光滑纖維化的特征函數(shù)與誘導(dǎo)光滑纖維化

詹 妍, 趙 浩

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510631)

纖維化作為復(fù)疊映射的推廣,在同倫論中對(duì)于拓?fù)淇臻g的同倫群的計(jì)算起著非常重要的作用[1]. 自從纖維化的概念提出以來(lái),由于研究目的的不同,已經(jīng)出現(xiàn)諸如Hurwicz纖維化、Serre纖維化和弱纖維化等各種不同的定義. 1966年,SPANIER[2]在復(fù)疊空間理論的基礎(chǔ)上對(duì)不同的纖維化概念進(jìn)行了整理,并且給出了纖維化的相關(guān)性質(zhì). 特別地,在纖維化與上纖維化的等價(jià)刻畫(huà)方面,文獻(xiàn)[2]首先給出了升騰函數(shù)與收縮函數(shù)的概念,并證明了一個(gè)映射p:E→B分別是纖維化或上纖維化當(dāng)且僅當(dāng)分別存在p的升騰函數(shù)與收縮函數(shù)；利用這一等價(jià)刻畫(huà),給出了誘導(dǎo)纖維化的如下相關(guān)結(jié)論: (1)對(duì)任一空間X,映射p:E→B可誘導(dǎo)映射p*:EX→BX(由p*(g)=pg定義),其中EX與BX表示映射空間. 若p是纖維化,則p*也是纖維化. (2)對(duì)任一空間Y,映射f:X′→X誘導(dǎo)映射f*:YX→YX′(由f*(g)=gf定義). 若f是上纖維化,則f*是纖維化.

相對(duì)于拓?fù)淇臻g范疇中纖維化的理論,在其他范疇中也有對(duì)應(yīng)的纖維化理論,差異空間范疇[3]便是其中的范疇之一. 在差異空間范疇中,其對(duì)象為差異空間,態(tài)射為差異空間之間的光滑映射. 差異空間作為光滑流形的推廣,最初由SOURIAU[3]提出. 接著,LAUBINGER[4]、LESLIE[5]、WALDORF[6]、KARSHON 和WATTS[7]、PERVOVA[8]、IWASE和IZUMIDA[9]等分別研究了差異空間范疇中的De-Rham上同調(diào)、李代數(shù)、差異叢、Pseudo-叢、軌形、Mayer-Vietoris 序列等的相關(guān)性質(zhì). 基于這些已有的研究成果,IGLESIAS-ZEMMOUR[10]系統(tǒng)地給出了差異空間的同倫理論,對(duì)這種同倫理論所涉及到的基本概念做了定義,其中包括差異向量空間、差異群、D-拓?fù)浜虳e-Rham上同調(diào)計(jì)算等等. HARAGUCHI和SHIMAKAWA[11]研究了差異空間范疇中的模結(jié)構(gòu),并給出了2個(gè)光滑映射f,f′:X→Y之間的光滑同倫的另一定義,即存在X×I到Y(jié)的光滑映射H,使得H0=f,H1=f′,且不失一般性地可假設(shè)H為tame-同倫. HARAGUCHI[12]給出了光滑CW復(fù)形的定義,并對(duì)與光滑CW復(fù)形相關(guān)的同倫擴(kuò)張性質(zhì)、胞腔逼近定理和Whitehead定理進(jìn)行了研究.

在已有研究中,雖然有關(guān)差異空間的基本同倫理論得到了較大的發(fā)展,但是有關(guān)纖維化的一些基本概念與性質(zhì)尚未得到研究. 本文將利用光滑升騰函數(shù)以及光滑收縮函數(shù),對(duì)光滑纖維化以及光滑上纖維化做出等價(jià)的刻畫(huà). 同時(shí),將用這樣的等價(jià)刻畫(huà)來(lái)證明由光滑纖維化及光滑上纖維化所誘導(dǎo)的映射空間之間的光滑映射即是光滑纖維化.

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)介紹有關(guān)差異空間的一些基本概念與性質(zhì).

定義1[10]設(shè)X是一個(gè)集合,U是歐式空間的開(kāi)子集,任一映射P:U→X稱(chēng)為X的一個(gè)參數(shù)化.

定義2[10]設(shè)X是一個(gè)非空集合,U是歐式空間的開(kāi)子集.X的一個(gè)參數(shù)化族DX={f|f:U→X}稱(chēng)為X的一個(gè)差異拓?fù)?如果DX滿(mǎn)足以下3個(gè)條件:

(1)常值參數(shù)化在DX中;

(2)對(duì)任一映射P:U→X,若對(duì)于U中的任一點(diǎn)u,存在u的一個(gè)開(kāi)鄰域V,使得P|V:V→X在DX中,則P在DX中;

(3)對(duì)DX中的任一參數(shù)化P:U→X和任一歐式空間開(kāi)子集之間的光滑映射Q:V→U,PQ在DX中.

我們稱(chēng)一個(gè)帶有差異拓?fù)銬X的集合X為一個(gè)差異空間,稱(chēng)DX中的每個(gè)成員為X的一個(gè)繪標(biāo).

定義3[10]給定差異空間X和Y,稱(chēng)映射f:X→Y是光滑的,如果對(duì)于X的任意一個(gè)繪標(biāo)P:U→X,fP都是Y的一個(gè)繪標(biāo).

性質(zhì)1[10]設(shè)X、Y和Z都是差異空間,若f:X→Y和g:Y→Z都是光滑映射,則復(fù)合映射gf:X→Z也是光滑映射.

以下介紹幾類(lèi)常見(jiàn)的差異空間及其相關(guān)的性質(zhì).

定義4[12]設(shè)A是X的一個(gè)非空子集,i:A→X是包含映射. 若A有一個(gè)差異子拓?fù)?/p>

DA={P:U→A|iP:U→DX},

則稱(chēng)A是X的子空間.

注1在本文中,把單位區(qū)間I看成的子空間.

定義5[12]設(shè)X是差異空間,Y是非空集合,:X→Y是滿(mǎn)射. 若Y有一個(gè)差異商拓?fù)?

DY={P:U→Y|對(duì)任意rU,存在r的開(kāi)鄰域V與DX

中元素Q:V→X,使得P|V：V→X=Q},

則稱(chēng)Y為X的商空間或X的差異商.

定義6[10]設(shè)X和Y都是差異商拓?fù)淇臻g,令C∞(X,Y)={所有光滑映射f:X→Y},則集合C(X,Y)有一個(gè)函數(shù)式差異拓?fù)?

DC∞(X,Y)={P:U→C∞(X,Y)|對(duì)任意DX中元素Q:V→Y,

有ψ(P×Q):U×V→DX},

其中，ψ:C(X,Y)×X→Y是賦值映射,定義為ψ(f,x)=f(x).

性質(zhì)2[10](指數(shù)對(duì)應(yīng)法則)設(shè)X、Y和Z都是差異空間,且映射空間C(X,Y)、C(X×Y,Z)和C(X,C(Y,Z))都帶函數(shù)式差異拓?fù)?則C(X,C(Y,Z))?C(X×Y,Z).

定義7[10]設(shè)H:X×I→Y是光滑同倫,如果存在0<ε<1/2,使得

H(x,s)=H(x,0) (0≤s≤ε)，

H(x,s)=H(x,1) (1-ε≤s≤1),

則稱(chēng)H為tame-同倫.

下面給出光滑纖維化與光滑上纖維化的概念.

定義8[10]設(shè)E、B和X都是差異空間. 如果對(duì)任一光滑映射f:X→E,光滑同倫G:X×I→B,G0=pf,都存在光滑同倫F:X×I→E,使得F0=f,pF=G(F是G的提升),則稱(chēng)p有關(guān)于空間X的光滑同倫提升性質(zhì). 把X看成X×{0},設(shè)i0:X→X×I是包含映射,則有交換圖表:

若對(duì)所有差異空間X,p都有光滑同倫提升性質(zhì),則稱(chēng)p是光滑纖維化.

定義9[10]設(shè)X和Y是差異空間,A是X的子空間. 如果對(duì)任一光滑映射f:X→Y,光滑同倫G:A×I→Y,G0=f|A,都存在光滑同倫F:X×I→Y,使得F0=f,F|A×I=G(F是G是擴(kuò)張),則稱(chēng)f有關(guān)于空間X的光滑同倫擴(kuò)張性質(zhì). 設(shè)i:A→X是包含映射,則有交換圖表:

若對(duì)所有差異空間X,f都有光滑同倫擴(kuò)張性質(zhì),則稱(chēng)f是光滑上纖維化.

2 光滑特征函數(shù)

下面給出任一光滑映射是光滑纖維化的等價(jià)描述.

定理1映射p:E→B是光滑纖維化當(dāng)且僅當(dāng)存在p的光滑升騰函數(shù).

證明(充分性)若p是光滑纖維化,定義

(e,ω)e,

((e,ω),t)ω(t).

因?yàn)閒′是E上的投射,所以f′是光滑映射. 下證F是光滑的.

u((e,ω),t)ω(t).

u((e,ω),t)(e,ω),

u((e,ω),t)t.

u(e,ω)(e,ω)e,

u(e,ω)(e,ω)ω.

于是,對(duì)P2:U→IDI和光滑映射l:U→U×U,l(u)=(u,u)(uU),有ψlDB:

u(u,u)(ω,t)ω(t),

即FP=ψlDB.

根據(jù)F的定義,F滿(mǎn)足F((e,ω),0)=ω(0)=p(e)=pf′(e,ω). 因?yàn)閜是光滑纖維化,所以存在光滑映射使得F′((e,ω),0)=f′(e,ω)=e和pF′=F. 如以下交換圖表:

設(shè)f:X→E和G:X×I→B是光滑映射,使得G(x,0)=pf(x). 根據(jù)性質(zhì)2,有光滑映射g:X→BI,g(x)(t)=G(x,t)，則g(x)(0)=G(x,0)=pf(x).

定義F:X×I→E,F(x,t)=(f(x),g(x))(t). 由于(e,ω)、f、g都是光滑的,故F是光滑的,且有F(x,0)=(f(x),g(x))(0)=f(x),pF(x,t)=p(f(x),)〗g(x))(t)=g(x)(t)=G(x,t),即有交換圖表:

從而p是光滑纖維化.

設(shè)X′與X是差異空間,f:X′→X是光滑映射. 令“～”是X×{0}X′×I上的等價(jià)關(guān)系:(x′,0)～(f(x′),0),x′X′. 由此有商空間=X×{0}X′×I/～. 令映射p:X×{0}X′×I→為光滑粘合映射,記為p(x′,t)=[x′,t],(x′,t)X′×I,p(x,0)=[x,0],(x,0)X×{0},則存在光滑映射

[x,0](x,0),xX,

[x′,t](f(x′),t),(x′,t)X′×I.

下面給出任一光滑映射是光滑上纖維化的等價(jià)描述.

定理2映射f:X′→X是光滑上纖維化當(dāng)且僅當(dāng)存在對(duì)f的光滑收縮函數(shù).

證明(充分性)若f是光滑上纖維化,令

x[x,0],

(x′,t)[x′,t].

顯然g是光滑的,設(shè)p:X×{0}是光滑粘合映射,則G=p|X′×I也是光滑的.

G(x′,0)=[x′,0]=[f(x′),0]=gf(x′),而p是光滑上纖維化,則存在光滑映射使得ρ(f×1I)=G和ρ0=g. 如交換圖表:

從而當(dāng)xX時(shí),有ρ當(dāng)(x′,t)X′×I時(shí),有ρ故ρ因此,ρ是f的光滑收縮函數(shù).

[x,0]g(x),xX,

[x′,t]G(x′,t),(x′,t)X′×I.

F

G(x′,t) ((x′,t)X′×I),

故有交換圖表:

從而f是光滑上纖維化.

3 誘導(dǎo)光滑纖維化

本節(jié)給出由光滑纖維化與光滑上纖維化誘導(dǎo)出光滑纖維化的結(jié)論.

定理3設(shè)映射f:X′→X是光滑上纖維化,Y是任一差異空間,則誘導(dǎo)映射f*:YX→YX′是光滑纖維化.

uhhρ.

任取Q:V→X×IDX×I,由于ρ是光滑的,故ρQ:U→又由于則有ψ(P×(ρQ))DY:

(u,v)(h,ρQ(v))hρQ(v).

而ψ((ρ′P)×Q)為:

(u,v)(hρ,Q(v))hρQ(v).

可見(jiàn),ψ((ρ′P)×Q)=ψ(P×(ρQ))DY.

gf(x′),x′X′}.

由于

f*(g,G)(t)(x′)=(g,G)(t)(f(x′))=

(g∪G)ρ(f(x′),t)=(g∪G)ρ

g∪G[x′,t]=G(x′,t),

其中,(g,G)YX×YX′×I,tI,x′X′. 故*(g,G)=((g,G)(0),f*(g,G))=(g,G). 因此,*即是f*的光滑升騰函數(shù),故f*是光滑纖維化.

定理4設(shè)映射p:E→B是光滑纖維化,X是任一差異空間,則誘導(dǎo)映射p*:EX→BX是光滑纖維化.

p*(g,G))=(F(0),pF)=(g,G).