高考中“比較大小”常見解題策略

戴璐 關(guān)禮杰

摘 要：比較幾個(gè)數(shù)的大小是高中數(shù)學(xué)選擇填空中常見題型，近幾年高考全國(guó)卷中考察較多，并且難度有逐年上升趨勢(shì)。2021年全國(guó)一卷的“比較大小”有一定難度，也有新意。客觀題遇到比較大小的問題，一般可以按順序用基本初等函數(shù)性質(zhì)法、中間值法、基本不等式法、構(gòu)造函數(shù)法這四類方法進(jìn)行探究。

關(guān)鍵詞：比較大小;基本初等函數(shù)性質(zhì)法;中間值法;基本不等式法;同構(gòu)法;變量替換構(gòu)造函數(shù)法

比較幾個(gè)數(shù)的大小是高中數(shù)學(xué)中常見題型，近幾年高考全國(guó)卷中考察較多。2021年全國(guó)一卷中再此出現(xiàn)，并且難度有上升趨勢(shì)，本文想對(duì)此類題型進(jìn)行一個(gè)梳理。（近三年分別出現(xiàn)在2019全國(guó)卷Ⅰ（文/理3），卷Ⅱ（文/理6），2020全國(guó)卷Ⅰ（理12），卷Ⅱ（理11），卷Ⅲ（文10/理12），2021全國(guó)卷Ⅰ（理12）中。）

一、基本初等函數(shù)性質(zhì)法

這類題型一般比較簡(jiǎn)單，主要考察基本初等函數(shù)的單調(diào)性。是我們的首選思路。

例1、（2016全國(guó)卷Ⅲ理6）已知，，，則（ ）

（A） （B）（C）（D）

二、中間值法

如果無法利用基本初等函數(shù)單調(diào)性判斷兩個(gè)數(shù)的大小，一般會(huì)考慮能否找到兩個(gè)數(shù)的中間值。

例2、（2019全國(guó)卷Ⅰ理/文3）

已知，則（? ?）

A. B. C. D.

本題任意兩個(gè)數(shù)都不是同一個(gè)函數(shù)中的數(shù)值。所以立刻考慮找中間值判斷大小，這個(gè)題目比較簡(jiǎn)單，中間值是常見的0和1。

例3、（2020全國(guó)卷Ⅲ理12）已知55<84，134<85.設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（? ?）

A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b

例3不像例2的中間值那么明顯，但只要想到中間值法，此題的中間值是比較容易看出來的，可以解決本題中b和c的大小。

三、基本不等式法

在上面的例3中，可以用基本不等式法解決剩余問題。

綜上，答案：A

四、構(gòu)造函數(shù)法

以上各種方法都不奏效時(shí)，就應(yīng)該想到構(gòu)造函數(shù)法，這種題型往往有一定難度，2020和2021高考均對(duì)其進(jìn)行考察。

1.同構(gòu)法

地位同等要同構(gòu)，主要針對(duì)多變量.地位同等的幾個(gè)變量構(gòu)成的等式或不等式整理后具有結(jié)構(gòu)一致性時(shí)，我們要考慮構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性解決問題。

例4、（2020年全國(guó)卷Ⅰ理12）若，則

（? ）

A. B. C. D.

答案：B

例5、（2020年全國(guó)卷Ⅱ理11）若2x-2y<3?x-3?y，則

（? ?）

A.ln（y-x+1）>0 B.ln（y-x+1）<0

C.ln∣x-y∣>0 D.ln∣x-y∣<0

答案：A

2、變量替換構(gòu)造函數(shù)法

比較大小的幾個(gè)數(shù)值中如果有共同的量，可以考慮通過變量替換的方式來構(gòu)造函數(shù)，再通過函數(shù)單調(diào)性比較大小。

例6、（2021年全國(guó)券Ⅰ理12）

答案：B

客觀題遇到比較大小的問題，一般可以按順序用以上四類方法一一探究。其中構(gòu)造函數(shù)法題型多樣復(fù)雜，近兩年高考中多次出現(xiàn)，還需深入學(xué)習(xí)方能掌握。

參考文獻(xiàn)：

[1]2016高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅲ卷[Z].

[2]2019高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷[Z].

[3]2020高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷[Z].

[4]2021高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷[Z].

課題名稱：基于學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)策略研究，課題號(hào)：JK20036

3828500338210