與體育比賽規(guī)則有關(guān)的高考概率試題研究

摘 ?要：“體”是“五育”之一，把體育比賽規(guī)則嵌入數(shù)學(xué)試題是一種常見(jiàn)的命題方式. 以2019年和2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷理科試題中出現(xiàn)的與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率試題為研究的切入點(diǎn)，通過(guò)深入分析與研究，對(duì)學(xué)生備考提出研究心得與體會(huì).

關(guān)鍵詞：五育并舉;概率;試題研究

在“一體”“四層”“四翼”高考評(píng)價(jià)體系的指引下，數(shù)學(xué)學(xué)科的高考命題逐漸凸顯出了“落實(shí)立德樹(shù)人，倡導(dǎo)‘五育’并舉”的特點(diǎn)，即創(chuàng)設(shè)與德智體美勞相關(guān)的問(wèn)題情境，充分考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 筆者研究發(fā)現(xiàn)，近幾年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷中出現(xiàn)了多道與體育賽制有關(guān)的試題，看似平淡，實(shí)則內(nèi)涵豐富，學(xué)生不僅需要具備一定的分析、判斷能力，還要有穩(wěn)定的心理素質(zhì). 在解題過(guò)程中遇到障礙時(shí)，學(xué)生需要能夠穩(wěn)定情緒，順利找到解決問(wèn)題的策略.

一、試題分析

例1 （2020年全國(guó)Ⅰ卷·理19）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一輪輪空，直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.

經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空. 設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為[12].

（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率;

（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;

（3）求丙最終獲勝的概率.

分析：該題的命題背景是羽毛球比賽中的“雙敗淘汰制”. 但是在實(shí)際的羽毛球比賽中，一般采用“循環(huán)賽”或“單敗淘汰賽”. 顯然，這是命題者根據(jù)比賽要求與考查要求自行制定的比賽規(guī)則. 若3個(gè)人比賽采用“單敗淘汰制”，則僅需比兩場(chǎng)，采用“單向循環(huán)制”，即捉對(duì)廝殺，也僅需三場(chǎng)比賽，都達(dá)不到高考對(duì)理科學(xué)生的難度要求. 改成“雙敗淘汰制”后，需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽呢？顯然，這具有不確定性，是學(xué)生理解題意的切入點(diǎn)，也是解題的突破口. 3個(gè)人中要淘汰掉2個(gè)人，被淘汰的2個(gè)人共要輸?shù)羲膱?chǎng)比賽，而勝者則最多輸?shù)鬧1]場(chǎng)比賽. 因此，最少要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，最多要進(jìn)行五場(chǎng)比賽. 故試題放在第[19]題的位置，符合高考的難度要求. 從考試中學(xué)生的答題情況來(lái)看，作答情況并不理想，與命題者對(duì)學(xué)生的能力與素養(yǎng)的要求還有很長(zhǎng)一段距離.

根據(jù)以上分析，確定該題的前兩道小題其實(shí)是對(duì)進(jìn)行四場(chǎng)、五場(chǎng)比賽的情況進(jìn)行分類解答，屬于基本作答要求;而在第（3）小題中，丙最終獲勝，兩種情況都有可能. 解答如下.

解：（1）根據(jù)題意，甲連勝四場(chǎng)淘汰乙、丙，概率是[124=116].

（2）（方法1）因?yàn)樽疃噙M(jìn)行五場(chǎng)比賽就結(jié)束，

所以“需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽”的對(duì)立事件是“進(jìn)行四場(chǎng)比賽就能決出勝負(fù)”.

而甲或乙若要在四場(chǎng)比賽后獲勝則需要連勝四場(chǎng).

由（1）知，甲或乙連勝四場(chǎng)的概率是[2×116=18].

而四場(chǎng)比賽后丙獲勝則需要后三場(chǎng)丙連勝，獲勝的概率是[123=18].

故需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率是[1-18×2=34].

（方法2）不妨假設(shè)第一場(chǎng)比賽甲勝，則分為以下兩種情況.

若最終乙勝，則第三、四、五場(chǎng)比賽乙連勝，概率是[123=18].

若最終甲勝，由于是“雙敗淘汰制”且第二場(chǎng)開(kāi)始甲、丙開(kāi)始對(duì)決，則甲、丙的獲勝概率相同. 甲最終獲勝的概率是[1-18÷2=716]，由（1）知甲連勝四場(chǎng)獲勝的概率是[18].

故甲第五場(chǎng)取勝的概率是[716-18=516]，丙第五場(chǎng)取勝的概率也是[516].

綜上所述，需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率是[18+][2×516=34].

（3）（方法1）由（2）知，丙四場(chǎng)比賽獲勝的概率是[123=18].

若丙第五場(chǎng)比賽獲勝，不妨假設(shè)第一場(chǎng)甲勝，則根據(jù)列舉法得知第二、三、四、五場(chǎng)比賽有以下[5]種獲勝方的可能情況：甲甲丙丙、甲乙丙丙、丙乙甲丙、丙乙乙丙、丙丙甲丙，獲勝概率為[5×124=516];第一場(chǎng)乙勝的情況一樣.

故丙最終獲勝的概率為[18+516=716].

（方法2）不妨假設(shè)第一場(chǎng)比賽甲勝，由（2）知，丙最終獲勝的概率是[1-18÷2=716].

由以上分析與解答過(guò)程可以看出，要完成此題的解答，學(xué)生必須具備良好的邏輯思維與分析能力，要先能確定比賽不會(huì)無(wú)休止地進(jìn)行下去，即最少進(jìn)行四場(chǎng)、最多進(jìn)行五場(chǎng). 在思考“需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率”時(shí)，運(yùn)用對(duì)立事件的概率進(jìn)行求解順理成章;而在思考“丙獲勝的概率”時(shí)，則需要首先找出分類的標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)丙需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽才獲勝時(shí)，發(fā)現(xiàn)第一場(chǎng)比賽的結(jié)果其實(shí)對(duì)丙沒(méi)有任何影響，因?yàn)椤懊繄?chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為[12]”，所以只需要考慮后面三場(chǎng)或四場(chǎng)的對(duì)戰(zhàn)結(jié)果，用列舉法或分析法均可以順利解決. 該題借用“雙敗淘汰制”，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力考查得非常全面，若學(xué)生不假思索地采用列舉法，在有限的考試時(shí)間內(nèi)是很難找出有效的解決辦法的，這給了我們備考一個(gè)很大的啟示，那就是要脫離題海，通過(guò)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題載體，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

通過(guò)變式訓(xùn)練，往往能使學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，提升學(xué)生的應(yīng)變能力. 此題就可以從多個(gè)角度延伸出多道不同難度要求的試題.

變式1：只修改條件“設(shè)甲對(duì)乙、丙時(shí)每場(chǎng)比賽獲勝的概率為[23]，而乙、丙對(duì)戰(zhàn)時(shí)雙方獲勝的概率都為[12]”，其他不變.

解析：3人勝率不一樣，更符合實(shí)際情況. 略復(fù)雜一點(diǎn)，但基本的解題思路沒(méi)有大的改變.

第（1）小題變化不大，答案是[234=1681].

第（2）小題若從對(duì)立事件的角度出發(fā)，則需要分別排除甲、乙、丙四場(chǎng)比賽奪冠的情況，甲奪冠的情況如第（1）小題，乙?jiàn)Z冠的情況則是[132×122=136]，而丙奪冠的情況是[23×132×12+132×122=7108]，故需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率是[1-1681-136-7108=115162].

第（3）小題丙四場(chǎng)比賽獲勝的概率如（2），若丙五場(chǎng)比賽后獲勝，需要計(jì)算五種情況分別對(duì)應(yīng)的概率，然后相加，在此就不再一一列舉.

變式2：甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰，直至最后1人奪得冠軍;抽簽后分組比賽，勝者進(jìn)入勝者組，敗者則掉入敗者組;若勝者組中只剩下1人，則輪空，等待敗者組的比賽結(jié)果.

經(jīng)抽簽，首先分成甲、乙與丙、丁兩組對(duì)抗. 設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為[12].

（1）求甲只需打三場(chǎng)比賽就能奪冠的概率;

（2）求甲需要打四場(chǎng)比賽才能奪冠的概率.

解析：增加了1人，則參賽人數(shù)變?yōu)榕紨?shù)，更符合正式體育比賽運(yùn)用“雙敗淘汰制”的要求. 因?yàn)檫@樣他們可以首先捉對(duì)廝殺，然后根據(jù)勝負(fù)情況分成兩組，再進(jìn)行對(duì)抗就能出現(xiàn)被淘汰者.

根據(jù)題意，四人（分別用A，B，C，D表示）的對(duì)抗情況如下表所示.

[第一輪 初賽：[A，B→A];[C，D→C] 第二輪 勝者組：[A，C→A] 敗者組：[B，D→B]

淘汰D 第三輪 勝者組：

輪空 敗者組：[B，C→B]

淘汰C 第四輪 決賽：[A，B→A或B]

淘汰B或A ]

由于A，B，C，D四人的位置是對(duì)等的，所以要決出冠軍，就要看第四輪的比賽結(jié)果. 若A奪冠，則淘汰B，此時(shí)A可以一場(chǎng)制勝，也可以先輸一場(chǎng)再贏一場(chǎng);若B奪冠，則淘汰A，但A在前三輪一場(chǎng)未輸，故B要連贏兩場(chǎng).

第（1）小題中，甲打三場(chǎng)比賽就能奪冠，形如表格中的A在第四輪一場(chǎng)制勝，故其概率是[123=18].

第（2）小題中，甲打四場(chǎng)比賽才能奪冠，形如表格中的A在第四輪先輸一場(chǎng)再贏一場(chǎng)，故其概率是[124=116].

例2 （2019年全國(guó)Ⅱ卷·理18）[11]分制乒乓球比賽，每贏一球得[1]分，當(dāng)某局打成[10] [∶] [10]平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得[2]分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束. 甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為[0.5]，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為[0.4]，各球的結(jié)果相互獨(dú)立. 在某局雙方[10] [∶] [10]平后，甲先發(fā)球，兩人又打了[X]個(gè)球該局比賽結(jié)束.

（1）求[PX=2];

（2）求事件“[X=4]且甲獲勝”的概率.

分析：該題以“乒乓球單打比賽的規(guī)則”為背景，是真實(shí)的問(wèn)題情境，學(xué)生理解起來(lái)沒(méi)有任何難度. 試題放在第[18]題的位置，符合高考的難度要求.

解：（1）事件“[X=2]”包含了“甲連勝兩場(chǎng)或乙連勝兩場(chǎng)”，

因此[PX=2=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5].

（2）事件“[X=4]且甲獲勝”為“前兩球甲、乙各得[1]分，后兩球均為甲得分”.

因此[PX=4=0.5×0.6+0.5×0.4×0.5×0.4=0.1].

相對(duì)于例1，該題在考查學(xué)生的邏輯思維能力方面要較為弱一些，側(cè)重于考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力. 分析得知，只要甲、乙交替得分，比賽將會(huì)一直進(jìn)行下去;而雙方打平后，只要一方連續(xù)得分兩次，則比賽宣告結(jié)束.

變式：在例2的條件下，若事件“[X=2k k∈N*]且甲獲勝”的概率為[fk]，當(dāng)[fk≥0.01]時(shí)，求[k]的最大值.

解析：由題意，得

當(dāng)[k=1]時(shí)，[PX=2=0.5×0.4=0.2].

當(dāng)[k=2]時(shí)，[PX=4=0.5×0.6+0.5×0.4×0.5×][0.4=0.52×0.4=0.1].

當(dāng)[k ≥ 3]時(shí)，前[2k-1]次中，第[2m-1]，[2m]（[m=1，][2，…，k-1]）次中甲、乙各勝一次. 若甲先勝，則概率為[0.5×0.6=0.3];若乙先勝，則概率為[0.5×0.4=0.2]，它們相互獨(dú)立. 所以[fk=PX=2k=0.3k-1+C1k-10.3k-2×][0.2+C2k-10.3k-3×0.22+…+0.2k-1×0.5×0.4=0.2+0.3k-1×][0.2=0.5k×0.4]. 當(dāng)[fk≥ 0.01]時(shí)，[0.5k ≥ 0.025]，得[12k ≥ 140]. 所以[k]的最大值為5.

例3 （2019年全國(guó)Ⅰ卷·理15）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）. 根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”. 設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為[0.6]，客場(chǎng)取勝的概率為[0.5]，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以[4] [∶] [1]獲勝的概率是 ? ? ?.

分析：該題以“籃球比賽的賽制”為背景，是真實(shí)的問(wèn)題情境. 甲隊(duì)常規(guī)賽成績(jī)占優(yōu)，因此主場(chǎng)比賽次數(shù)要比乙隊(duì)多一次. 若甲隊(duì)以[4] [∶] [1]獲勝，則說(shuō)明只打了五場(chǎng)比賽就結(jié)束了，主客場(chǎng)順序是“主主客客主”. 簡(jiǎn)單分析后得知，甲在前四場(chǎng)比賽中輸?shù)袅艘粓?chǎng)，有[C14]種可能，在第五場(chǎng)比賽中獲勝，最終結(jié)束比賽.

解：若甲第一場(chǎng)輸，則概率為[0.4×0.6×0.5×0.5×][0.6=0.036];

若甲第二場(chǎng)輸，則概率為[0.6×0.4×0.5×0.5×][0.6=0.036];

若甲第三場(chǎng)輸，則概率為[0.6×0.6×0.5×0.5×][0.6=0.054];

若甲第四場(chǎng)輸，則概率為[0.6×0.6×0.5×0.5×][0.6=0.054].

因此，甲最終獲勝的概率是[0.036×2+0.054×][2=0.18].

與例2相比，該題在考查學(xué)生的邏輯思維能力方面要較為強(qiáng)一些，涉及的分類討論的思想方法要更為深入一些. 總體上來(lái)說(shuō)，該題屬于中檔題，學(xué)生只要具備基本的分析能力就能順利解決.

變式1：?jiǎn)栴}改為“甲最終獲勝的概率為多少”.

解析：甲最終獲勝分為[4] [∶] [0]，[4] [∶] [1]，[4] [∶] [2]，[4] [∶] [3]四種情況，前面兩種情況比較簡(jiǎn)單. 但[4] [∶] [2]獲勝與[4] [∶] [3]獲勝的情況就比較復(fù)雜，如[4] [∶] [2]獲勝就有[C25=10]種情況，而[4] [∶] [3]獲勝則有[C36=20]種情況. 分類情況太多，不適宜作為填空題出現(xiàn).

變式2：若問(wèn)題改為“若甲隊(duì)前四場(chǎng)比賽中主場(chǎng)贏了，但客場(chǎng)輸了，在這樣的情況下甲最終獲勝的概率是多少”.

解析：只需要考慮后三場(chǎng)比賽的情況，分為三種情況.

（1）甲隊(duì)第五、六場(chǎng)比賽贏了，其概率為[0.6×][0.5=0.3];

（2）甲隊(duì)第五、七場(chǎng)比賽贏了，其概率為[0.6×][0.5×0.6=0.18];

（3）甲隊(duì)第六、七場(chǎng)比賽贏了，其概率為[0.4×][0.5×0.6=0.12];

故甲最終獲勝的概率是[0.3+0.18+0.12=0.6].

二、試題總結(jié)

從以上分析可知，要解決此類問(wèn)題，學(xué)生需要做到以下幾點(diǎn).

1. 理解問(wèn)題中的規(guī)則

這需要學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)閱讀理解能力. 試題中涉及的規(guī)則，有時(shí)是大家熟悉的比賽規(guī)則，如例2和例3中的乒乓球比賽規(guī)則和籃球比賽規(guī)則;有時(shí)是為了更加符合考查要求進(jìn)行改良后的比賽規(guī)則，如例1中的羽毛球比賽規(guī)則.

2. 透過(guò)規(guī)則看到問(wèn)題的本質(zhì)

這需要學(xué)生具備良好的邏輯思維能力. 例1中要先分析出比賽最少進(jìn)行四場(chǎng)，最多進(jìn)行五場(chǎng)，然后分析什么情況下進(jìn)行四場(chǎng)，什么情況下進(jìn)行五場(chǎng)，丙獲勝應(yīng)該是怎樣的情況. 把這些分析透了，問(wèn)題就容易解決了.

3. 具備穩(wěn)定的心理素質(zhì)

若問(wèn)題中涉及的條件、規(guī)則較多，學(xué)生往往很容易混亂. 例如，對(duì)于例1，可能很多學(xué)生一看到題目就畫(huà)樹(shù)狀圖，過(guò)于緊張就容易出錯(cuò)，還可能不知道列舉出來(lái)的結(jié)果對(duì)解決問(wèn)題有什么作用，特別是比賽可能是四場(chǎng)結(jié)束，也可能是五場(chǎng)結(jié)束，一亂就容易出錯(cuò). 因此，需要學(xué)生穩(wěn)定情緒，一步步地找到解決問(wèn)題的辦法.

三、備考建議

“體”是“五育”之一，把體育比賽規(guī)則嵌入數(shù)學(xué)試題中是一種常見(jiàn)的命題方式. 但是，我們不能因此去熟記、背誦各種比賽規(guī)則. 命題方式千變?nèi)f化，我們?cè)趥淇贾幸龅揭韵聨c(diǎn).

1. 充分發(fā)揮試題的導(dǎo)向作用

試題中出現(xiàn)“五育并舉”的內(nèi)容，歸根結(jié)底是提倡學(xué)生注重德智體美勞全面發(fā)展，即除了具備良好的思想品德與智力水平外，還要發(fā)展多方面的興趣愛(ài)好，要有體育運(yùn)動(dòng)的習(xí)慣，要用美的眼光去審視這個(gè)世界.

2. 要加強(qiáng)對(duì)概率、統(tǒng)計(jì)概念的理解

文[1]中談到，教師與學(xué)生要從更高角度去理解“統(tǒng)計(jì)學(xué)”與“概率論”，對(duì)一些相關(guān)概念要?jiǎng)?chuàng)設(shè)平臺(tái)深入解剖，學(xué)生不能只是一知半解. 例如，例1是考查學(xué)生對(duì)獨(dú)立事件的理解，而例3的變式2則是條件概率問(wèn)題.

3. 要養(yǎng)成良好的思維分析習(xí)慣

拿到一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，該從何入手？解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)與難點(diǎn)在哪里？在備考過(guò)程中，學(xué)生要從最基本的問(wèn)題入手，逐漸養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣. 根據(jù)波利亞的解題四步曲，先要弄清楚問(wèn)題是什么，然后擬定解題計(jì)劃，再去實(shí)現(xiàn)你所想到的解題計(jì)劃，最后還要進(jìn)行變式訓(xùn)練及解題反思. 只有這樣，學(xué)生的思維能力才能得到螺旋式上升，在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，學(xué)生才能從容不迫地應(yīng)對(duì).

參考文獻(xiàn)：

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[2]殷木森，曹悍東. 聚焦問(wèn)題分析 ?培養(yǎng)解題能力：以2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ理科第20題為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2019（10）：68-71.

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