：1，2，3，4…100，…的前100項和，從而給出數(shù)列{an}前n項和的定義，點明主旨．師生共同探討S100=1+2+3 +…+100=？師生達成一致，用“配對分組”手段解決問題1．隨后給出點睛之筆：高斯算法的高明之處在于將不同數(shù)的求和問題轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和問題．

問題2:求Sn=1+2+3 +…+n=?(n∈N*)學生自主探究，給出配對求和(對n分奇偶討論)和倒序相加法；最后再研究問題3：求等差數(shù)列{an}前n項和：

通過例1求梯形筆架中筆的支數(shù)，對倒序相加法作出幾何解釋，如下圖11-13.

思考求V形架里鉛筆支數(shù)這一生活問題既經(jīng)濟又實惠，取材學生身邊問題，又能顧及到高斯的算法，還能為學生推導第二個求和公式服務(wù)，一箭三雕．難能可貴的是指明求和的本質(zhì)就是“將不同數(shù)的求和問題轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和問題”，這是本節(jié)課精髓所在，也是對倒序相加法最合理的解釋．在例題中沒有進行操練，而是通過問題再深入理解公式，領(lǐng)會這兩個公式的內(nèi)在聯(lián)系．

三、嘗試設(shè)計

“操千曲而后曉聲，觀千劍而后識器”，筆者在學習了諸多優(yōu)秀教學設(shè)計后，博采眾長，從順應(yīng)學生思維自然性，符合學生認知規(guī)律出發(fā)，給出如下教學設(shè)計思路的框圖1所示.

教材呈現(xiàn)知識點限于編排要求具有經(jīng)典性、綱要性、簡潔性，不可能像教輔用書上洋洋灑灑詳細闡述，關(guān)鍵是教師在備課時要了解學生受教育的背景，近期上課內(nèi)容對該堂課的引領(lǐng)作用．此外不光有自己的想法，還要想學生所想，順著學生思維流程進行教學，這樣既不動聲色傳授了核心知識，又潛移默化培養(yǎng)學生的研究能力．

圖1