對(duì)準(zhǔn)目標(biāo),放縮“有度”

楊超拔

摘 要：本文從一道數(shù)列不等式的難點(diǎn)，探究試題的三種不同解法出發(fā)，分析每種解法的難點(diǎn)所在，以及如何突破難點(diǎn)，后面通過(guò)兩道典型例題來(lái)拓展放縮法思維，讓學(xué)生找到最貼近自己思維層次的理解方式，幫助學(xué)生逐步形成數(shù)列不等式的思維體系。

關(guān)鍵詞：數(shù)列不等式;裂項(xiàng)放縮;等比放縮

題目：已知數(shù)列滿(mǎn)足求證：

難點(diǎn)剖析：此題是筆者出在高三理科數(shù)學(xué)周練試卷上的一道試題的節(jié)選，改卷時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)所任教的班級(jí)同學(xué)僅少數(shù)同學(xué)能夠完整的解答出（糖水不等式法）這道題，筆者與各層次的學(xué)生進(jìn)行深入交流，學(xué)生認(rèn)為麻煩的是明知這是用放縮法來(lái)解決，但首先不清楚是先求和再放縮，還是放縮后再求和，其次困惑的是如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這個(gè)“度”如何把握，學(xué)生一下沒(méi)了頭緒，不知道該如何著手，容易想到一些固有知道的放縮技巧，但又不會(huì)根據(jù)證明目標(biāo)實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)?shù)胤趴s，導(dǎo)致這成了最大的難點(diǎn)。這“恰當(dāng)”兩字，包含著種種的技巧和策略。

下面是這道數(shù)列不等式的學(xué)生答卷中三種證法的提煉。

證法1：（利用糖水不等式放縮）

點(diǎn)評(píng)：上述解法思路相對(duì)比較直接，在高中數(shù)學(xué)人教版必修5第87頁(yè)例1出現(xiàn)了糖水不等式并且做了嚴(yán)謹(jǐn)證明，所以同學(xué)并不陌生。糖水不等式不僅有著豐富的現(xiàn)實(shí)生活背景，而且在比較大小、放縮證明中有著重要的作用。

證法2：（利用等比放縮）

點(diǎn)評(píng)：考試中有些同學(xué)這樣處理：

，這已經(jīng)是為等比放縮做準(zhǔn)備，但由于沒(méi)有目標(biāo)意識(shí)，證明無(wú)法進(jìn)行。其實(shí)，所證不等式右邊是常數(shù)，所以對(duì)的分母必須含有3，則有的處理手法，不但進(jìn)一步進(jìn)行放大，而且轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)然由于，必須保留不放大.

等比放縮的原理是：構(gòu)造等比數(shù)列，其首項(xiàng)為p，公比為q，則其前n項(xiàng)和公式，當(dāng)，數(shù)列收斂.對(duì)于類(lèi)型（c為常數(shù)）數(shù)列不等式的證明，只需構(gòu)造合適的等比數(shù)列進(jìn)行放縮，即，當(dāng)然等比放縮的局限在于：只適合帶n次方的數(shù)列.

證法3：（利用列項(xiàng)放縮）

點(diǎn)評(píng)：將通項(xiàng)cn兩次放大及裂項(xiàng)以及保留c1不放大，看上去不就“乘上一點(diǎn)”、“仍掉一點(diǎn)”，看似簡(jiǎn)單，其實(shí)這種技巧不是隨心所欲得來(lái)的，而是摸清裂項(xiàng)伴隨著放縮這一重要的特征才作出恰如其分的過(guò)程.

常見(jiàn)的數(shù)列通項(xiàng)的放縮技巧有以下幾種：

對(duì)的裂項(xiàng)放大：

; ;

對(duì)的裂項(xiàng)放縮：

;

對(duì)的等比放縮：

;

熟悉了常規(guī)方法，然后再去追求方法的的新奇，所有新奇思路的獲得，必植根于扎實(shí)的基礎(chǔ)之中。

例題1：若（），求證：

證法一：

證法二：

證法三：，令，，

，

又

注：法一與法二是等比放縮的手法，法三是等比壓縮的手法，這樣的“放縮鏈”是考察了“偽等比數(shù)列”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)之后的一種恰如其分的構(gòu)造。

例題：2已知數(shù)列中，，證明：（1）;

（2）;（3）

分析：（1）先由數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)不等式成立，假設(shè)成立，則當(dāng)成立，所以，所以。

，所以依次遞推可得：

，

令，，，故在單調(diào)遞減，于是，

從而，累乘得：

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

注：函數(shù)的構(gòu)造，與其說(shuō)是認(rèn)真觀察題設(shè)條件得來(lái)的，不如說(shuō)是一種創(chuàng)造性的突破，這樣的構(gòu)造反映了解題時(shí)清晰的目的性，這種解題的靈感是長(zhǎng)期積聚后的豁然開(kāi)朗。

放縮是一種技巧性較強(qiáng)的不等變形，沒(méi)有固定的模式，這是一種靈活機(jī)動(dòng)的戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)，許多時(shí)候，就那么輕輕地一放、一縮，本質(zhì)問(wèn)題解決了。當(dāng)然放到什么程度，縮到怎樣的范圍，必須事先在心中有一個(gè)充分的估計(jì)，必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過(guò)頭，縮不能不及。

通過(guò)本文的兩三道題目無(wú)法道盡放縮法的林林種種，教師平時(shí)教學(xué)應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)題目開(kāi)拓解題思維，從多角度觀察觀察一個(gè)對(duì)象，對(duì)一道題目進(jìn)行一題多解，密切注意放縮法的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)放縮法的規(guī)律，從中找出放縮的技巧與角度，有些技巧十分巧妙，不是一朝一夕能夠掌握的，它需要不斷積累，細(xì)心品味，逐步提高。

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