趙梓杉
摘 要:初中生初步接觸幾何推理以及幾何語(yǔ)言,大部分學(xué)生會(huì)感到書寫幾何語(yǔ)言很困難,甚至有同學(xué)可以通過思考解決問題,但是無(wú)法用幾何語(yǔ)言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貢鴮懗鲎C明過程.本文針對(duì)此類問題中解題析題應(yīng)該緊跟課標(biāo)要求,尊重教育學(xué)的認(rèn)知規(guī)律,凸顯數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的發(fā)展,培養(yǎng)學(xué)生推理能力和數(shù)學(xué)表述能力。
關(guān)鍵詞:初中幾何語(yǔ)言;邏輯思維;數(shù)學(xué)表述;推理能力
幾何語(yǔ)言是數(shù)學(xué)表達(dá)的語(yǔ)言,特點(diǎn)是可以將復(fù)雜的證明過程進(jìn)行簡(jiǎn)明扼要的數(shù)學(xué)表達(dá),是文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的綜合體,同時(shí)也是數(shù)學(xué)思維的載體,邏輯推理的表述.學(xué)生是否能清晰、富有邏輯地、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貙缀握Z(yǔ)言書寫查出來(lái),可以體現(xiàn)出學(xué)生數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)、推理能力以及數(shù)學(xué)表達(dá)能力好壞。由于初中生認(rèn)知水平有限,經(jīng)常在結(jié)合語(yǔ)言的書寫上經(jīng)常出現(xiàn)“張冠李戴”,“對(duì)牛彈琴”等情況。青春期的學(xué)生更是時(shí)常會(huì)有畏難心理,使他們覺得幾何語(yǔ)言的書寫和表達(dá)有障礙。接下來(lái)本文對(duì)如何培養(yǎng)初中生幾何語(yǔ)言的表達(dá)能力進(jìn)行里幾點(diǎn)思考。
一、設(shè)計(jì)——緊跟課標(biāo)
在義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中對(duì)“圖形與幾何”的主要課程內(nèi)容中包含平面圖形基本性質(zhì)的證明,并表示在數(shù)學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的推理能力.而幾何證明題需要學(xué)生具備簡(jiǎn)單的邏輯推理能力同時(shí)能將其轉(zhuǎn)化成幾何語(yǔ)言,能夠有邏輯、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪M(jìn)行書面表達(dá)。
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中初中階段的課程目標(biāo)在知識(shí)技能方面要求學(xué)生掌握基本的證明方法和基本的作圖技能;數(shù)學(xué)思考方面要求學(xué)生體會(huì)通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論,運(yùn)用演繹推理加以證明的過程,在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)展合情推理與演繹推理的能力.能獨(dú)立思考,體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式;在問題解決方面學(xué)生應(yīng)經(jīng)歷不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程,體驗(yàn)解決問題方法的多樣性,掌握分析問題和解決問題的一些基本方法;情感態(tài)度方面要求學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)表述和解決問題的過程中,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和應(yīng)用廣泛的特點(diǎn),體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。
二、教學(xué)——重視概念
幾何概念是幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),初中幾何概念在整個(gè)初中教學(xué)過程中至關(guān)重要,幾何概念的初步教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及邏輯思維能力和空間觀念的重要一環(huán).何教學(xué)中概念教學(xué)是第一步,幾何語(yǔ)言的書寫要基于學(xué)生對(duì)幾何圖形概念、性質(zhì)、定理的了解。
在幾何概念課上教師應(yīng)該對(duì)幾何的概念進(jìn)行全面分析,將幾何圖形的特有屬性和本質(zhì)屬性進(jìn)行區(qū)別,揭示本質(zhì).對(duì)關(guān)鍵詞語(yǔ)可以進(jìn)行多次強(qiáng)調(diào),可以讓學(xué)生劃線加深印象,同時(shí)教師可以和同學(xué)將關(guān)鍵詞語(yǔ)去掉,讓學(xué)生思考和辨析兩句話的區(qū)別.讓學(xué)生對(duì)概念有一個(gè)更深層次的理解。
例如,人教版八年級(jí)上冊(cè)對(duì)正多邊形的定義為“每個(gè)角都相等,每條邊都相等的多邊形為正多邊形.”可以提出問題:為什么課本中正多邊形的概念中要滿足“每個(gè)角都相等”且“每條邊都相等”?概念可否改成“每個(gè)角都相等的多邊形為正多邊形?”或者“每條邊都相等的多邊形為正多邊形?”
學(xué)生通過思考可以舉出反例,長(zhǎng)方形的每個(gè)角都是直角,但是長(zhǎng)方形不是正四邊形;四邊形具有不穩(wěn)定性,因此正方形變形后可變成菱形,也不是正四邊形,因此可以發(fā)現(xiàn)正四邊形的概念必須滿足“每個(gè)角都相等”且“每條邊都相等.”數(shù)學(xué)思考和舉反例的過程中可以讓學(xué)生對(duì)正多邊形的概念有更加深刻的認(rèn)識(shí),同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維和發(fā)散性思維。
當(dāng)學(xué)生需要證明一個(gè)多邊形為正多邊形的時(shí)候就可以明確,我需要證明這個(gè)多邊形的每個(gè)角都相等且每條邊都相等,為學(xué)生提供清晰明朗的證明思路。
三、課堂——規(guī)范表達(dá)
幾何學(xué)中,每一個(gè)幾何定理、圖形及其性質(zhì)和判定都有規(guī)范的幾何語(yǔ)言進(jìn)行表述。教育學(xué)中,教師具有示范性,學(xué)生具有依賴性、可塑性、向師性.教師對(duì)學(xué)生具有潛移默化的影響,因此要求教師在初學(xué)幾何圖形性質(zhì)和相關(guān)定理的時(shí)候應(yīng)該合理規(guī)劃板書,規(guī)范作圖、結(jié)合圖形書寫幾何語(yǔ)言。初中時(shí)期的學(xué)生在學(xué)習(xí)初期一般主要以模仿為主,因此教師的示范與講解將起到至關(guān)重要的作用,當(dāng)學(xué)生模仿一段時(shí)間后自己通過實(shí)踐和思考總結(jié)出其中邏輯,能夠“學(xué)以致用”,針對(duì)不同的題目進(jìn)行不同的分析。
例如,在學(xué)習(xí)人教版七年級(jí)下冊(cè)第五章第三節(jié)《平行線的性質(zhì)》這一節(jié)課時(shí),教師可以在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索的過程以后,總結(jié)出平行線的三個(gè)性質(zhì):兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).當(dāng)教師的板書時(shí),應(yīng)該體現(xiàn)三條性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和幾何語(yǔ)言.這三條性質(zhì)的幾何語(yǔ)言的書寫可以由學(xué)生總結(jié)口述,教師進(jìn)行板書,在加強(qiáng)學(xué)生的印象的同時(shí),教師可以強(qiáng)調(diào)幾何語(yǔ)言書寫的規(guī)范性,避免典型錯(cuò)誤。
四、析題——刨根問底
教師在分析幾何證明題時(shí),應(yīng)當(dāng)注重探索題目解題思路的過程,而不是直接給出證明思路,順理成章地從第一步已知條件開始證明。教師應(yīng)該多引導(dǎo)學(xué)生多觀察圖形,充分利用幾何直觀,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)該如何思考?為什么幾何語(yǔ)言應(yīng)該這樣書寫?先證明哪些條件有利于解題?而不是直接將完整的幾何語(yǔ)言拋給學(xué)生,那樣盡管答案中的幾何語(yǔ)言如何規(guī)范,邏輯如何嚴(yán)謹(jǐn)都不會(huì)變成學(xué)生自己的思考和能力,這對(duì)于學(xué)生的進(jìn)步和發(fā)展將毫無(wú)用處,學(xué)生下一次遇到同類型的題目,稍加變式可能就會(huì)再次對(duì)學(xué)生造成困難。
首先應(yīng)該先和學(xué)生明確,我們證明所需要的條件都必須是已知、已證或是公理.在學(xué)生拿到一個(gè)幾何證明題的時(shí)候,我建議一定要想先讓學(xué)生仔細(xì)閱讀題目,對(duì)于有圖形的題目在目標(biāo)圖形中標(biāo)出已知條件,對(duì)于沒有圖形的題目先根據(jù)題目要求準(zhǔn)確作圖,同時(shí)觀察圖形.教師可以多問這三個(gè)問題:“我證明的目標(biāo)是什么?”“我需要哪些條件?”“我需要的條件可以從哪兒能夠得到?”幫助學(xué)生追根溯源.當(dāng)學(xué)生能夠得到所有需要的條件的時(shí)候就可以開始寫幾何語(yǔ)言進(jìn)行書面的數(shù)學(xué)表達(dá)了.這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和演繹推理能力。
例如,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在直線a,b上,
且a//b,若∠1=120°,∠2=80°,求∠3的度數(shù).
本題可以有多種解法,分析題目的時(shí)候可以讓學(xué)生先觀察
圖形,思考“我證明的目標(biāo)是什么?”學(xué)生可以發(fā)現(xiàn),題目要求求出∠3的度數(shù),那么可以觀察∠3在圖形中的位置,思考“我需要哪些條件?”此時(shí),不同的觀察角度決定著我們所需條件的不同。
思路一,∠3在△ABC中,是△ABC的一個(gè)內(nèi)角,要求∠3我們需要知道另外兩個(gè)內(nèi)角的和.繼續(xù)思考“我需要的條件可以從哪兒能夠得到?”∠ACB是∠1的鄰補(bǔ)角,∠ABC是∠2的內(nèi)錯(cuò)角,題目已知a//b,且∠1=120°,∠2=80°,因此∠ACB與∠ABC的度數(shù)可求。
解: ∵ a∥b,∠2 =80°,
∴ ∠ABC =∠2=80°.
∵ ∠ACB +∠1 =180°,∠1 =120°,
∴ ∠ACB =180°-∠1 =180°-120°=60°.
∵ ∠3 +∠ABC +∠ACB =180°,
∴ ∠3 =180°-∠ABC-∠ACB =180°-80° -60°=40°.
思路二,∠3是∠DAC的一部分,要求∠3我們可以用∠DAC減去∠2,繼續(xù)思考“我需要的條件可以從哪兒能夠得到?”∠2=80°為題目已知條件,∠DAC是∠1的內(nèi)錯(cuò)角,題目已知a//b,且∠1=120°,因此∠DAC與∠2的度數(shù)可求。
解:∵ a∥b,∠1 =120°,
∴ ∠DAC = ∠1 =120°.
∵ ∠2 =80°
∴ ∠3 =∠DAC-∠2 =120°-80°=40°.
思路三,點(diǎn)D,點(diǎn)A,點(diǎn)E在同一條直線上,即∠3與∠2、∠EAC的和為180.,要求∠3我們需要知道∠2與∠EAC的度數(shù).繼續(xù)思考“我需要的條件可以從哪兒能夠得到?”∠2=80°為題目已知條件,∠EAC與∠1是同旁內(nèi)角,題目已知a//b,且∠1=120°,因此∠DAC與∠2的度數(shù)可求。
解:∵ a∥b,
∴ ∠EAC + ∠1 =180°.
∵ ∠1 =120°,
∴ ∠EAC =180° - ∠1 =180° -120° =60°.
∵ ∠2 + ∠3 + ∠EAC =180°,∠2 =80°,
∴ ∠3 =180° - ∠2 - ∠EAC =180° -80° -60° =40°.
重在觀察圖形,建立學(xué)生的幾何直觀,同時(shí)用三個(gè)問題幫助學(xué)生建立題目的內(nèi)在邏輯,梳理已知條件和解題思路.從這道題不難發(fā)現(xiàn),不同學(xué)生所觀察到的∠3所在的圖形不同,導(dǎo)致學(xué)生思路發(fā)展路徑的不同,直接決定學(xué)生解題所需要的時(shí)間和學(xué)生解題方法的簡(jiǎn)易程度.學(xué)生思路明確書寫就會(huì)順暢。
五、總結(jié)——實(shí)踐反思
幾何語(yǔ)言對(duì)于首次接觸的初中生而言就是“做一種新類型的數(shù)學(xué)題”,意味著按照規(guī)定執(zhí)行動(dòng)作,數(shù)學(xué)符號(hào)沒有象征意義,它們只是在課本上讓人費(fèi)解的群魔亂舞,而自己解題的時(shí)候卻往往“舞”的暈頭轉(zhuǎn)向,無(wú)法“舞”出像課本的解題過程那樣的“舞姿”。在老師眼里幾何語(yǔ)言是緊湊簡(jiǎn)潔的,是數(shù)學(xué)獨(dú)有的。幾何語(yǔ)言能把復(fù)雜的問題用簡(jiǎn)單的幾何語(yǔ)言表述出來(lái),但是無(wú)法否認(rèn)的是閱讀和書寫幾何語(yǔ)言需確實(shí)是復(fù)雜的,這需要了解各種幾何圖形的性質(zhì)、判定和相關(guān)的幾何定理。對(duì)于初中生來(lái)說也許他們用來(lái)看完一部短篇小說的時(shí)間,也無(wú)法理解一道幾何語(yǔ)言書寫的證明題的書寫邏輯。因此老師要站在學(xué)生的角度進(jìn)行教學(xué),在教學(xué)實(shí)踐中注意方式方法,不斷在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題,再針對(duì)問題進(jìn)行調(diào)整。
數(shù)學(xué)的最高秘籍是理解,數(shù)學(xué)的真正核心是邏輯思維.因此只有讓學(xué)生再初學(xué)幾何的時(shí)候理解每一個(gè)幾何概念和性質(zhì)定理,解題的時(shí)候理清自己的解題思路,發(fā)散思維,注重書寫邏輯,讓學(xué)生有法可依,才能幫助學(xué)生克服對(duì)初學(xué)幾何語(yǔ)言的心理障礙,善于分析,敢于動(dòng)筆。這樣才能為學(xué)生未來(lái)的幾何學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
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