加周期縱肋圓柱殼聲輻射

童韞哲，范 軍，王 斌，湯渭霖

（上海交通大學(xué)高新船舶與深海開(kāi)發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心；海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240）

0 引 言

水下圓柱殼體的振動(dòng)和聲輻射問(wèn)題一直是噪聲控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[1-2]，圓柱殼作為水下潛器的主要結(jié)構(gòu)形式通常采用環(huán)肋和縱肋作為加強(qiáng)筋。環(huán)肋沿圓柱殼軸向周期分布，它所產(chǎn)生的反力主要改變軸向振動(dòng)狀態(tài)，引起軸向模態(tài)的耦合。而本文所研究的縱肋則是沿周向周期分布，它所產(chǎn)生的反力主要改變周向振動(dòng)狀態(tài)，引起周向模態(tài)的耦合。

目前對(duì)于加環(huán)肋、特別是周期性環(huán)肋圓柱殼的振動(dòng)和聲輻射的理論[3-5]和實(shí)驗(yàn)[6]都有了較深入的研究，對(duì)類(lèi)似的加筋平板聲輻射問(wèn)題也有較詳細(xì)的研究[7-9]，而對(duì)加周期性縱肋圓柱殼的聲輻射問(wèn)題尚缺乏深入的研究。謝官模等[10]導(dǎo)出了環(huán)肋、艙壁板和縱肋增強(qiáng)的無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼輻射聲場(chǎng)的計(jì)算公式，分析了環(huán)肋、艙壁板和縱肋對(duì)輻射聲壓的影響。之后廖長(zhǎng)江等[11-13]將它推廣到有限長(zhǎng)圓柱殼的情況，分析了縱肋對(duì)殼體表面平均振動(dòng)速度的影響。但是，目前對(duì)于縱肋的作用僅僅是把它當(dāng)成附加質(zhì)量，忽略了周期縱肋間的相互作用對(duì)殼體振動(dòng)和聲輻射的影響。對(duì)加肋平板聲輻射問(wèn)題的一系列研究顯示，當(dāng)肋骨等間隔分布時(shí)，周期性結(jié)構(gòu)中存在的Bloch彎曲波對(duì)板的振動(dòng)和聲輻射有顯著影響[7]。

為了研究周期性縱肋對(duì)圓柱殼聲輻射的影響，本文首先導(dǎo)出周期加縱肋無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼的振動(dòng)和聲輻射公式。殼體振動(dòng)用薄殼理論的Donnell方程描述，考慮縱肋的縱振動(dòng)和彎曲振動(dòng)。通過(guò)周向模態(tài)展開(kāi)和軸向Fourier 變換導(dǎo)出圓柱殼體徑向振速表達(dá)式，使用穩(wěn)相法積分得到遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓的解析解。在此基礎(chǔ)上，計(jì)算了接收點(diǎn)正對(duì)激勵(lì)點(diǎn)時(shí)，加不同數(shù)量縱肋的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓級(jí)，對(duì)比了考慮和忽略周期縱肋間相互作用的情況，并據(jù)此進(jìn)行了周期性縱肋對(duì)輻射聲場(chǎng)影響的機(jī)理分析。研究表明：周期縱肋增加的附加質(zhì)量能夠使圓柱殼體中固有的彎曲波共振峰發(fā)生微小偏移，而周期性縱肋間的相互作用則能產(chǎn)生一系列附加的共振峰，它們由周期性結(jié)構(gòu)的Bloch彎曲波中低于水中聲波數(shù)的分量通過(guò)相位匹配方式高效輻射到遠(yuǎn)場(chǎng)。也就是說(shuō)，周期性加肋結(jié)構(gòu)增加了能有效輻射聲波的低波數(shù)分量。

1 振動(dòng)與聲輻射控制方程

設(shè)圓柱薄殼的中面半徑為a，殼體厚度為hs，楊氏模量為Es，泊松比為σs,密度為ρs，且hs/a?1，縱肋橫截面的高和寬用H和W表示。取原點(diǎn)為O的正交坐標(biāo)系，R是觀察點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，如圖1所示。殼體振動(dòng)用中面在z、φ和r方向的位移u、v和w來(lái)表示。殼體浸沒(méi)在密度為ρf，聲速為cf的流體介質(zhì)中。

圖1 無(wú)限長(zhǎng)縱向加肋圓柱殼示意圖Fig.1 Geometry of infinitely long cylindrical shells with periodic lengthwise ribs

無(wú)限長(zhǎng)圓柱的振動(dòng)在縱向形成行波，設(shè)解為

同時(shí)將激勵(lì)力也分解為

利用正交關(guān)系式得到展開(kāi)系數(shù)

將縱肋簡(jiǎn)化為橫截面積為A=H×W的等截面直細(xì)梁，設(shè)縱肋的材料與圓柱殼的相同?？v肋的振動(dòng)包括縱振動(dòng)、彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。由于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的等效力是扭矩的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)肋很細(xì)時(shí)扭轉(zhuǎn)的作用相當(dāng)于四極子源，輻射效率比較低，可以忽略。殼體振動(dòng)采用Donnell 方程，省略時(shí)間因子e-iωt，得到n階振動(dòng)滿足的控制方程[14]為

n'=n時(shí)為n階自阻抗，否則為互阻抗。φl(shuí)是第l根縱肋的圓周角，在均勻分布的情況下，縱肋間隔Δφ= 2π/T。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，當(dāng)縱肋均勻分布時(shí)設(shè)φ0= 0，利用等比級(jí)數(shù)求和的公式得到

即

2 數(shù)值計(jì)算和結(jié)果分析

基于以上理論分析，通過(guò)數(shù)值算例分析周期性縱向加肋對(duì)水中圓柱殼振動(dòng)和聲輻射的影響。取圓柱殼體的基本參數(shù)：a= 1 m，殼體厚度hs= 0.01 m，殼體上均勻排列了T根縱肋；密度ρs=7 850 kg/m3，Es=210 GPa，泊松比σs= 0.3；縱肋橫截面寬W= 0.03 m，縱肋橫截面高H= 0.05 m；水的密度為ρf= 1 000 kg/m3，聲速為cf= 1 500 m/s。本文用來(lái)描述殼體聲輻射的量為在單位集中力（1 N）作用下，參考聲壓為1 μPa，接收點(diǎn)正對(duì)激勵(lì)點(diǎn)，從遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓折算到距聲中心1 m處的聲壓級(jí)。

首先計(jì)算了加8 根縱肋圓柱殼與基本圓柱殼的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓，并對(duì)比了考慮互阻抗和忽略互阻抗的情況，如圖2所示。橫坐標(biāo)為頻率，取值范圍是0.1-2 000 Hz，計(jì)算點(diǎn)間隔隨頻率指數(shù)增長(zhǎng)。

圖2 加8根縱肋圓柱殼遠(yuǎn)聲輻射聲壓級(jí)Fig.2 Sound pressure level of a cylindrical shell with 8 ribs

對(duì)比圖2（a）和圖2（b）可以看出，在低頻段（小于10 Hz），基本圓柱殼和加縱肋圓柱殼均可觀察到3 個(gè)共振峰，這是由彎曲波在周向形成共振產(chǎn)生的[17]。不同的是加縱肋后，這三個(gè)彎曲波共振峰的位置有所偏移。在中高頻段（大于10 Hz），忽略互阻抗時(shí)，加縱肋圓柱殼的輻射聲壓級(jí)與基本圓柱殼基本一致；考慮互阻抗時(shí)，加周期性縱肋圓柱殼的輻射聲壓級(jí)新增了一系列共振峰。

2.1 周期性縱肋對(duì)彎曲波輻射的作用

本文主要計(jì)算的是接收點(diǎn)正對(duì)激勵(lì)點(diǎn)的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓級(jí)，此時(shí)沿圓柱殼周向傳播的彎曲波對(duì)輻射聲場(chǎng)起主要作用。為了研究縱肋對(duì)彎曲波輻射的作用，首先計(jì)算了水中基本圓柱殼中沿周向傳播的彎曲波頻散曲線。對(duì)于只考慮周向傳播的彈性波時(shí)，軸向波數(shù)K= 0，振動(dòng)方程可以寫(xiě)成

基于公式（21），圖3 給出了彎曲波的頻散曲線，分別畫(huà)出了彎曲波波數(shù)實(shí)部和虛部隨頻率變化曲線，并在此基礎(chǔ)上解釋了彎曲波的輻射機(jī)理。

由圖3（a）可知，在本文計(jì)算頻段（0.1-2 000 Hz），彎曲波波數(shù)遠(yuǎn)大于水中聲波數(shù)，彎曲波是亞音速波，其表面振動(dòng)能量無(wú)法通過(guò)相位匹配的方式高效輻射到遠(yuǎn)場(chǎng)。但由于圓柱殼表面存在曲率，彎曲波波數(shù)在頻率較低時(shí)虛部較大，如圖3（b）所示。此時(shí)，亞音速的彎曲波也能輻射很小一部分能量到遠(yuǎn)場(chǎng)[16]。

由于亞音速?gòu)澢ú〝?shù)的實(shí)部遠(yuǎn)大于水中聲波數(shù)，其虛部也非常小，所以這些共振峰的帶寬非常窄。隨著頻率的增加，圓柱殼體的聲學(xué)特征逐漸趨近于平板，彎曲波波數(shù)的虛部逐漸趨近于零，彎曲波共振峰的帶寬也逐漸減小，只有計(jì)算間隔足夠小才能捕捉到共振峰。圖2 中只計(jì)算到前三個(gè)彎曲波共振峰，實(shí)際上頻率較高時(shí)也存在彎曲波共振峰，只是頻率較高時(shí)彎曲波共振峰寬度更窄，計(jì)算步長(zhǎng)也更大，跳過(guò)了這些共振頻點(diǎn)。值得注意的是，此類(lèi)共振峰在無(wú)限大平板的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓中并不存在。

圖3 基本圓柱殼彎曲波波數(shù)Fig.3 Wave number of flexural wave in unribbed cylindrical shell

為了研究縱肋在低頻時(shí)的作用，以第一階彎曲波共振峰為研究對(duì)象，計(jì)算了加不同數(shù)量縱肋時(shí)第一階彎曲波共振峰附近的輻射聲壓級(jí)，對(duì)比了考慮互阻抗和忽略互阻抗的情況，如圖4所示。

圖4 加不同數(shù)量縱肋圓柱殼遠(yuǎn)場(chǎng)低頻聲輻射聲壓級(jí)Fig.4 Sound pressure level of a cylindrical shell with different numbers of ribs in low frequencies

觀察圖4可知，周期性加肋對(duì)彎曲波共振峰有影響。隨著縱肋數(shù)量的增加，彎曲波共振峰逐漸向低頻移動(dòng)。但是，縱肋互阻抗對(duì)彎曲波共振峰沒(méi)有明顯影響，說(shuō)明起作用的主要是縱肋自阻抗。自阻抗引起的附加質(zhì)量導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)質(zhì)量增加，使彎曲波共振峰向低頻移動(dòng)。

2.2 周期性縱肋的Bloch彎曲波對(duì)聲輻射的作用

為了進(jìn)一步研究周期性縱肋對(duì)輻射聲場(chǎng)的影響，本節(jié)詳細(xì)討論了由周期性縱肋引起的輻射聲場(chǎng)中、高頻段的附加共振峰。圖5是加不同數(shù)量縱肋圓柱殼與基本圓柱殼的輻射聲場(chǎng)的對(duì)比圖，分別計(jì)算了考慮互阻抗和忽略互阻抗的情況?？v坐標(biāo)是輻射聲壓級(jí)，橫坐標(biāo)為頻率，取值范圍是0.1-2 000 Hz，計(jì)算點(diǎn)間隔隨頻率指數(shù)增長(zhǎng)。

圖5（a）對(duì)比了忽略互阻抗時(shí)，加不同數(shù)量縱肋與基本圓柱殼輻射聲場(chǎng)的對(duì)比圖，可以看出除了低頻處三個(gè)彎曲波共振峰的位置稍有不同，中、高頻段加不同數(shù)量縱肋圓柱殼與基本圓柱殼的輻射聲壓級(jí)基本相同。圖5（b）-（c）分別是加4根、8根和12根縱肋圓柱殼輻射的聲壓級(jí)，對(duì)比考慮互阻抗和忽略互阻抗的情況?？梢钥闯觯?dāng)考慮互阻抗時(shí)，輻射聲壓級(jí)的中、高頻段出現(xiàn)了一系列附加共振峰。

縱肋的互阻抗體現(xiàn)了縱肋間的相互作用，當(dāng)考慮縱肋間的相互作用時(shí)，周期性縱肋使得圓柱殼變成沿周向的無(wú)限周期結(jié)構(gòu)。對(duì)于無(wú)限大平板，如果其彎曲波波數(shù)為kw，那么周期加肋平板中的第m階Bloch彎曲波可以寫(xiě)成

推廣到加周期縱肋圓柱殼，將其周向彎曲波波數(shù)同樣記作kw，縱肋的間隔L= 2πa/T。那么沿圓柱殼周向的第m階Bloch彎曲波可以寫(xiě)成

其中m= 0是基本傳播模式，即圓柱殼周向彎曲波。其余是由于周期縱肋的相互作用引起的附加傳播模式，可稱為Bloch彎曲波傳播模式。

圖5 周期性縱肋對(duì)圓柱殼遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓級(jí)的影響Fig.5 Influence of periodic ribs on sound pressure level

3 結(jié) 論

為了研究周期性縱肋對(duì)圓柱殼輻射聲場(chǎng)的影響，本文通過(guò)周向模態(tài)展開(kāi)和軸向Fourier 變換導(dǎo)出點(diǎn)激勵(lì)情況下加周期縱肋無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼表面振動(dòng)計(jì)算公式，通過(guò)穩(wěn)相法得到了遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓的解析解表達(dá)式。數(shù)值計(jì)算給出了接收點(diǎn)正對(duì)激勵(lì)點(diǎn)時(shí)遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓級(jí)的頻率譜，并解釋了縱肋自阻抗和互阻抗對(duì)輻射聲場(chǎng)的影響，研究表明在無(wú)限長(zhǎng)加周期縱肋圓柱殼中存在兩類(lèi)聲輻射機(jī)理：

（1）低頻段的彎曲波輻射機(jī)理。在圓柱殼中，彎曲波繞行殼體一周相位變化2π的整數(shù)倍，殼體在周向形成駐波共振。在本文計(jì)算頻段，亞音速的彎曲波波數(shù)小于水中波數(shù)，這部分振動(dòng)能量無(wú)法通過(guò)相位匹配的方式高效輻射到遠(yuǎn)場(chǎng)。由于圓柱殼體表面存在曲率，仍有極小部分的能量輻射到遠(yuǎn)場(chǎng)，并且形成帶寬非常窄的共振峰。因此，彎曲波共振峰在低頻處帶寬較寬，隨著頻率增加，圓柱殼的聲學(xué)特征逐漸趨近于平板，彎曲波共振峰帶寬逐漸減小，只有計(jì)算頻率間隔足夠小時(shí)才能得到。

（2）中高頻段的Bloch 彎曲波輻射機(jī)理。加周期縱肋后，由于縱肋間的相互作用，在圓柱殼周向存在多階次的Bloch 彎曲波傳播模式，Bloch 彎曲波繞行殼體一周相位變化2π 的整數(shù)倍，也能在殼體周向形成駐波共振。不同于亞音速的彎曲波，Bloch 彎曲波波數(shù)小于水中聲波數(shù)的分量，能夠通過(guò)相位匹配的機(jī)理高效輻射到遠(yuǎn)場(chǎng)，并形成一系列的附加共振峰。Bloch 彎曲波輻射頻段存在下限，其頻率下限與縱肋的間距有關(guān)，縱肋間距越大輻射頻段的下限越低。