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    直觀想象素養(yǎng)下數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的實(shí)例探究

    2021-03-11 00:02:20王勝鋒
    天府?dāng)?shù)學(xué) 2021年12期

    王勝鋒

    摘 要:本文在直觀想象素養(yǎng)下通過對數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的過程,應(yīng)用特點(diǎn),本質(zhì)的分析,以高中數(shù)學(xué)立體幾何這部分內(nèi)容為例,結(jié)合教材和筆者在教學(xué)中碰到的問題,分析和例證了如何進(jìn)行數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的意義,旨在幫助學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效果。

    關(guān)鍵詞:直觀想象;反思性學(xué)習(xí);實(shí)例

    直觀想象是高中生很重要的一種核心素養(yǎng),學(xué)生只有對數(shù)學(xué)知識有整體上的了解,才能有目的地展開想象,進(jìn)而連續(xù)向自己提出問題,直至找到問題的答案。在數(shù)學(xué)的教與學(xué)過程中,教師經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想,驗(yàn)證,從而找到解決問題的方法,這其中的過程本身就是反思性學(xué)習(xí)的具體表現(xiàn)。在碰到一些不能直接解決或經(jīng)常犯錯(cuò)誤的問題時(shí),我們總是不斷反問自己:是不是這樣?哪里出錯(cuò)了?假如這樣會(huì)怎么樣?本文以高中數(shù)學(xué)立體幾何這部分內(nèi)容為例,結(jié)合教材和作者在教學(xué)中碰到的問題,談?wù)剬W(xué)生如何進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)以及反思性學(xué)習(xí)的意義,旨在幫助學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的反思效果。

    一、反思性學(xué)習(xí)的主要過程

    反思性學(xué)習(xí)是對思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識的檢驗(yàn)過程。在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中要不斷地進(jìn)行反省,重新概括和抽象。要求學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中對涉及到的事物、材料、信息、思維、結(jié)果等進(jìn)行反向思考。當(dāng)學(xué)習(xí)內(nèi)容呈現(xiàn)后,學(xué)習(xí)者先對條件,問題進(jìn)行綜合分析,然后探索尋找問題的答案,最后整理學(xué)習(xí)過程,獲得學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),方法,心理感悟。在探索階段主要依靠自我解釋,交叉驗(yàn)證(反復(fù)驗(yàn)證),結(jié)果反饋這三個(gè)步驟來完成。

    二、反思性學(xué)習(xí)的應(yīng)用特點(diǎn)

    學(xué)生通過反思性學(xué)習(xí),可以深刻體會(huì)學(xué)習(xí)過程中是如何探究的,研究的心理變化,知識和技能的總結(jié),從而增強(qiáng)學(xué)生的思維能力,提高學(xué)生的創(chuàng)造力,促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。反思性學(xué)習(xí)重視反思的過程,善于運(yùn)用每次的結(jié)果去引導(dǎo)反思,從而對整個(gè)學(xué)習(xí)過程起到調(diào)控的作用,保持反思的效果。

    反思性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)可以概括為:

    1.基礎(chǔ)性

    學(xué)生在反思性學(xué)習(xí)的過程中以自己已有的知識和經(jīng)驗(yàn)方法為基礎(chǔ),對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)的難易程度對于不同的學(xué)生是不一樣的。每次反思性學(xué)習(xí)的成果都會(huì)成為下一次學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

    2.探究性

    反思性學(xué)習(xí)不是簡單的練習(xí),它是對問題的深層次思考。在學(xué)習(xí)的過程中,問題本身有一定的難度和開放性,從而引發(fā)學(xué)生一系列的思考,探究。常見的探究過程就是提出問題,探究問題,解決問題。學(xué)生通過探究其中的問題和答案,重構(gòu)自己對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解。

    3.自主性

    反思性學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生自己,自主探究,最終獲得問題解決的答案。學(xué)生以自身學(xué)習(xí)的合理性為出發(fā)點(diǎn),通過自我認(rèn)識,自我分析,自我評價(jià)獲得自我體驗(yàn)。對于學(xué)生來說首先是想學(xué),然后是堅(jiān)持學(xué),整個(gè)過程具有很強(qiáng)的自主性。

    4.反饋性

    學(xué)生在每次探究之后都會(huì)獲得對應(yīng)的結(jié)論,有的結(jié)論就是問題的答案,問題得以解決。有的結(jié)論說明或證明之前的想法、猜想是錯(cuò)誤的,得重新回到問題的起點(diǎn),構(gòu)思新的解決辦法。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中,通過層層反饋,不斷努力,最終找到問題的答案。

    5.發(fā)展性

    反思性學(xué)習(xí)不僅加深了學(xué)生對本次學(xué)習(xí)問題的理解,而且為下一次的學(xué)習(xí)提供新的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在對學(xué)習(xí)內(nèi)容的不斷反思中形成了對知識的再學(xué)習(xí)以及對自身的了解,提升了個(gè)人的學(xué)習(xí)能力和綜合素質(zhì)。

    《高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)準(zhǔn)》中提到高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)倡導(dǎo)自主探索,動(dòng)手實(shí)踐,合作交流,閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。從以上對反思性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)來看與課標(biāo)所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式是一致的。

    三、數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的本質(zhì)

    如果說“數(shù)學(xué)反思性教學(xué)的本質(zhì)是教師從學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識進(jìn)行反思,產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)問題”,那么數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是學(xué)生通過對新問題的分析、探究,構(gòu)建數(shù)學(xué)新的知識和方法。面對新的數(shù)學(xué)問題,學(xué)生首先要返回到學(xué)過的知識和方法上分析問題的條件和需要的結(jié)論,接著嘗試解決問題的思路與方法,然后總結(jié)完善自我的知識體系,改進(jìn)自我的思維方式,最終形成新的學(xué)習(xí)體會(huì)。

    數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)不僅僅是對知識和技能的一般回顧和重復(fù),而是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中所涉及的知識和技能的深究,通過自己的努力形成一種科學(xué)的研究問題的方法。

    數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)也不僅僅是解決數(shù)學(xué)問題,更重要的是以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為載體,以“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”為目的。學(xué)習(xí)過程中既關(guān)注學(xué)習(xí)的直接結(jié)果——眼前的數(shù)學(xué)成績,也關(guān)注間接結(jié)果——數(shù)學(xué)思維能力的提高,未來學(xué)習(xí)能力的發(fā)展,是幫助學(xué)生終身學(xué)習(xí)的一種方法。

    四、數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的實(shí)例探究

    (一)數(shù)學(xué)反思性的學(xué)習(xí)貫穿整個(gè)課程。

    1.問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)

    在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2》中的本冊導(dǎo)引中,編者著重強(qiáng)調(diào)“學(xué)習(xí)始于疑問”,“學(xué)而不思則罔”,說明了反思的重要性。學(xué)生首先通過適當(dāng)?shù)挠^察,思考,探究等活動(dòng),打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),接著還得通過獨(dú)立思考,學(xué)會(huì)思考,不斷提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

    在課本中,我們經(jīng)??梢钥吹竭@樣的思考:

    我們?nèi)绾蚊枋鰩缀误w的形狀?

    當(dāng)常見的幾何體底面發(fā)生變化是,它們在結(jié)構(gòu)上是否能相互轉(zhuǎn)化?

    當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸時(shí),斜率公式還適用嗎,為什么?

    這些問題可以很好的幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中進(jìn)行反思,理清數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延,以及公式、結(jié)論適用的條件和范圍。

    2.證明方法指引學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)

    在高中立體幾何的教學(xué)過程中,我們普遍感覺學(xué)生存在表述不清楚,證明的思路混亂等想象,從而導(dǎo)致他們在學(xué)習(xí)立體幾何這部分時(shí)心理壓力比較大。在直觀想象素養(yǎng)下,結(jié)合可能的幾何圖形,嘗試在高中立體幾何中運(yùn)用反思性學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,拓寬學(xué)生思維的廣度。

    高中數(shù)學(xué)必修2(人教版)課本P70頁,思考:已知直線a、b和平面α,如果a⊥α,b⊥α,那么直線a、b一定平行嗎?

    這個(gè)問題看似很簡單,但思考之后學(xué)生發(fā)現(xiàn)無法把直線a、b歸納到同一個(gè)平面內(nèi),如何用平面幾何的知識來解決,在這種情況下,反向思維起到了不可替代的作用。

    證明如下:

    如圖1-1,假定a與b不平行,則,過點(diǎn)O作,使,由于可確定平面β,記,,因?yàn)閍⊥α,b⊥α,所以a⊥c,b⊥c

    又 所以,這樣過點(diǎn)O在同意個(gè)平面β內(nèi)有兩條直線垂直于直線c,這與事實(shí)不符,原假設(shè)不成立。故

    數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)主要圍繞著數(shù)學(xué)問題展開,而問題的求解包含兩個(gè)部分:合理分析和嚴(yán)格論證,尤其是問題的分析和發(fā)現(xiàn)過程。上述的求解過程通過假設(shè),引發(fā)想象,導(dǎo)出矛盾,最終給出判斷,是一種化難為易的證明方法。學(xué)生將”間接法”拓展開去,用”反證思想”分析和解決問題,使之與正向思維共同作用,以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨能力。

    (二)數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)在猜想中獲得發(fā)展和提升

    數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué),數(shù)學(xué)很注重圖形的呈現(xiàn),通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化,可以很好地化解問題的難度。在這一過程中,學(xué)生通過直觀想象,分化同構(gòu),合理推演,找到問題的突破口,可以說大部分時(shí)候想象比運(yùn)算推理更重要。一方面,數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)可以提升自己對數(shù)學(xué)的認(rèn)識,增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感,進(jìn)而提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。另一方面,在直觀想象下,學(xué)生會(huì)更積極,大膽去鉆研問題,甚至是數(shù)學(xué)難題。因?yàn)樵谥庇^想象下,數(shù)學(xué)問題的分析更具有開放性和多樣性,具體性,學(xué)生愿意去嘗試不同的可能。

    問題:已知在三棱柱中,,,面⊥面,求直線與平面所成角的正弦值。

    本題如果能找到過直線上一點(diǎn)與平面垂直的垂線,則直線與平面所成的角就能確定。所以關(guān)鍵問題是如何判斷出垂線的位置。

    結(jié)合題目的已知條件,如圖2,易知面,

    1.自主探究

    (1)如圖3,在等邊中,取的中點(diǎn)E,連,,則

    假設(shè)平面,則

    令,則,又,所以

    記,

    在中,由余弦定理得 ,

    所以,

    所以 ,從而原假設(shè)不成立,即不垂直于平面

    (2)如圖4,在等邊中,取的中點(diǎn)F,連,

    假設(shè)平面,則

    由分析2知,, 顯然不垂直,即原假設(shè)不成立,不垂直于平面

    2.反饋調(diào)整

    學(xué)生由圖形的特征,通過直觀想象,進(jìn)行了適當(dāng)?shù)募僭O(shè),求證,對問題的條件由了進(jìn)一步的解釋。雖然經(jīng)歷了兩次的失敗,但反思一下問題,顯然有用的條件還沒有找到,重新構(gòu)思,反思問題的解法在哪里,同時(shí)也檢查自己的思維過程是否嚴(yán)密以及圍繞基本思想方法的行動(dòng)是否夠深入。

    如圖5,連,過作,垂足為M,

    假設(shè)平面,則 ,在這里有,考慮到已知條件,取的中點(diǎn)N,連、,顯然面,所以,又,且面,所以平面,則,又是平面內(nèi)的兩條相交直線,所以平面,假設(shè)成立。從而為直線與平面所成的角,

    3.深入發(fā)展

    由于該三棱柱是斜三棱柱,想很快找到直線與平面所成的角不是很容易,但可以通過步步假設(shè)、反思,層層揭開了問題的謎底。在整個(gè)過程中,學(xué)生圍繞著自主探究,反饋調(diào)整,對問題有了全面的了解,也找到了解決問題的答案,最終對問題有了本質(zhì)上的把握。同時(shí),學(xué)生在如何對問題展開合理討論以及論證有了一個(gè)完整的體驗(yàn)過程,對以后的學(xué)習(xí)又積累了難得的經(jīng)驗(yàn),這些經(jīng)驗(yàn)又成為后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

    通過上述的實(shí)例探究以及數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的特點(diǎn),我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)大致可以歸納為

    五、重視直觀想象下數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的實(shí)踐,讓學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的重新認(rèn)識

    數(shù)學(xué)思維不僅僅是在抽象層面展開,更多是要借助直觀手段去探尋問題的實(shí)質(zhì),推理和運(yùn)算的方向,發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)分析和處理的結(jié)果。數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的對與錯(cuò)的判斷變得更加理性。

    1.善于發(fā)現(xiàn)問題,提高主體意識。

    在數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生面對假設(shè)問題的結(jié)論不成立,會(huì)引發(fā)對問題的重新思考和嘗試,通過新問題的不斷提出,最終發(fā)現(xiàn)矛盾,從而意識到原來的假設(shè)是有問題的。在這樣的過程中,學(xué)生不再是無從下手,而是不斷地,主動(dòng)地去尋找問題的答案。不僅用問題驅(qū)動(dòng)了學(xué)習(xí),也用問題引導(dǎo)著學(xué)生積極的思考,變被動(dòng)為主動(dòng),從而提高了學(xué)生的主體意識,主動(dòng)地去發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中遇到的問題,并且自覺地全面地尋找問題的答案。

    2.體會(huì)問題本質(zhì),提升探究能力。

    數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的過程本身就是一個(gè)自我反思,自我探究的過程。它對提高學(xué)生的思考能力,辨別對錯(cuò)的能力大有裨益。在探究的過程中,學(xué)生無論使用直接法,還是間接法推理論證,本質(zhì)上是對條件和結(jié)論的層層反思,持續(xù)論證,重復(fù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),堅(jiān)持總結(jié)新的經(jīng)驗(yàn),最終獲得問題的答案,形成對問題的再認(rèn)識。整個(gè)過程不僅加深了學(xué)生對相關(guān)知識的理解, 而且提高學(xué)了學(xué)生的分析和解決問題的能力。

    3.減緩思考壓力,提供學(xué)習(xí)動(dòng)力。

    數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)過程既有理性的思考,也有“頓悟”的靈感乍現(xiàn),并且允許學(xué)生犯錯(cuò),從頭開始。并且不以是否解決問題為標(biāo)準(zhǔn),更多強(qiáng)調(diào)自主、自由去思考問題。學(xué)生在沒有任何限制下,自主發(fā)揮。另外,學(xué)生在數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的過程中,面對不確定性,心理會(huì)產(chǎn)生對學(xué)習(xí)的期待和焦慮。實(shí)驗(yàn)表明中等程度的焦慮有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。對學(xué)習(xí)結(jié)果的期待會(huì)有助于學(xué)生堅(jiān)持學(xué)習(xí)下去,最終形成一種有效期待,為學(xué)生解決問題提供堅(jiān)持不放棄的動(dòng)力。

    六、總結(jié)

    數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)是一個(gè)持續(xù)的過程,要求學(xué)生戰(zhàn)勝困難,督促自己找出學(xué)習(xí)上的不合理性,并且解析學(xué)習(xí)過程中的不合理性,對學(xué)生學(xué)習(xí)毅力是很大的挑戰(zhàn),這也是很多學(xué)生碰到數(shù)學(xué)課就頭疼害怕的原因。教師在幫助學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中不僅要有意的設(shè)置反思障礙,多問幾個(gè)為什么,也要鼓勵(lì)學(xué)生敢于思考,找到解決問題的方法。

    “問題不可能在制造問題的同一個(gè)意識層面解決?!?,所以想象力比知識更重要,鼓勵(lì)學(xué)生通過反思性學(xué)習(xí),恰當(dāng)選擇方法對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析求證,可以有效的提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的直覺,從而建立學(xué)生意識與潛意識之間的連接,達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。直觀想象下的數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí),不僅可以提高學(xué)生對直觀想象的認(rèn)識,而且可以讓學(xué)生感受空間關(guān)系與數(shù)量關(guān)系是如何統(tǒng)一。

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