多管齊下，提高解題能力

廖可媛

摘 要：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生所掌握的知識、技能和思想方法，都要通過解題加以呈現(xiàn)，所以說解題能力體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合水平，同時，解題能力也是學(xué)生應(yīng)對數(shù)學(xué)高考的重要武器。因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段，教師要根據(jù)學(xué)生所面臨的學(xué)習(xí)困境，積極改進(jìn)教學(xué)策略，爭取培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣，豐富其解題技巧，最終促進(jìn)學(xué)生解題能力的進(jìn)步。

關(guān)鍵詞：高三數(shù)學(xué);復(fù)習(xí);解題能力;教學(xué)策略

在高三復(fù)習(xí)過程中，學(xué)生所面臨的是整個高中階段的數(shù)學(xué)知識，所遇到的問題普遍具有綜合性、開放性、復(fù)雜性較強(qiáng)的特點(diǎn)，這是學(xué)生錘煉解題技能的最佳時機(jī)。但是，隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，高中生在解題方面的問題不斷暴露出來，比如：基礎(chǔ)不扎實(shí);解題思維不夠靈活;解題過程繁瑣、效率低下等等，這嚴(yán)重限制了學(xué)生數(shù)學(xué)興趣和數(shù)學(xué)水平的提升。因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)中，教師要認(rèn)真觀察學(xué)生的解題過程，根據(jù)學(xué)生的弱勢進(jìn)行針對性教學(xué)，爭取在鍛煉學(xué)生解題能力的同時，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)相關(guān)的各方面素質(zhì)和品格的發(fā)展。

1.全面回歸教材，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)中的概念、定義、公式、定理等基礎(chǔ)知識是學(xué)生解題的重要工具，如果學(xué)生基礎(chǔ)不牢，就無法快速、準(zhǔn)確地判斷題目中的關(guān)鍵性信息，不能將其和已掌握的數(shù)學(xué)知識建立聯(lián)系，自然找不到解題的方向和方法，這體現(xiàn)了夯實(shí)基礎(chǔ)對于提高解題能力的重要性。但是，高三學(xué)生盲目追求效率和成績，整日投入到題海訓(xùn)練中，反而忽視了教材上最基礎(chǔ)、最核心的內(nèi)容，根基不牢，學(xué)生自然難以穩(wěn)步提升。所以，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)中，教師首先要帶領(lǐng)學(xué)生全面回歸教材，按照一定的順序、規(guī)律梳理基礎(chǔ)知識，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，從而使學(xué)生對高中數(shù)學(xué)產(chǎn)生清晰、全面的認(rèn)識，為學(xué)生解題奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

例如：在復(fù)習(xí)之初，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生從必修一開始梳理教材。而考慮到每名學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)節(jié)奏不同，所以為了保證學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，讓學(xué)生利用課下時間自主完成復(fù)習(xí)，在課上進(jìn)行交流和總結(jié)。比如針對《數(shù)列》這一章，教師要求學(xué)生利用課下時間認(rèn)真閱讀教材，整理相關(guān)的概念和公式，并掌握書上典型例題的解法。而在課堂上，學(xué)生呈現(xiàn)出不一樣的復(fù)習(xí)成果，有的通過表格將等差數(shù)列與等比數(shù)列進(jìn)行對比式總結(jié)，本章的所有概念、公式都囊括其中;還有的學(xué)生則通過思維導(dǎo)圖來體現(xiàn)各部分知識之間的聯(lián)系。而教師則給學(xué)生展示一些新穎、易錯的題目，供學(xué)生即時訓(xùn)練，比如：設(shè){an}是等差數(shù)列，{an}為等比數(shù)列，其公比q≠1，且bi>0（i=1，2，3，…，n），若a1=b1，a11=b11，則a6和b6存在怎樣的大小關(guān)系？這道題所考察是學(xué)生對等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的理解和應(yīng)用，同時需要學(xué)生滲透基本不等式的知識。最后，讓學(xué)生提出自己遇到的問題，教師進(jìn)行補(bǔ)充式講解。通過以上方式，可以完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識體系，使學(xué)生在解題時能快速聯(lián)系、調(diào)用基礎(chǔ)知識，以初步提高學(xué)生的解題能力。

2.加強(qiáng)審題指導(dǎo)，保證解題質(zhì)量

高中數(shù)學(xué)題目的閱讀量普遍較大，其中條件錯綜復(fù)雜，再加上有一些無關(guān)信息的干擾，給學(xué)生審題造成阻礙，常常誤導(dǎo)學(xué)生的解題方向，這凸顯了審題指導(dǎo)在習(xí)題教學(xué)中的重要性。而通過觀察學(xué)生的解題過程不難發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生并沒有掌握審題的方法，為了追求效率，刻意提高讀題的速度，結(jié)果很難從中提取有效的信息，甚至不清楚考點(diǎn)所在。所以，在高三數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，教師可以建議學(xué)生按照以下步驟進(jìn)行審題：

（1）放慢速度，逐字逐句地讀題，確定問題以及題目的考點(diǎn);

（2）重讀題目，將題干中的數(shù)據(jù)、數(shù)量關(guān)系、圖形的位置關(guān)系呈現(xiàn)在圖示上，如果沒有圖示，根據(jù)題意作圖;

（3）從問題出發(fā)，建立條件和問題之間的聯(lián)系。如果尚無思路，則從條件出發(fā)，從中挖掘隱含的信息;

（4）將所有條件進(jìn)行綜合，尋找條件與問題之間的聯(lián)系……

當(dāng)然，實(shí)際的審題過程需要學(xué)生根據(jù)具體的題目而定，這樣學(xué)生才能盡快找到解題方向。

例如：針對這道題目：已知圓，為圓上的動點(diǎn)，求的最大值、最小值。

學(xué)生讀完題目后，確定本題所求的對象，然后畫出直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意作出，隨機(jī)選一點(diǎn)為P。此時，學(xué)生依舊找不到條件與問題之間的關(guān)聯(lián)，于是，學(xué)生從入手，過點(diǎn)P做垂直于X軸的垂線，并連接OP，構(gòu)造一個直角三角形。接著，學(xué)生根據(jù)勾股定理，得到OP2=x2+y2=>d=OP2。所以，原問題就被轉(zhuǎn)化成求OP2的最大值和最小值。根據(jù)圖示，學(xué)生很快便能確定P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離何時最大，何時最小，從而確定解題方向。通過這種訓(xùn)練方式，可以培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣，以保證學(xué)生解題過程的質(zhì)量。

3.引導(dǎo)一題多解，豐富解題技巧

不難發(fā)現(xiàn)，對于同一道數(shù)學(xué)題目，教師可以選擇不同的方式、方法，甚至運(yùn)用不同的知識進(jìn)行解答，這說明數(shù)學(xué)在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐瑫r，也具有開放、多元的特點(diǎn)。而在實(shí)際的考試過程中，學(xué)生容易受到考場氛圍的影響，不能穩(wěn)定發(fā)揮，很可能忘記平時掌握的一些知識和方法，在這種情況下，就需要學(xué)生另辟蹊徑，用自己最熟悉、最擅長的方式來解題。所以，在高三數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練中，教師要引導(dǎo)學(xué)生一題多解，從而拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，豐富學(xué)生的解題技巧，使學(xué)生在考試過程中更加自信從容。

然后，讓學(xué)生對每一種解法進(jìn)行分析和評價，從中選出自己最擅長的一種。通過這種訓(xùn)練方式，可以幫助學(xué)生找到最適合自己的最優(yōu)解題方法，從而使學(xué)生在實(shí)際考試中能夠揚(yáng)長避短。

4.引導(dǎo)一題多變，提升思維品質(zhì)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生掌握某一題的解法之后，如果對題目進(jìn)行變化，學(xué)生就會陷入新的困境。這不僅說明學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不牢固，也說明學(xué)生思維固化，缺乏應(yīng)變能力。而數(shù)學(xué)高考試題每年都會更新，雖說考察的知識點(diǎn)大體不變，但試題的形式更加新穎，更富于變化，這對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提出了更高的要求。所以，在高三數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，教師要帶領(lǐng)學(xué)生展開變式訓(xùn)練，也就是對一道例題的條件、結(jié)論或問題進(jìn)行變化，引導(dǎo)學(xué)生不斷轉(zhuǎn)換思考的角度和解題的方法。從而提升學(xué)生思維的靈活性和敏捷性，使學(xué)生有足夠的能力面對更新穎、更復(fù)雜的問題。

例如：函數(shù)在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的取值范圍是_____.

這道題目難度不高，學(xué)生只要掌握三角函數(shù)圖像的特點(diǎn)，根據(jù)題意推斷出函數(shù)在區(qū)間[0，1]內(nèi)應(yīng)有多少個周期，就能解出ω的取值范圍。但在實(shí)際的考試中，這類題型會更加復(fù)雜，于是筆者將例題進(jìn)行如下變式：

變式一：函數(shù)在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的取值范圍是_____.

變式二：函數(shù)在區(qū)間上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的取值范圍是_____.

變式三：函數(shù)在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最小值，則ω的取值范圍是_____.

變式四：函數(shù)在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的取值范圍是_____.

……

以上變式題目均改變了例題的一部分條件，但是解題的方法并無太大變化。比如變式一，僅將例題中的sin換成cos，學(xué)生只要思考函數(shù)的圖像在區(qū)間[0，1]內(nèi)應(yīng)有多少個周期，就能解出ω的取值范圍。當(dāng)學(xué)生完成以上變題后，可讓學(xué)生繼續(xù)變式，并互相交換題目。通過這種一題多變的訓(xùn)練方式，可以提升學(xué)生的思維品質(zhì)和應(yīng)變能力，并使學(xué)生對某類題型的解法掌握得更加純熟。

5.滲透數(shù)學(xué)思想，提高解題效率

數(shù)學(xué)思想反映著數(shù)學(xué)的本質(zhì)和規(guī)律，無論是理解數(shù)學(xué)概念還是解決數(shù)學(xué)問題，適當(dāng)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生化繁為簡，提高學(xué)習(xí)和探究的效率。比如，在學(xué)習(xí)“等比數(shù)列”時，如果能夠利用“類比思想”，將其和“等差數(shù)列”進(jìn)行綜合比較，然后根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)來推斷等比數(shù)列可能具有的性質(zhì)，便能有效簡化探究過程，同時能構(gòu)建知識系統(tǒng)。而在解決集合運(yùn)算的問題時，如果能運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”，即以韋恩圖或數(shù)軸來表示集合，便能提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性。所以，在高三數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練中，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，以提高學(xué)生的解題效率。

但是部分學(xué)生并不擅長運(yùn)用化歸思想，需要教師再指導(dǎo)學(xué)生采取數(shù)形結(jié)合法，大致步驟如下：將轉(zhuǎn)化成橢圓方程：，然后畫出該橢圓，而所表示的就是橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方。之后根據(jù)圖示判斷哪種情況下橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方最大或最小，而后求出的最大值和最小值。

此外，倡導(dǎo)學(xué)生在日常練習(xí)中注意總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法的使用情況，比如：遇見絕對值符號便展開分類討論;遇見斜率、截距、距離等問題便采取數(shù)形結(jié)合等等。通過這種訓(xùn)練方式，可以幫助學(xué)生在解題過程中盡快找到最優(yōu)解法，并使學(xué)生對數(shù)學(xué)的本質(zhì)產(chǎn)生更深層次的認(rèn)識。

6.指導(dǎo)反思總結(jié)，加強(qiáng)錯題整理

高三復(fù)習(xí)不僅是鞏固基礎(chǔ)、提升能力的過程，更是學(xué)生查缺補(bǔ)漏的良機(jī)。而在集中性的習(xí)題訓(xùn)練中，學(xué)生必定會出現(xiàn)各種各樣的錯誤，這暴露了學(xué)生的薄弱之處，同時也給學(xué)生自我提升指明了方向。所以，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生對錯題進(jìn)行反思和總結(jié)，并根據(jù)自己的學(xué)習(xí)規(guī)律整理錯誤資源。一來避免學(xué)生重蹈覆轍，二來讓學(xué)生在反思、總結(jié)、歸納、整理的過程中不斷彌補(bǔ)自身不足，得到數(shù)學(xué)解題能力的持續(xù)提升。

例如：函數(shù)的圖像與X軸只有一個交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

這道題雖然難度不深，但卻不能過于輕視，很多學(xué)生直接判斷，解得或。在筆者的指導(dǎo)下，學(xué)生進(jìn)行如下反思和總結(jié)：

①錯因分析：結(jié)果缺失，沒有考慮系數(shù)為零的情況;

②正確解法：先考慮當(dāng)時，，該一次函數(shù)圖像為一條直線，與X軸只有一個交點(diǎn)。故本題正確結(jié)論為：{-3，0，1};

③自我反思：在處理這類問題時，首先應(yīng)考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，如果不能確定，要進(jìn)行分類討論……

另外，針對一些比較典型的錯題，學(xué)生則將其進(jìn)行分類，整理在錯題集上。而教師定期收集學(xué)生的錯題本，了解學(xué)生普遍存在的問題，據(jù)此改善教學(xué)方法。通過以上方式，可以培養(yǎng)學(xué)生自檢自治的意識和能力，并提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的正確率。

總之，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段，教師要全面考慮學(xué)生在解題過程中所遇到的困境，據(jù)此創(chuàng)新習(xí)題教學(xué)的方法和形式，爭取讓學(xué)生在夯實(shí)基礎(chǔ)、掌握技巧的同時，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，最終促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)各方面素養(yǎng)的提升，為學(xué)生參加數(shù)學(xué)高考提供有力支持。

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本文系福建省教學(xué)科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題：打數(shù)據(jù)驅(qū)動的高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)監(jiān)控與精準(zhǔn)干預(yù)行動研究（課題編號：FJJKKB20-790）系列論文之一

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