淺析利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法

劉璇 許楠桸 郭歡 許璐

摘 要：不等式的證明在高考數(shù)學(xué)中既是重點又是難點，利用函數(shù)與方程的思想構(gòu)造函數(shù)或者是尋找中間函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和幾何意義證明不等式是常用方法之一，本文歸納總結(jié)了利用導(dǎo)數(shù)證明高考數(shù)學(xué)中不等式的常用方法，并結(jié)合高考數(shù)學(xué)試題加以分析說明。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);不等式證明;構(gòu)造函數(shù)

高中數(shù)學(xué)中，有均值不等式、重要不等式、絕對值不等式、柯西不等式等幾個重要的不等式，它不是孤立存在的。在函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、向量中，幾乎所有數(shù)學(xué)都是有不等式知識的，可以說不等式貫穿了整個高中數(shù)學(xué)，即使在大學(xué)里面的微積分，不等式也是證明的利器。高考數(shù)學(xué)中，單獨考查不等式的大題不多，但是大部分題目里面都會體現(xiàn)，不等式在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，而利用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)證明不等式是最常見的方法。下面將介紹利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾種常用方法.。

一、構(gòu)造函數(shù)直接求導(dǎo)法：

即先把不等式的證明通過轉(zhuǎn)化與化歸的思想轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或者是求最值問題，從而證明不等式，這里如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。如欲證不等式（或），只需證明（或）即可。則可構(gòu)造函數(shù)（或），即證（或）.如果，那么即證（或）.

接下來，若能證得函數(shù)是增函數(shù)即可，這往往用導(dǎo)數(shù)容易解決。

評 注：這里證明分三個步驟：一是構(gòu)造函數(shù)（常利用作差法）;二是對構(gòu)造的函數(shù)直接求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性;三是求此函數(shù)的最值，得出結(jié)論。但是，這里需要注意的是構(gòu)造的函數(shù)在定義域內(nèi)的導(dǎo)數(shù)存在且此時函數(shù)的最值也存在才行，否則不能直接利用作差法來構(gòu)造函數(shù)，再利用單調(diào)性去證明。

二、分拆區(qū)間設(shè)而不求法：

有些函數(shù)它不是單調(diào)的，不能直接利用求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，如證明不等式：（x>-1）。通過構(gòu)造函數(shù)，顯然不能直接判斷它在定義域內(nèi)的單調(diào)性，直接用函數(shù)的單調(diào)性法來證明，但可以通過分拆其函數(shù)區(qū)間，證明該函數(shù)在上分別是減函數(shù)、增函數(shù)，進而可得結(jié)論成立。

評注： 欲證函數(shù)不等式，只需證明.設(shè)，即證，也即證（若不存在，則須求函數(shù)的下確界），而這用導(dǎo)數(shù)往往容易解決。也就是說，當(dāng)構(gòu)造的函數(shù)不能直接利用單調(diào)性判定時，可以分析其區(qū)間來尋求其最值或求其函數(shù)的確界。

三、利用函數(shù)最值證明法

即欲證函數(shù)不等式是區(qū)間）恒成立，只需證明，而這用導(dǎo)數(shù)往往可以解決。它在證明一些復(fù)雜的數(shù)列不等式中經(jīng)常用到，其證明思路是將所組不等式轉(zhuǎn)化為或恒成立的形式，進而轉(zhuǎn)化為證明。

評注：對于某些不等式要求恒成立，我們往往可以求出函數(shù)的最小值和g（x）的最大值進行比較，特別是含參數(shù)的此類題的恒成立問題。

四、構(gòu)造中間函數(shù)分析法

要證明不等式（或），想辦法尋找出一個中間函數(shù)，使得（或）成立，如：（2013年高考新課標全國卷II理21（2）的等價問題）求證：.這里，我們設(shè)，我們想辦法尋找出一個中間函數(shù)，使得且兩個等號不是同時取到。當(dāng)然，一般地，函數(shù)越簡潔越好。

顯然不可能是常數(shù)（因為函數(shù)的值域是R），所以我們可聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，嘗試能否為一次函數(shù)，所以首先應(yīng)當(dāng)考慮切線. 可求得函數(shù)在點處的切線是，進而可得;還可求得函數(shù)在點處的切線也是，進而可得.最后可用導(dǎo)數(shù)證得且兩個等號不是同時取到，所以欲證結(jié)論成立。

當(dāng)然，這里也可以用前面的方法二設(shè)而不求法證明之。這也說明這些方法的等價性，只是在不同的問題中各自的側(cè)重點不同罷了。

評注：? 欲證函數(shù)不等式是區(qū)間），只需尋找一個中間函數(shù)（可以考慮曲線是函數(shù)的公切線）使得（或）成立且兩個等號不是同時取到，而這用導(dǎo)數(shù)往往容易解決。

綜上所述，對于一些函數(shù)不等式或數(shù)列不等式的證明，我們通?？梢岳米鞑罘?gòu)造出其函數(shù)，如果該函數(shù)的單調(diào)性和極值均存在，則直接利用求導(dǎo)得到單調(diào)性極值來證明;如果該函數(shù)的單調(diào)性或極值不存在，則分區(qū)間利用設(shè)而不求法來證明。另外，如果此方法都不行，則尋求中間函數(shù)（往往是一次函數(shù)）過渡來證明。還有，如果是已知不等式恒成立時，求所含參數(shù)的取值范圍時，往往可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值與最小值問題。

參考文獻：

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*基金項目：（1）面向個性化學(xué)習(xí)的學(xué)生認知能力分析研究與實踐，湖北省教育廳資助項目（2018036）。

（2）基于中學(xué)數(shù)學(xué)教育的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)研究，湖北名師工作室基礎(chǔ)教育研究項目（JJ16）2020.01-2021.12。

作者簡介：劉璇，女，（1996.10-），江漢大學(xué)人工智能學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)系數(shù)學(xué)教育研究生。

通訊作者：許璐，男，（1969.02-），副教授，研究方向：數(shù)學(xué)教育與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

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