追根溯源 促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

趙有新

一、問題的提出

筆者所在學(xué)校的高一年級第七周的周測卷中，選取了一道考查向量數(shù)量積及投影的試題：在△ABC中，點M，N在線段AB上，，當(dāng)N點在線段AB上運動時，總有，則一定有（ ）

A.BC⊥AB B.AC⊥BC C.AB=AC D.AC=BC

根據(jù)學(xué)校會課平臺上的數(shù)據(jù)顯示，此題的準(zhǔn)確率僅有30%.隨機抽取部分同學(xué)就做該題的實際困難做當(dāng)面問詢，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對已知條件中的數(shù)量積不等式不能進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，隨便選一個選項。

二、追根溯源

究其原因?qū)W生雖然學(xué)了數(shù)量積的幾何意義，但沒重視學(xué)生對“向量的數(shù)量積”這一節(jié)課缺乏深度學(xué)習(xí)，思維呈現(xiàn)碎片化，沒有理解知識間的邏輯聯(lián)系。如果能熟練掌握并靈活運用投影的幾何意義，此題的求解便迎刃而解?？紤]到靈活運用投影的幾何意義，在解決一些與數(shù)量積相關(guān)的問題時會有獨特新穎、醍醐灌頂?shù)淖饔?。備課組順勢提出以《投影在數(shù)量及問題的應(yīng)用》為主題的一堂研討課。本文將本課的設(shè)計、課堂實施、課后反思寫下來，與大家交流。

三、精心設(shè)計 促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

（一）地位和作用

向量具有“數(shù)與形”的雙重特征，從“數(shù)”的特征看，向量的坐標(biāo)讓向量的線性運算和數(shù)量積有了代數(shù)運算的功能;向量可用有向線段表示，使向量有了“形”的直觀。是數(shù)形結(jié)合思想方法在課堂教學(xué)時的重要載體，且兩者可通過代數(shù)運算完成互化。通過向量的運算讓圖形可量化，同時使圖形間的關(guān)系代數(shù)化。如在立體幾何中求解空間角的問題，可通過代數(shù)運算替代復(fù)雜的圖形分析。經(jīng)過計算圖形間存在的向量關(guān)系得出問題的解，使復(fù)雜幾何問題的求解思路清晰、解題過程簡潔。向量投影的概念是向量的幾何屬性，深刻理解投影概念，利用向量的幾何意義替代繁瑣的代數(shù)運算是本堂課一個重要研究方向。

（二）教學(xué)內(nèi)容解析

人教社《數(shù)學(xué)A版》中《平面向量的數(shù)量積》這一節(jié)給出了數(shù)量積的定義：即已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量積|a|·|b|·cosθ叫作a與b的數(shù)量積，記作a·b.根據(jù)上述定義，我們就可以得到解決平面向量數(shù)量積的三種運算形式。

1.數(shù)量積的代數(shù)運算形式：a·b=|a|·|b|·cosθ.

2.數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ.

3.數(shù)量積的坐標(biāo)運算形式：a·b=x1x2+y1y2.

在往屆的學(xué)生作業(yè)中，我們發(fā)現(xiàn)初學(xué)向量時，學(xué)生不能很好應(yīng)用向量“形”的特質(zhì)去解題。究其原因是學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中固化了代數(shù)運算，對利用數(shù)形結(jié)合思想解題的方法比較生疏，在解題時習(xí)慣了從數(shù)的角度去思考，進(jìn)而選擇利用向量數(shù)量積的代數(shù)形式或坐標(biāo)形式解題。而在試題編寫時，命題者從考查能力的角度往往考慮優(yōu)化策略而設(shè)置一些思維障礙點。這要求我們在平面向量的課堂教學(xué)中強化向量的雙重屬性，在解題時強調(diào)向量的幾何意義常作為解題的優(yōu)先考慮角度。

四、教學(xué)設(shè)計

題組1：（1）設(shè)e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為，若a=e1+3e2，b=2e1，則向量a在b方向上的投影為 .

（2）已知點A（-1，1），B（1，2），C（-2，-1），D（3，4），則的投影為 .

學(xué)生1：a在b方向上的投影為|a|cosθ，利用，只要再算出cosθ即可，因為cosθ=，于是得到答案.

學(xué)生2：可以直接通過公式|a|cosθ=直接算得答案

設(shè)計意圖：通過師生對題組1的兩個問題分析，知曉了這兩道題事實上是數(shù)量積投影公式的直接運用，解決過程可以說是“直接應(yīng)用，言簡意賅”.題組1的解決對題組2的分析起到開源引渠的作用.

題組2：（1）已知菱形ABCD的邊長為a，

.

（2）在△ABC中，C=90°，CB=3，

.

（3）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP=3， .

學(xué)生對第（1）題進(jìn)行分析，解答如下：如圖2由題意可知，，.

運用同樣的方法可以得到第（2）題的答案為3.

通過對第（1）（2）題的解決思路的類比，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)在第（3）題中，過C作AP延長線的垂線，則利用中位線定理易知方向上的投影長度為長的兩倍，計算可得答案為18.

設(shè)計意圖：通過對題組2的三個問題的分析，不難發(fā)現(xiàn)這些問題事實上是數(shù)量積的直接應(yīng)用，其解決過程可以說是“抓住關(guān)鍵，一擊即中”。通過題組1的引導(dǎo)與鋪墊，直觀感悟之后，學(xué)生經(jīng)過聯(lián)想與想象得到題組2的相關(guān)解題思路。為解決題組3打開了隱形的枷鎖。

題組3：（1） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲線上一個動點，則 .

如圖3，在△ABC中，AD⊥AB， .

如圖4，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2，M，N分別是AB，BC的中點，P是△ABC（包括邊界）內(nèi)任意一點， .

學(xué)生對第（1）題分析解答如下：如圖5，由題意得知表示以原點為圓心，半徑為1的上半圓（包含于X軸的交點）.而

在，

，此時直線PC與圓相切，且PC⊥BA于點C，做OD⊥BA于點D.則不難得到：

，

類比第（1）題的思維過程，學(xué)生可發(fā)現(xiàn)第（2）題可以先過點C作AD的垂線，然后利用三角形相似并結(jié)合向量的投影知識可以加以解決，答案.第（3）題的解決思路與前兩題相同，如圖4，易得分別是其在和，作MF⊥AN，BE⊥AN則可得答案[-3，3].

設(shè)計意圖：經(jīng)過對題組3的三個問題的分析，不難發(fā)現(xiàn)，這些問題事實上是數(shù)量積幾何意義的更深入的應(yīng)用，直觀想象這一核心素養(yǎng)在解題過程中的作用顯而易見.上面的步步為營的思維進(jìn)程為文中開題提出的較難問題的解決奠定了知識與思維的基礎(chǔ)。

探究題：問題提出時第七周周測卷中的試題解析如下：如圖6，可設(shè)，過點C作AB的垂線，垂足為H，在AB上任取一點N，設(shè)|HM|=a，則由數(shù)量積的幾何意義可得，

，

，恒成立，整理得則a=1.故可知H為AB的中點，所以。

五、幾點思考

數(shù)學(xué)課堂的落腳點應(yīng)該是提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，撬動學(xué)生思維向高層次發(fā)展.因此在解決問題時，一定要避免讓學(xué)生陷入“知其然不知其所以然”的生搬硬套，要避免機械重復(fù)式的低效甚至無效訓(xùn)練.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生沖云破霧、剝繭抽絲，一步一步地去揭示數(shù)學(xué)問題背后所蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，只有抓住本質(zhì)，才能在應(yīng)對千絲萬縷、撲朔迷離的數(shù)學(xué)問題時得心應(yīng)手、游刃有余。

1.要促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)以實際的問題為驅(qū)動，并將學(xué)習(xí)內(nèi)容納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)已有知識在新的問題情境中的合理遷移和生長發(fā)育.數(shù)學(xué)問題時無窮無盡的，教師不可能將所有的問題解決方法都交給學(xué)生，但將在已有知識學(xué)習(xí)中掌握的思想方法和技巧合理遷移到解決未知問題中去，是教師應(yīng)該教給學(xué)生的。

2.要避免知識碎片化

高中數(shù)學(xué)概念眾多，公式、定理龐雜，知識體系更是錯綜復(fù)雜，學(xué)生一節(jié)一節(jié)的課堂學(xué)習(xí)容易形成知識的碎片化.教師一定要善于引導(dǎo)學(xué)生搞清楚知識的來龍去脈、相互間的影響以及背后的邏輯關(guān)系，這樣就可以從整體的角度看局部，形成解決一類問題的能力。

3.要善于搭建思維支架

總結(jié)數(shù)學(xué)基本思想和方法，通過題組的遞進(jìn)設(shè)計，在整個過程中以小步子、節(jié)節(jié)高的問題引領(lǐng)學(xué)生完成了對知識的深度串聯(lián)和加工有效的突破了思維障礙。

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