考慮土體非線性時被動樁內(nèi)力和變形特性計算

張超凡

(中鐵第一勘察設(shè)計院集團有限公司， 陜西 西安 710043)

土位移法采用樁土相對位移與土體抗力指標(biāo)綜合反映土體側(cè)移作用于樁身的被動荷載效應(yīng)，能夠從機理上較好地體現(xiàn)樁土相互作用對樁基性狀的影響，國內(nèi)外學(xué)者對此進(jìn)行了一系列的研究[1～8]。張愛軍等[2]采用兩階段法，基于Winkler地基模型研究不同土體側(cè)移模式下抗滑單樁的變形和受力性狀，得到了樁身響應(yīng)的矩陣表達(dá)式；符金庫等[3]基于豎向荷載作用下的Boussinesq水平位移解，通過對地面堆載作用效應(yīng)的二重積分，得到了堆載作用下土體水平位移場的計算表達(dá)式；楊敏等[4]將p-y曲線法與Poulos彈性理論法相結(jié)合，提出了一種承受土體側(cè)向位移的單樁計算方法。該方法依據(jù)p-y曲線確定土體的彈性模量，同時采用彈性理論法來考慮樁土之間的相互作用，計算過程更符合實際情況；周東等[5]基于室內(nèi)模型試驗設(shè)計了側(cè)向位移作用下被動樁樁周土體水平位移測量裝置，獲得了不同條件下樁周土體自由位移場；宋修廣等[6]基于雙參數(shù)地基模型建立被動樁撓曲微分方程，以此研究堆載對基樁的影響；劉敦平等[7]采用ANSYS有限元軟件對土體側(cè)向位移作用下的被動樁進(jìn)行分析，采用DP(Drucker-Prager)材料考慮土體的彈塑性性質(zhì)，并考慮大變形的影響，研究了群樁效應(yīng)和堆載作用下樁基內(nèi)力和變形；梁發(fā)云等[8]采用ABAQUS軟件，建立了受土體位移影響的單樁三維數(shù)值模型，討論了不同土體側(cè)移模式對樁身內(nèi)力和變形的影響。

目前，多數(shù)學(xué)者將堆載作用下的土體自由位移場假定為土體深度的函數(shù)，或采用經(jīng)驗公式對其進(jìn)行計算，未與堆載大小、樁周土體性質(zhì)建立關(guān)系，不夠準(zhǔn)確；另一方面，計算樁周土體抗力時多采用彈性地基反力法，不能反映樁周土體的非線性。本文將位移法和p-y曲線法相結(jié)合，基于位移法計算鄰近堆載對樁基產(chǎn)生的影響，該方法將土體水平位移與樁周軟土層厚度、土體力學(xué)指標(biāo)及固結(jié)度、堆載大小等因素聯(lián)系起來，并采用p-y曲線法描述樁側(cè)土抗力與樁身撓度之間的關(guān)系。同時考慮主動荷載(樁頂豎向荷載和水平荷載)及被動荷載(鄰近堆載)的影響，進(jìn)行被動單樁受力特性計算。通過有限差分法對樁身撓曲微分方程進(jìn)行求解，并據(jù)此編制了Fortran程序，通過實例對比驗證了方法的正確性與適用性。

1 模型建立

1.1 計算模型

計算模型如圖1(圖中：a1，a2，a3，b1，b2，b3為堆載尺寸；h為堆載高度；e為堆載邊緣距樁身的距離；N0，H0，M0為樁頂主動荷載，分別為豎向荷載、水平荷載、彎矩)所示，樁頂與地面齊平，其上作用有豎向荷載、水平荷載和彎矩，樁周有鄰近堆載。為便于采用有限差分法進(jìn)行計算，對樁身進(jìn)行分段，并在樁頂、樁端分別增加兩個虛擬單元。力和位移的符號約定如下：水平力和位移沿y軸方向為正，樁身彎矩以靠近堆載側(cè)樁身受拉為正。

圖1 堆載作用下被動單樁計算模型

為了研究主動荷載(豎向荷載、水平荷載、彎矩)和鄰近堆載同時作用下單樁受力特性，首先應(yīng)建立其撓曲微分方程。為便于計算，本文假定樁身為彈性體，同時本文研究的重點是樁的橫向內(nèi)力和變形特性，故假定軸力為常數(shù)。取樁身單元如圖2所示，單元上端作用有彎矩M、剪力Q和軸力N，單元下端作用有彎矩M+dM、剪力Q+dQ和軸力N，樁側(cè)有土抗力P=b0p(z,y)和堆載產(chǎn)生的樁身附加荷載b0czU(E,z)。

根據(jù)樁身微單元平衡條件，可得樁身撓曲微分方程為

(1)

式中：E為樁身彈性模量；I為樁身慣性矩；N為樁身軸力；y為樁身水平位移；z為計算深度；b0為樁的計算寬度，柱樁及樁身直徑0.8 m以下的灌注樁b0=d+1(m)，其余類型的樁參照相關(guān)資料，其中d為樁徑[9]；cz為地基系數(shù)，表示單位面積土在彈性限度內(nèi)產(chǎn)生單位變形時所需加的力，cz=p/y；U(E，z)為土體自由場水平位移。

1.2 邊界條件

根據(jù)樁身實際受力特點，對邊界條件作出如下假定：

(1)樁頂邊界條件

本文僅考慮一種情況，即樁頂作用有豎向荷載N0、水平力H0、彎矩M0。

(2)樁底邊界條件

樁底邊界條件有兩種情況：樁底自由或樁底固定。

1.3 堆載作用下土體位移場計算

采用兩階段法計算被動樁樁身內(nèi)力和變形時，土體自由場水平位移是否準(zhǔn)確直接關(guān)系到分析結(jié)果的合理性[10]。本文在計算時，鑒于現(xiàn)場或模型試驗耗時費力，實施較為困難，因此通過理論公式計算堆載引起的樁周土體水平位移。Bourges等[11]針對路堤堆載作用下土體水平位移進(jìn)行了長期現(xiàn)場監(jiān)測，根據(jù)監(jiān)測結(jié)果提出了路堤堆載作用下土體水平位移經(jīng)驗公式，其所采用的計算圖圖示如圖3所示。

圖3 路堤堆載作用下土體水平位移監(jiān)測示意

Bourges等[11]定義了樁周土體側(cè)移的三種分布曲線，均為土體深度的函數(shù)，如圖4(圖中：ρ為土體水平位移；ρmax為土體最大水平位移；y=ρ÷ρmax；d為軟土層厚度；z為樁長范圍內(nèi)土體深度與軟土層厚度的比值)所示。

圖4 土體水平位移隨深度的分布形式

三條曲線方程如下：

曲線①：整體平均曲線

y=1.83z3-4.69z2+2.13z+0.73

(2)

曲線②：可壓縮層位于地表以下幾米處的情況

y=3.42z3-6.37z2+2.14z+0.81

(3)

曲線③：正常固結(jié)的沉積土

y=-2z3+1.5z+0.5

(4)

土體最大水平位移ρmax由瞬時分量ρimax和固結(jié)分量ρcmax組成。ρimax與X/L(見圖3)的值和邊坡安全系數(shù)F的值有關(guān)。安全系數(shù)F按式(5)計算。

F=(π+2)cuav/(γH)

(5)

式中：cuav為黏土層平均不排水抗剪強度；γ為路堤填土重度；H為路堤高度。

Bourges等[11]建立了最大水平位移的無量綱量λ(λ=ρimax/d)與邊坡穩(wěn)定系數(shù)F的關(guān)系曲線[11]。任意時刻的最大水平位移固結(jié)分量ρcmax與路堤中心的固結(jié)沉降量Sc有關(guān)，按式(6)計算。

ρcmax,t=0.16Sc=0.16(St-Si)

(6)

式中：St為t時刻的總沉降量；Si為瞬時沉降量。

St可根據(jù)土體的固結(jié)度U和最終沉降量Sf進(jìn)行計算，故任意時刻土體最大水平位移ρmax可用下式表示：

(7)

在無準(zhǔn)確實測數(shù)據(jù)或其他確定方法時，可采用本節(jié)所述方法初步估算堆載引起的樁周土體水平位移。

1.4 p-y曲線選取

本文選取國內(nèi)外五種典型的p-y曲線模型[12～16]。從模型假定、適用條件、參數(shù)計算等角度對其進(jìn)行對比，最終采用章連洋等[16]提出的模型計算土體抗力與樁身水平位移的關(guān)系。因篇幅有限，對比過程不再詳述。

章連洋等在Matlock的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，引入有效長度概念，提出了適用于我國長江中下游地區(qū)軟黏土的p-y曲線計算方法。計算步驟如下：

(1)計算不同深度處土體不排水抗剪強度cu以及最大主應(yīng)力差一半時的應(yīng)變ε50[16]。

(2)計算靜載作用下樁的有效長度Ls和影響深度zrs，如式(8)(9)所示。

(8)

zrs=Ls/4

(9)

式中：Ec為樁長范圍內(nèi)土體彈性模量的平均值。

(3)計算土體極限抗力Pu，如式(10)(11)所示。

Pu=FsNpcu

(10)

Np=min{2.5+6.5(z/zrs)，9}

(11)

式中：Fs為與土性和荷載密切相關(guān)的折減系數(shù)[16]。

(4)計算樁側(cè)土反力達(dá)到極限值的50%時對應(yīng)的樁身水平位移y50，其值為：

y50=4.5ε50d3/4

(12)

(5)建立p-y曲線模型：

曲線段：

p/pu=0.5(y/y50)1/3

(13)

直線段：

(14)

p/pu=1，z>zrs

(15)

2 模型求解

采用有限差分法求解樁身內(nèi)力和變形，將樁身沿長度方向分為n個單元，分段長度為λ，為便于計算，避免出現(xiàn)零下標(biāo)和負(fù)下標(biāo)，將樁頂和樁底各增加兩個虛擬節(jié)點，節(jié)點編號從1開始，共n+5個節(jié)點，如圖 1所示。

對于分段點i，由一維中心差分公式可得i節(jié)點的差分方程為：

(16)

式中：yi為i節(jié)點處對應(yīng)的樁身水平位移；λ為樁身分段長度(見圖 1)；czi為i節(jié)點深度處單位面積土在彈性限度內(nèi)產(chǎn)生單位變形時所需加的力，czi=pi/yi；Ui為深度z處土體自由場水平位移。

yi+2-ryi+1+(2r-2+Ai)yi-ryi-1+
yi-2-AiUi=0

(17)

根據(jù)微分關(guān)系，可以求得各截面的轉(zhuǎn)角θi、彎矩Mi、剪力Qi為：

(18)

(19)

(20)

由圖 1可知，樁身范圍內(nèi)共有n+1個節(jié)點，對每個節(jié)點i(i=3，4，…，n+2，n+3)均可寫出如式(16)所示的平衡方程，共n+1個方程，但有n+5個未知的樁身水平位移yi，還需補充4個方程才能求解，這4個方程根據(jù)1.2節(jié)邊界條件確定。至此，n+5個方程對應(yīng)有n+5個未知的yi，方程數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等，方程可解。

采用追趕法求解方程組，為便于表達(dá)，引入Bi，Ci，Di作為計算i節(jié)點處樁身變形特性的三個無量綱中間變量。此處以樁底自由為例，計算結(jié)果如下：

結(jié)合樁底邊界條件可得：

yn+5=(r-2)yn+4-(r-2)yn+2+yn+1

(21)

yn+4=2yn+3-yn+2

(22)

yn+3=Bn+3yn+2+Cn+3yn+1+Dn+3

(23)

對于中間節(jié)點i=n+2至i=3，有

yi=Biyi-1+Ciyi-2+Di

(24)

(25)

(26)

式中：zj1=B3(B4-2)+C4+1；zj2=C3(B4-2)；zj3=D3(B4-2)+D4；zj4=(B5-k+2)(B3B4+C4)+C5B3+k-2；zj5=C3B4(B5-k+2)+C3C5-1；zj6=D5+(B5-k+2)(D4+D3B4)+D3C5。

3 程序編制及驗證

3.1 DSN程序功能與流程

根據(jù)上述求解思路，采用Fortran語言編制了DSN程序，該程序可用于求解考慮土體非線性的被動單樁樁身內(nèi)力和變形。求解思路如下：首先輸入關(guān)于土層、樁及堆載的計算參數(shù)，然后根據(jù)實際情況選取邊界條件，采用Bourges等[11]提出的樁周土體自由場水平位移，將所得的土體水平位移施加于樁身，通過有限差分法計算出樁身內(nèi)力和變形。程序流程如圖5所示。

圖5 考慮土體非線性時被動單樁受力特性計算流程

3.2 注意事項

(1)關(guān)于地基系數(shù)的說明

本文在推導(dǎo)理論公式時，地基系數(shù)czi=pi/yi，對于樁身位移非常小甚至接近于0時，按此公式計算所得czi為無窮大，程序不能繼續(xù)運行。故程序?qū)τ跇渡硭轿灰苰i<0.1 mm的yi值，取yi=0.1 mm，此精度可滿足工程要求。

(2)關(guān)于程序迭代終止條件的說明

程序迭代終止判別條件采用相鄰兩次計算所得的樁身水平位移差值ε進(jìn)行衡量，兩次計算所得的ε值小于0.01 mm時終止迭代。

3.3 程序驗證

為驗證DSN程序的正確性，本文選取上海寶山鋼鐵廠群樁試驗案例[17]以及浙江某地區(qū)不平衡堆載試驗[18]分別進(jìn)行計算，并與現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。

3.3.1 工程案例一

上海寶山鋼鐵廠群樁堆載試驗位于長江入?？诟浇矫娌贾萌鐖D 6所示。試驗樁為空心鋼管樁，樁長60 m，樁徑609 mm，壁厚11 mm，樁身彈性模量E=2.1×106kPa。承臺尺寸為5.4 m×5.4 m。試驗場地土層自上而下分別為：0～2.5 m為黃褐色亞黏土；2.5～7.5 m為淤泥質(zhì)亞黏土；7.5～22.5 m為淤泥質(zhì)黏土；22.5～60 m為亞黏土；60 m以下為細(xì)砂。土的主要物理力學(xué)指標(biāo)如表1所示。

圖6 堆載試驗平面布置/m

表1 土層參數(shù)

堆載采用分級加載模式，分別為60，90，120，150 kPa。第一級持續(xù)32 d，第二級持續(xù)98 d，第三級持續(xù)126 d，第四級持續(xù)161 d，共計417 d，測得各級荷載作用下基樁撓度以及樁周土體沉降和側(cè)移值。

如圖6所示，以第四級荷載施加完畢后B樁為研究對象，采用本文研制的DSN程序?qū)ι鲜龉こ踢M(jìn)行計算。所取的基本計算參數(shù)如表2所示。

表2 計算參數(shù)取值

將堆載作用下土體自由場水平位移計算值與實測值進(jìn)行對比，結(jié)果如圖7所示。

圖7 樁周土體水平位移計算值與實測值對比

參照1.3節(jié)土體水平位移經(jīng)驗公式，本工程在曲線②適用范圍內(nèi)。故本文將根據(jù)曲線②計算所得土體水平位移施加于樁身，采用DSN程序計算B樁水平位移，計算值與實測值對比如圖8所示。

圖8 B樁樁身水平位移計算值與實測值對比

由圖8可知，樁身水平位移計算值與實測值相比，二者趨勢相同，沿深度方向均先增大后減小。樁頂水平位移實測值為17.9 mm，計算值為13.9 mm，計算值比實測值小22%；樁身水平位移實測最大值為36.82 mm，發(fā)生在地下深度約9.0 m處，計算最大值為38.8 mm，發(fā)生在地下深度約8.5 m處。

3.2.2 工程案例二

不平衡堆載試驗[18]簡介如下：基樁共三根，樁長71.5 m，樁徑1.5 m，樁間距5.6 m，持力層為黏性土圓礫。地表下存在流塑狀高壓縮性淤泥質(zhì)黏土，厚度約24.5 m。樁周堆載高度3 m，形狀為梯形，上表面尺寸14.2 m×5 m，下表面尺寸22.6 m×13.4 m，長邊方向與基樁中軸線平行。

由于樁周存在深厚淤泥質(zhì)黏土，滿足1.3節(jié)中曲線②適用條件，故采用曲線②計算樁周土體水平位移，以文獻(xiàn)[18]中SZ2為研究對象，采用DSN程序?qū)渡硭轿灰七M(jìn)行計算，計算值與實測值對比如圖9所示。

圖9 樁身水平位移計算值與實測值對比

由圖9可知，樁身水平位移計算值與實測值沿深度方向均逐漸減小。樁頂水平位移實測值為105.4 mm，計算值為121.87 mm，計算值比實測值大15.6%，在誤差允許范圍以內(nèi)；樁身水平位移實測值在地下23 m左右基本為0，樁身水平位移計算值在地下10 m左右基本為0。

對以上兩個工程案例計算結(jié)果進(jìn)行分析，誤差產(chǎn)生的原因有以下幾點：(1)現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，現(xiàn)場試驗時受人為及外部因素影響，測試結(jié)果會有一定偏差；(2)工程案例一中現(xiàn)場試驗為2×2根的群樁試驗，本文在計算時，通過將地面以下2 m深度范圍內(nèi)的土體變形模量適當(dāng)提高考慮承臺及群樁效應(yīng)影響，存在一定的誤差；(3)本文所述土體自由場水平位移公式有一定的局限性。

綜上所述，在誤差允許范圍內(nèi)，計算結(jié)果與現(xiàn)場實測值吻合良好。在無準(zhǔn)確實測數(shù)據(jù)或其他確定方法時，可采用本文所述方法計算考慮土體非線性時被動樁內(nèi)力和變形。

4 結(jié) 論

本文將位移法與p-y曲線法相結(jié)合，對考慮土體非線性的被動樁樁身內(nèi)力和變形展開研究。主要結(jié)論如下：

(1)采用典型p-y曲線法描述樁側(cè)土抗力與樁身水平位移的關(guān)系，并考慮樁頂豎向荷載N對樁身內(nèi)力和變位的影響(P-Δ效應(yīng))，能綜合反映樁周土體的非線性，樁的剛度和外荷載作用性質(zhì)等特點，更符合實際情況；

(2)計算土體位移場時，將土體位移場分布情況同樁周土體性質(zhì)、地面堆載等因素聯(lián)系起來，可計算具體工況下被動樁樁身內(nèi)力和變形，為工程實際提供參考；

(3)基于上述理論，采用Fortran語言編制了程序DSN，該程序可用于計算被動樁樁身內(nèi)力和變形，將程序DSN應(yīng)用于典型案例，通過計算結(jié)果與實測結(jié)果的對比，驗證了計算方法和程序的正確性。