直觀想象素養(yǎng)下數(shù)學反思性學習的實例探究

王勝鋒

摘 要：本文在直觀想象素養(yǎng)下通過對數(shù)學反思性學習的過程，應用特點，本質(zhì)的分析，以高中數(shù)學立體幾何這部分內(nèi)容為例，結合教材和筆者在教學中碰到的問題，分析和例證了如何進行數(shù)學反思性學習以及數(shù)學反思性學習的意義，旨在幫助學生學會獨立思考，提高學習數(shù)學的效果。

關鍵詞：直觀想象;反思性學習;實例

直觀想象是高中生很重要的一種核心素養(yǎng)，學生只有對數(shù)學知識有整體上的了解，才能有目的地展開想象，進而連續(xù)向自己提出問題，直至找到問題的答案。在數(shù)學的教與學過程中，教師經(jīng)常鼓勵學生大膽猜想，驗證，從而找到解決問題的方法，這其中的過程本身就是反思性學習的具體表現(xiàn)。在碰到一些不能直接解決或經(jīng)常犯錯誤的問題時，我們總是不斷反問自己：是不是這樣？哪里出錯了？假如這樣會怎么樣？本文以高中數(shù)學立體幾何這部分內(nèi)容為例，結合教材和作者在教學中碰到的問題，談談學生如何進行反思性學習以及反思性學習的意義，旨在幫助學生學會獨立思考，提高學習數(shù)學的反思效果。

一、反思性學習的主要過程

反思性學習是對思維結果進行再認識的檢驗過程。在整個學習過程中要不斷地進行反省，重新概括和抽象。要求學習者在學習過程中對涉及到的事物、材料、信息、思維、結果等進行反向思考。當學習內(nèi)容呈現(xiàn)后，學習者先對條件，問題進行綜合分析，然后探索尋找問題的答案，最后整理學習過程，獲得學習經(jīng)驗，方法，心理感悟。在探索階段主要依靠自我解釋，交叉驗證（反復驗證），結果反饋這三個步驟來完成。

二、反思性學習的應用特點

學生通過反思性學習，可以深刻體會學習過程中是如何探究的，研究的心理變化，知識和技能的總結，從而增強學生的思維能力，提高學生的創(chuàng)造力，促進學生的全面發(fā)展。反思性學習重視反思的過程，善于運用每次的結果去引導反思，從而對整個學習過程起到調(diào)控的作用，保持反思的效果。

反思性學習的特點可以概括為：

1.基礎性

學生在反思性學習的過程中以自己已有的知識和經(jīng)驗方法為基礎，對學習內(nèi)容進行學習。學習的難易程度對于不同的學生是不一樣的。每次反思性學習的成果都會成為下一次學習的基礎。

2.探究性

反思性學習不是簡單的練習，它是對問題的深層次思考。在學習的過程中，問題本身有一定的難度和開放性，從而引發(fā)學生一系列的思考，探究。常見的探究過程就是提出問題，探究問題，解決問題。學生通過探究其中的問題和答案，重構自己對學習內(nèi)容的理解。

3.自主性

反思性學習的主體是學生自己，自主探究，最終獲得問題解決的答案。學生以自身學習的合理性為出發(fā)點，通過自我認識，自我分析，自我評價獲得自我體驗。對于學生來說首先是想學，然后是堅持學，整個過程具有很強的自主性。

4.反饋性

學生在每次探究之后都會獲得對應的結論，有的結論就是問題的答案，問題得以解決。有的結論說明或證明之前的想法、猜想是錯誤的，得重新回到問題的起點，構思新的解決辦法。學生學習的過程中，通過層層反饋，不斷努力，最終找到問題的答案。

5.發(fā)展性

反思性學習不僅加深了學生對本次學習問題的理解，而且為下一次的學習提供新的學習經(jīng)驗。學生在對學習內(nèi)容的不斷反思中形成了對知識的再學習以及對自身的了解，提升了個人的學習能力和綜合素質(zhì)。

《高中數(shù)學新課標準》中提到高中數(shù)學課程應倡導自主探索，動手實踐，合作交流，閱讀自學等學習數(shù)學的方式。從以上對反思性學習的特點來看與課標所倡導的學習方式是一致的。

三、數(shù)學反思性學習的本質(zhì)

如果說“數(shù)學反思性教學的本質(zhì)是教師從學生已有數(shù)學知識進行反思，產(chǎn)生新的數(shù)學問題”，那么數(shù)學反思性學習的本質(zhì)就是學生通過對新問題的分析、探究，構建數(shù)學新的知識和方法。面對新的數(shù)學問題，學生首先要返回到學過的知識和方法上分析問題的條件和需要的結論，接著嘗試解決問題的思路與方法，然后總結完善自我的知識體系，改進自我的思維方式，最終形成新的學習體會。

數(shù)學反思性學習不僅僅是對知識和技能的一般回顧和重復，而是對數(shù)學學習活動中所涉及的知識和技能的深究，通過自己的努力形成一種科學的研究問題的方法。

數(shù)學反思性學習也不僅僅是解決數(shù)學問題，更重要的是以數(shù)學學習為載體，以“學會學習”為目的。學習過程中既關注學習的直接結果——眼前的數(shù)學成績，也關注間接結果——數(shù)學思維能力的提高，未來學習能力的發(fā)展，是幫助學生終身學習的一種方法。

四、數(shù)學反思性學習的實例探究

（一）數(shù)學反思性的學習貫穿整個課程。

1.問題引導學生進行數(shù)學反思性學習

在《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修2》中的本冊導引中，編者著重強調(diào)“學習始于疑問”，“學而不思則罔”，說明了反思的重要性。學生首先通過適當?shù)挠^察，思考，探究等活動，打下堅實的數(shù)學基礎，接著還得通過獨立思考，學會思考，不斷提高解決數(shù)學問題的能力。

在課本中，我們經(jīng)常可以看到這樣的思考：

我們?nèi)绾蚊枋鰩缀误w的形狀？

當常見的幾何體底面發(fā)生變化是，它們在結構上是否能相互轉化？

當直線平行于坐標軸時，斜率公式還適用嗎，為什么？

這些問題可以很好的幫助學生在學習的過程中進行反思，理清數(shù)學概念的內(nèi)涵和外延，以及公式、結論適用的條件和范圍。

2.證明方法指引學生進行數(shù)學反思性學習

在高中立體幾何的教學過程中，我們普遍感覺學生存在表述不清楚，證明的思路混亂等想象，從而導致他們在學習立體幾何這部分時心理壓力比較大。在直觀想象素養(yǎng)下，結合可能的幾何圖形，嘗試在高中立體幾何中運用反思性學習可以培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，拓寬學生思維的廣度。

高中數(shù)學必修2（人教版）課本P70頁，思考：已知直線a、b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直線a、b一定平行嗎？

這個問題看似很簡單，但思考之后學生發(fā)現(xiàn)無法把直線a、b歸納到同一個平面內(nèi)，如何用平面幾何的知識來解決，在這種情況下，反向思維起到了不可替代的作用。

證明如下：

如圖1-1，假定a與b不平行，則，過點O作，使，由于可確定平面β，記，，因為a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c

又 所以，這樣過點O在同意個平面β內(nèi)有兩條直線垂直于直線c，這與事實不符，原假設不成立。故

數(shù)學的學習主要圍繞著數(shù)學問題展開，而問題的求解包含兩個部分：合理分析和嚴格論證，尤其是問題的分析和發(fā)現(xiàn)過程。上述的求解過程通過假設，引發(fā)想象，導出矛盾，最終給出判斷，是一種化難為易的證明方法。學生將”間接法”拓展開去，用”反證思想”分析和解決問題，使之與正向思維共同作用，以提高學生的數(shù)學思辨能力。

（二）數(shù)學反思性學習在猜想中獲得發(fā)展和提升

數(shù)學是研究數(shù)量關系與空間形式的科學，數(shù)學很注重圖形的呈現(xiàn)，通過數(shù)與形的相互轉化，可以很好地化解問題的難度。在這一過程中，學生通過直觀想象，分化同構，合理推演，找到問題的突破口，可以說大部分時候想象比運算推理更重要。一方面，數(shù)學反思性學習可以提升自己對數(shù)學的認識，增強學生的數(shù)感，進而提升學生直觀想象素養(yǎng)。另一方面，在直觀想象下，學生會更積極，大膽去鉆研問題，甚至是數(shù)學難題。因為在直觀想象下，數(shù)學問題的分析更具有開放性和多樣性，具體性，學生愿意去嘗試不同的可能。

問題：已知在三棱柱中，，，面⊥面，求直線與平面所成角的正弦值。

本題如果能找到過直線上一點與平面垂直的垂線，則直線與平面所成的角就能確定。所以關鍵問題是如何判斷出垂線的位置。

結合題目的已知條件，如圖2，易知面，

1.自主探究

（1）如圖3，在等邊中，取的中點E，連，，則

假設平面，則

令，則，又，所以

記，

在中，由余弦定理得 ，

所以，

所以 ，從而原假設不成立，即不垂直于平面

（2）如圖4，在等邊中，取的中點F，連，

假設平面，則

由分析2知，， 顯然不垂直，即原假設不成立，不垂直于平面

2.反饋調(diào)整

學生由圖形的特征，通過直觀想象，進行了適當?shù)募僭O，求證，對問題的條件由了進一步的解釋。雖然經(jīng)歷了兩次的失敗，但反思一下問題，顯然有用的條件還沒有找到，重新構思，反思問題的解法在哪里，同時也檢查自己的思維過程是否嚴密以及圍繞基本思想方法的行動是否夠深入。

如圖5，連，過作，垂足為M，

假設平面，則 ，在這里有，考慮到已知條件，取的中點N，連、，顯然面，所以，又，且面，所以平面，則，又是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，假設成立。從而為直線與平面所成的角，

3.深入發(fā)展

由于該三棱柱是斜三棱柱，想很快找到直線與平面所成的角不是很容易，但可以通過步步假設、反思，層層揭開了問題的謎底。在整個過程中，學生圍繞著自主探究，反饋調(diào)整，對問題有了全面的了解，也找到了解決問題的答案，最終對問題有了本質(zhì)上的把握。同時，學生在如何對問題展開合理討論以及論證有了一個完整的體驗過程，對以后的學習又積累了難得的經(jīng)驗，這些經(jīng)驗又成為后續(xù)學習的基礎。

通過上述的實例探究以及數(shù)學反思性學習的特點，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學反思性學習大致可以歸納為

五、重視直觀想象下數(shù)學反思性學習的實踐，讓學生獲得對數(shù)學的重新認識

數(shù)學思維不僅僅是在抽象層面展開，更多是要借助直觀手段去探尋問題的實質(zhì)，推理和運算的方向，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)分析和處理的結果。數(shù)學反思性學習有助于學生在數(shù)學問題的對與錯的判斷變得更加理性。

1.善于發(fā)現(xiàn)問題，提高主體意識。

在數(shù)學反思性學習過程中，學生面對假設問題的結論不成立，會引發(fā)對問題的重新思考和嘗試，通過新問題的不斷提出，最終發(fā)現(xiàn)矛盾，從而意識到原來的假設是有問題的。在這樣的過程中，學生不再是無從下手，而是不斷地，主動地去尋找問題的答案。不僅用問題驅(qū)動了學習，也用問題引導著學生積極的思考，變被動為主動，從而提高了學生的主體意識，主動地去發(fā)現(xiàn)學習中遇到的問題，并且自覺地全面地尋找問題的答案。

2.體會問題本質(zhì)，提升探究能力。

數(shù)學反思性學習的過程本身就是一個自我反思，自我探究的過程。它對提高學生的思考能力，辨別對錯的能力大有裨益。在探究的過程中，學生無論使用直接法，還是間接法推理論證，本質(zhì)上是對條件和結論的層層反思，持續(xù)論證，重復以往的學習經(jīng)驗，堅持總結新的經(jīng)驗，最終獲得問題的答案，形成對問題的再認識。整個過程不僅加深了學生對相關知識的理解， 而且提高學了學生的分析和解決問題的能力。

3.減緩思考壓力，提供學習動力。

數(shù)學反思性學習過程既有理性的思考，也有“頓悟”的靈感乍現(xiàn)，并且允許學生犯錯，從頭開始。并且不以是否解決問題為標準，更多強調(diào)自主、自由去思考問題。學生在沒有任何限制下，自主發(fā)揮。另外，學生在數(shù)學反思性學習的過程中，面對不確定性，心理會產(chǎn)生對學習的期待和焦慮。實驗表明中等程度的焦慮有助于激發(fā)學生學習動機。對學習結果的期待會有助于學生堅持學習下去，最終形成一種有效期待，為學生解決問題提供堅持不放棄的動力。

六、總結

數(shù)學反思性學習是一個持續(xù)的過程，要求學生戰(zhàn)勝困難，督促自己找出學習上的不合理性，并且解析學習過程中的不合理性，對學生學習毅力是很大的挑戰(zhàn)，這也是很多學生碰到數(shù)學課就頭疼害怕的原因。教師在幫助學生學習的過程中不僅要有意的設置反思障礙，多問幾個為什么，也要鼓勵學生敢于思考，找到解決問題的方法。

“問題不可能在制造問題的同一個意識層面解決。”，所以想象力比知識更重要，鼓勵學生通過反思性學習，恰當選擇方法對數(shù)學問題進行分析求證，可以有效的提高學生學習數(shù)學的直覺，從而建立學生意識與潛意識之間的連接，達到提高學生數(shù)學素養(yǎng)的目的。直觀想象下的數(shù)學反思性學習，不僅可以提高學生對直觀想象的認識，而且可以讓學生感受空間關系與數(shù)量關系是如何統(tǒng)一。

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