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    淺析利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法

    2021-03-11 23:37:42劉璇許楠桸郭歡許璐
    天府?dāng)?shù)學(xué) 2021年18期
    關(guān)鍵詞:構(gòu)造函數(shù)導(dǎo)數(shù)

    劉璇 許楠桸 郭歡 許璐

    摘 要:不等式的證明在高考數(shù)學(xué)中既是重點又是難點,利用函數(shù)與方程的思想構(gòu)造函數(shù)或者是尋找中間函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和幾何意義證明不等式是常用方法之一,本文歸納總結(jié)了利用導(dǎo)數(shù)證明高考數(shù)學(xué)中不等式的常用方法,并結(jié)合高考數(shù)學(xué)試題加以分析說明。

    關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù);不等式證明;構(gòu)造函數(shù)

    高中數(shù)學(xué)中,有均值不等式、重要不等式、絕對值不等式、柯西不等式等幾個重要的不等式,它不是孤立存在的。在函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、向量中,幾乎所有數(shù)學(xué)都是有不等式知識的,可以說不等式貫穿了整個高中數(shù)學(xué),即使在大學(xué)里面的微積分,不等式也是證明的利器。高考數(shù)學(xué)中,單獨考查不等式的大題不多,但是大部分題目里面都會體現(xiàn),不等式在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位,而利用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)證明不等式是最常見的方法。下面將介紹利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾種常用方法.。

    一、構(gòu)造函數(shù)直接求導(dǎo)法:

    即先把不等式的證明通過轉(zhuǎn)化與化歸的思想轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或者是求最值問題,從而證明不等式,這里如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。如欲證不等式(或),只需證明(或)即可。則可構(gòu)造函數(shù)(或),即證(或).如果,那么即證(或).

    接下來,若能證得函數(shù)是增函數(shù)即可,這往往用導(dǎo)數(shù)容易解決。

    評 注:這里證明分三個步驟:一是構(gòu)造函數(shù)(常利用作差法);二是對構(gòu)造的函數(shù)直接求導(dǎo),判斷其單調(diào)性;三是求此函數(shù)的最值,得出結(jié)論。但是,這里需要注意的是構(gòu)造的函數(shù)在定義域內(nèi)的導(dǎo)數(shù)存在且此時函數(shù)的最值也存在才行,否則不能直接利用作差法來構(gòu)造函數(shù),再利用單調(diào)性去證明。

    二、分拆區(qū)間設(shè)而不求法:

    有些函數(shù)它不是單調(diào)的,不能直接利用求導(dǎo)判斷其單調(diào)性,如證明不等式:(x>-1)。通過構(gòu)造函數(shù),顯然不能直接判斷它在定義域內(nèi)的單調(diào)性,直接用函數(shù)的單調(diào)性法來證明,但可以通過分拆其函數(shù)區(qū)間,證明該函數(shù)在上分別是減函數(shù)、增函數(shù),進而可得結(jié)論成立。

    評注: 欲證函數(shù)不等式,只需證明.設(shè),即證,也即證(若不存在,則須求函數(shù)的下確界),而這用導(dǎo)數(shù)往往容易解決。也就是說,當(dāng)構(gòu)造的函數(shù)不能直接利用單調(diào)性判定時,可以分析其區(qū)間來尋求其最值或求其函數(shù)的確界。

    三、利用函數(shù)最值證明法

    即欲證函數(shù)不等式是區(qū)間)恒成立,只需證明,而這用導(dǎo)數(shù)往往可以解決。它在證明一些復(fù)雜的數(shù)列不等式中經(jīng)常用到,其證明思路是將所組不等式轉(zhuǎn)化為或恒成立的形式,進而轉(zhuǎn)化為證明。

    評注:對于某些不等式要求恒成立,我們往往可以求出函數(shù)的最小值和g(x)的最大值進行比較,特別是含參數(shù)的此類題的恒成立問題。

    四、構(gòu)造中間函數(shù)分析法

    要證明不等式(或),想辦法尋找出一個中間函數(shù),使得(或)成立,如:(2013年高考新課標全國卷II理21(2)的等價問題)求證:.這里,我們設(shè),我們想辦法尋找出一個中間函數(shù),使得且兩個等號不是同時取到。當(dāng)然,一般地,函數(shù)越簡潔越好。

    顯然不可能是常數(shù)(因為函數(shù)的值域是R),所以我們可聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)的幾何意義,嘗試能否為一次函數(shù),所以首先應(yīng)當(dāng)考慮切線. 可求得函數(shù)在點處的切線是,進而可得;還可求得函數(shù)在點處的切線也是,進而可得.最后可用導(dǎo)數(shù)證得且兩個等號不是同時取到,所以欲證結(jié)論成立。

    當(dāng)然,這里也可以用前面的方法二設(shè)而不求法證明之。這也說明這些方法的等價性,只是在不同的問題中各自的側(cè)重點不同罷了。

    評注:? 欲證函數(shù)不等式是區(qū)間),只需尋找一個中間函數(shù)(可以考慮曲線是函數(shù)的公切線)使得(或)成立且兩個等號不是同時取到,而這用導(dǎo)數(shù)往往容易解決。

    綜上所述,對于一些函數(shù)不等式或數(shù)列不等式的證明,我們通??梢岳米鞑罘?gòu)造出其函數(shù),如果該函數(shù)的單調(diào)性和極值均存在,則直接利用求導(dǎo)得到單調(diào)性極值來證明;如果該函數(shù)的單調(diào)性或極值不存在,則分區(qū)間利用設(shè)而不求法來證明。另外,如果此方法都不行,則尋求中間函數(shù)(往往是一次函數(shù))過渡來證明。還有,如果是已知不等式恒成立時,求所含參數(shù)的取值范圍時,往往可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值與最小值問題。

    參考文獻:

    [1]許楠桸,許賽飛. 例談“非等價轉(zhuǎn)化”方法解高考數(shù)學(xué)題[J],科學(xué)大眾,2021(1):274-280.

    [2]鄧偉民,潘琴. 提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題方法探討[J],教育科學(xué),2019(6):326-327.

    [3]黃如炎. 構(gòu)建函數(shù)探尋不等式求證思路——以數(shù)學(xué)問題為例[J],數(shù)學(xué)通報2019(12).

    [4]吳佐慧,爺瀚文. HPM視角下的基本不等式教學(xué)[J],數(shù)學(xué)通報2020(6).

    [5]王新. 一類三角函數(shù)題的簡解[J],天府?dāng)?shù)學(xué),2021(9):254.

    *基金項目:(1)面向個性化學(xué)習(xí)的學(xué)生認知能力分析研究與實踐,湖北省教育廳資助項目(2018036)。

    (2)基于中學(xué)數(shù)學(xué)教育的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)研究,湖北名師工作室基礎(chǔ)教育研究項目(JJ16)2020.01-2021.12。

    作者簡介:劉璇,女,(1996.10-),江漢大學(xué)人工智能學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)系數(shù)學(xué)教育研究生。

    通訊作者:許璐,男,(1969.02-),副教授,研究方向:數(shù)學(xué)教育與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

    3782500338239

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