力學(xué)中往返運(yùn)動(dòng)問題綜述

楊曉丹

(重慶市第三十七中學(xué)校 400084)

在高中物理的復(fù)習(xí)和考試中，單個(gè)物體或多物體體系做往返運(yùn)動(dòng)的實(shí)例屢見不鮮.根據(jù)該類問題中研究物體的速度變化規(guī)律，我們把往返運(yùn)動(dòng)基本可分為：類上拋型(“v零v”型)、“零v零”型和“鹿回家”三大類型，下面將對(duì)這三種類型問題的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及求解思路等展開具體描述.

一、類上拋型(v零v型)

有這樣一種往返運(yùn)動(dòng)，它雖然不是嚴(yán)格的豎直上拋運(yùn)動(dòng)，卻可以采用類似的方法來處理；它的初末速度雖然不一定表現(xiàn)出嚴(yán)格的對(duì)稱性，卻也呈現(xiàn)出“非零—零—非零”的變化趨勢(shì)，這類運(yùn)動(dòng)被統(tǒng)稱為“類上拋”或“v零v”運(yùn)動(dòng).表1總結(jié)了幾種典型類上拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和對(duì)應(yīng)v-t圖.

表1 典型類上拋模型的物理規(guī)律對(duì)比

例1 如圖1甲，傾角為37°的足夠長(zhǎng)的傳送帶以恒定速度運(yùn)行，將一質(zhì)量m=1 kg的小物體以某一初速度放上傳送帶，物體相對(duì)地面的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖1乙所示，取沿傳送帶向上為正方向，g取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.則下列說法正確的是( ).

A．物體與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.75

B．0～8 s內(nèi)因摩擦產(chǎn)生的熱量為72 J

C．0～8 s內(nèi)物體機(jī)械能的增量為84 J

D．0～8 s內(nèi)因放上物體，傳送帶電動(dòng)機(jī)多消耗的電能為216 J

圖1

點(diǎn)評(píng)本題每個(gè)選項(xiàng)都要求學(xué)生找出對(duì)應(yīng)物理過程并列式計(jì)算，比較繁瑣.但若對(duì)“類上拋”型往返運(yùn)動(dòng)十分熟悉，通過本題給出的v-t圖像，就不難聯(lián)想到對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，進(jìn)而提高做題速度.

例2 若在運(yùn)動(dòng)過程中空氣阻力大小不變，豎直向上拋出物體的初速度大小與返回拋出點(diǎn)時(shí)速度大小的比值為k，物體返回拋出點(diǎn)時(shí)速度大小為v，重力加速度為g，則物體從拋出到返回拋出點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為( ).

點(diǎn)評(píng)通過比較發(fā)現(xiàn)，由題設(shè)初速度為k·v，具體分析本題的運(yùn)動(dòng)過程，把時(shí)間硬算出來，不僅耗費(fèi)大量時(shí)間，同時(shí)也給答題者的計(jì)算帶來了負(fù)擔(dān).但在熟練掌握豎直上拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律之后，結(jié)合選項(xiàng)特點(diǎn)即可通過巧取特殊值完成快速求解.

圖2

例3 如圖2所示，足夠長(zhǎng)的傳送帶與水平面夾角為θ，以大小為v0的速度順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在傳送帶的上端放置一個(gè)小木塊，并使小木塊以大小為2v0的初速度沿傳送帶向下運(yùn)動(dòng)，小木塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ>tanθ，圖3四幅圖能客觀地反映小木塊的速度隨時(shí)間變化關(guān)系的是(以木塊的初速度方向?yàn)檎较?( ).

圖3

解析小木塊沿傳送帶向下運(yùn)動(dòng)的過程中所受的滑動(dòng)摩擦力沿斜面向上，設(shè)小木塊的質(zhì)量為m、加速度大小為a，因?yàn)棣?tanθ，所以μmgcosθ>mgsinθ，故小木塊做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得μmgcosθ-mgsinθ=ma，解得a=μgcosθ-gsinθ，當(dāng)小木塊的速度減小到零時(shí)，小木塊相對(duì)傳送帶向下運(yùn)動(dòng)，其所受的滑動(dòng)摩擦力沿斜面向上，小木塊沿傳送帶向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得a=μgcosθ-gsinθ，當(dāng)小木塊的速度增加到v0時(shí)，小木塊受沿斜面向上的靜摩擦力，由于重力沿斜面方向的分力小于最大靜摩擦力，故小木塊與傳送帶保持相對(duì)靜止，選項(xiàng)A正確，B、C、D錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng)本題部分學(xué)生會(huì)錯(cuò)用“粗糙斜面上或傾斜傳送帶上的往返問題”物理模型，以至于選擇C選項(xiàng).可見即使同為含傳送帶的類上拋問題，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律還是略有不同的，不可一概而論.借助v-t圖像仔細(xì)對(duì)比，做好辨析是關(guān)鍵.

二、“零v零”型

“零v零”型問題，顧名思義即表示在一定的坐標(biāo)系下，研究對(duì)象的速度以零開始，以零結(jié)束的問題.這類問題的運(yùn)動(dòng)特征有：

①研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)形式常表現(xiàn)出一定的規(guī)律性和周期性；

②研究對(duì)象的速度在從零變回到零的過程中，一定有最值存在.

“零v零”型問題中驅(qū)使研究對(duì)象完成速度變化的作用力可以是恒力，也可以是變力，前者范例十分常見，故本文不再贅述；后者在高中階段是以輕繩、輕桿和輕彈簧這三種物理模型最為典型.值得一提的是，對(duì)于變力系統(tǒng)而言，求取速度最值的具體位置難以繞過超越方程的求解，有時(shí)甚至根本無法得到確定的解析解，只能獲得數(shù)值解.

圖4

例4 如圖4所示，水平光滑長(zhǎng)桿上套有一個(gè)質(zhì)量為mA的小物塊A，細(xì)線跨過O點(diǎn)的輕小光滑定滑輪一端連接A，另一端懸掛質(zhì)量為mB的小物塊B，C為O點(diǎn)正下方桿上一點(diǎn)，滑輪到桿的距離OC=h.開始時(shí)A位于P點(diǎn)，PO與水平方向的夾角為30°.現(xiàn)將A、B同時(shí)由靜止釋放，則下列分析正確的是( ).

A．物塊B從釋放到最低點(diǎn)的過程中，物塊A的動(dòng)能不斷增大

B．物塊A由P點(diǎn)出發(fā)第一次到達(dá)C點(diǎn)的過程中，物塊B的機(jī)械能先增大后減小

圖5

那么B的最大速度到底在什么時(shí)候出現(xiàn)呢？根據(jù)A、B二者的速度關(guān)系和系統(tǒng)機(jī)械能守恒可以列式：

vAcosθ=vB

(2.1)

(2.2)

進(jìn)而可以得到vB的表達(dá)式：

(2.3)

雖然得到了vB表達(dá)式，但它形式復(fù)雜，僅使用高中數(shù)學(xué)知識(shí)難以求得其最值的解析解.故筆者在此選擇借助MATLAB軟件求取其最值的數(shù)值解.

圖6

如圖6所示，沿水平長(zhǎng)桿建立x軸，設(shè)物體A在初始位置時(shí)，物體B的位移也為0，那么當(dāng)物體A位于C點(diǎn)時(shí)，物體B的位移達(dá)到最大值ymax=2h.令繩OP與x軸正方向的夾角為θ，則有：

(2.4)

(2.5)

根據(jù)y坐標(biāo)的表達(dá)式可以進(jìn)一步得到：

(2.6)

為了方便分析不妨設(shè)A和B的質(zhì)量相等，那么綜上所述，式(2.5)可化成：

(2.7)

設(shè)高度h=10 m，重力加速度g=10 m/s2，物體的質(zhì)量mA=mB=1 kg，把圖6所示位置作為初始位置開始計(jì)時(shí)，使用MATLAB求解，可以得到A和B的速度分別隨角度θ、時(shí)間t、A的位移x的變化曲線如圖7(a)、(b)和(c)所示.

圖7

點(diǎn)評(píng)繩約束物系問題考查了學(xué)生靈活使用合成和分解思想處理動(dòng)力學(xué)問題的能力.如表2所示，本題中的兩個(gè)物體雖是由一根輕繩相連，但各自速度的大小、變化趨勢(shì)乃至改變周期都不相同.學(xué)生需要把握輕繩約束物系相關(guān)速度的本質(zhì)特點(diǎn)，理智分析才能做出正確判斷.

表2 A、B兩物體的速度變化趨勢(shì)對(duì)比

例5 (2015·全國(guó)卷Ⅱ)如圖8所示，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開始運(yùn)動(dòng).不計(jì)摩擦，a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g，則( ).

圖8

A．a(chǎn)落地前，輕桿對(duì)b一直做正功

C．a(chǎn)下落過程中，其加速度大小始終不大于g

D．a(chǎn)落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對(duì)地面的壓力大小為mg

點(diǎn)評(píng)b速度最大的位置到底在哪呢？為了便于談及不妨設(shè)b速度最大時(shí)，剛性桿與水平方向的夾角為θ，若桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，由a、b二者的速度關(guān)系和系統(tǒng)機(jī)械能守恒，可以列式：

vacosθ=vbsinθ

(2.8)

(2.9)

由式(2.8)和 式(2.9)可得a、b二者的速度分別和夾角θ的關(guān)系：

(2.10)

(2.11)

由式(2.10)和式(2.11)可知a塊的速度恒增加，b塊的速度先增加后減小，其最大極值可由均值不等式或求導(dǎo)法來求得.本文采用求導(dǎo)的方法，對(duì)vb表達(dá)式(2.11)求導(dǎo)可得：

(2.12)

(2.13)

圖9

例6 (2017·江蘇高考)(多選)如圖9所示，三個(gè)小球A、B、C的質(zhì)量均為m，A與B、C間通過鉸鏈用輕桿連接，桿長(zhǎng)為L(zhǎng).B、C置于水平地面上，用一輕質(zhì)彈簧連接，彈簧處于原長(zhǎng).現(xiàn)A由靜止釋放下降到最低點(diǎn)，兩輕桿間夾角α由60°變?yōu)?20°.A、B、C在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，彈簧在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦，重力加速度為g.則此下降過程中( ).

A．A的動(dòng)能達(dá)到最大前，B受到地面的支持力小于3mg/2

B．A的動(dòng)能最大時(shí)，B受到地面的支持力等于3mg/2

C．彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)，A的加速度方向豎直向下

vC·sinθ=-vA·cosθ

(2.14)

(2.15)

其中vB=-vC恒成立.由于α=120°時(shí)A到達(dá)最低點(diǎn)，即θ=60°時(shí)A回歸速度為零狀態(tài).故根據(jù)功能關(guān)系有：

為了進(jìn)一步研究A、C速度和時(shí)間、位置之間的關(guān)系，可以建立坐標(biāo)系如圖10所示.設(shè)AC間輕桿的作用力大小為F，則有微分方程組：

(2.18)

x2+y2=L2

(2.19)

聯(lián)立上式，最終可以化簡(jiǎn)得到關(guān)于x坐標(biāo)的微分方程：

圖11

由圖11可知，當(dāng)時(shí)間t=1.226 s時(shí)，C球第一次達(dá)到速度峰值vCmax=1.8097 m/s，此時(shí)夾角θ=39.9535°∈[30°, 60°]，C球的坐標(biāo)滿足(xC,yC)=(6.44 m, 0 m)；隨后當(dāng)時(shí)間t=1.604 s時(shí)，A球第一次達(dá)到速度峰值vAmax=-1.6691 m/s，此時(shí)桿AC和y軸的夾角θ=45.6570°∈[30°, 60°]，在題設(shè)坐標(biāo)系下A球的坐標(biāo)(xA,yA)=(0 m, 7.0453 m).A球和C球分別沿y軸和x軸作周期往返運(yùn)動(dòng)，與解析中定性分析所得結(jié)論一致.

三、“鹿回家”型

例7 在光滑水平面上有一靜止的物體，現(xiàn)以水平恒力F1推這一物體，作用一段時(shí)間后，換成相反方向的水平恒力F2推這一物體，當(dāng)恒力F2作用時(shí)間與恒力F1作用時(shí)間相同時(shí)，物體恰好回到原處，求恒力F1和F2的大小之比？

圖12

解析設(shè)物體的質(zhì)量為m，在力F1作用下產(chǎn)生的加速度為a1，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t后，發(fā)生的位移為x1，獲得的速度為v1；在力F2的作用下產(chǎn)生的加速度為a2，經(jīng)過相同的時(shí)間，運(yùn)動(dòng)的位移為x2，獲得的速度為v2.物體運(yùn)動(dòng)過程的v-t圖像如圖12所示，若作用時(shí)間t+t0后速度v=0m/s，則有：

(3.1)

a1t=a2t0

(3.2)

(3.3)

此外，由于整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中物體質(zhì)量不變，位移大小相等，時(shí)間也相等，故不僅其所受合力之比，其加速度之比、功之比、沖量之比、平均功率之比、動(dòng)能變化量之比、動(dòng)量變化量之比均相等且為1∶3.即：

點(diǎn)評(píng)值得拓展的是，類似的，若以水平恒力F1推這一物體，作用t時(shí)間后換成相反方向的水平恒力F2推同一物體，但卻是在經(jīng)過nt時(shí)間之后，物體剛好回到原靜止位置，則得到合力之比和速度之比需滿足：

*注：其中“負(fù)號(hào)”僅表示速度方向和坐標(biāo)系規(guī)定正方向相反，不計(jì)入速度大小的比較.