利用互無(wú)偏測(cè)量構(gòu)造的可分判據(jù)

趙 慧，張 琳

(北京工業(yè)大學(xué)理學(xué)部，北京 100124)

量子信息是一門涉及數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)的交叉學(xué)科，包括量子通訊、量子計(jì)算、量子編碼等很多方向. 它是以量子態(tài)的疊加原理為基礎(chǔ)，研究信息處理的一門新興學(xué)科. 量子糾纏態(tài)理論是量子信息與量子計(jì)算領(lǐng)域的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容. 利用糾纏理論可以實(shí)現(xiàn)很多經(jīng)典物理無(wú)法解決的問(wèn)題，例如量子態(tài)層析成像[1-2]、量子密鑰分配[3]、量子隱形傳態(tài)和量子超密碼編碼[4-5]. 因此，判斷態(tài)糾纏即非可分是一個(gè)至關(guān)重要的問(wèn)題. 對(duì)于一般態(tài)，文獻(xiàn)[6]利用密度矩陣的Bloch表示，給出了兩體態(tài)可分的必要條件和充分條件. 文獻(xiàn)[7-8]通過(guò)分析對(duì)應(yīng)圖的可分性來(lái)判斷態(tài)的可分性. 文獻(xiàn)[9-10]利用互無(wú)偏測(cè)量給出了兩體態(tài)的可分判據(jù). 文獻(xiàn)[11]分析了三體量子態(tài)的糾纏性質(zhì). 文獻(xiàn)[12]進(jìn)一步給出了多體系統(tǒng)態(tài)的可分判據(jù). 文獻(xiàn)[13]利用互無(wú)偏測(cè)量和范數(shù)，通過(guò)構(gòu)造矩陣進(jìn)一步優(yōu)化可分判據(jù). 對(duì)于對(duì)角對(duì)稱態(tài)，文獻(xiàn)[14]基于部分轉(zhuǎn)置正判據(jù)[15]，給出了態(tài)可分的充要條件. 還有很多文獻(xiàn)通過(guò)不同的方式給出了不同的可分判據(jù)[16-21].

本文利用對(duì)角對(duì)稱態(tài)可分時(shí)的部分轉(zhuǎn)置正條件，結(jié)合對(duì)角對(duì)稱態(tài)性質(zhì)，利用互無(wú)偏測(cè)量，給出了對(duì)角對(duì)稱態(tài)可分的充要條件，又利用密度矩陣的Bloch表示，將密度矩陣和互無(wú)偏測(cè)量相結(jié)合，以及矩陣和向量范數(shù)之間的關(guān)系，給出了兩體量子態(tài)可分的必要條件.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

定義1量子系統(tǒng)的態(tài)為|φi〉，則稱{pi,|φi〉}是態(tài)的系綜. 式中：i為指標(biāo)；pi為對(duì)應(yīng)的概率. 系統(tǒng)的密度矩陣定義為

若ρ=|φ〉〈φ|，tr(ρ2)=1，則稱ρ是純態(tài)，若tr(ρ2)<1，則稱ρ是混態(tài).

定義2一個(gè)矩陣ρ是和某個(gè)系綜{pi,|φi〉}相關(guān)聯(lián)的密度矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下條件：

1)ρ的跡等于1；

2)ρ是一個(gè)半正定矩陣.

定義3兩體Hilbert空間上，若密度矩陣ρ能寫成

(1)

定義4兩體Hilbert空間Cd?Cd上的態(tài)ρ稱為對(duì)角對(duì)稱態(tài)，當(dāng)且僅當(dāng)ρ可以寫成

(2)

則稱2個(gè)基B1和B2是互無(wú)偏的.

定義6Cd上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基集合{B1，B2，…，Bm}，如果集合中的每一對(duì)基都是互無(wú)偏的，稱為一個(gè)互無(wú)偏基集合.

定義7Hilbert空間Cd上的2個(gè)測(cè)量

稱為互無(wú)偏測(cè)量，當(dāng)且僅當(dāng)

下面給出在d維Hilbert空間上構(gòu)造d+1個(gè)完備互無(wú)偏測(cè)量的方法.[22]

利用以上算子，可以進(jìn)一步構(gòu)造d+1個(gè)互無(wú)偏測(cè)量

(3)

考慮M個(gè)含參數(shù)κ的互無(wú)偏測(cè)量集合P={P(1),P(2),…,P(M)}，則有不等式

當(dāng)M=d+1時(shí)，稱互無(wú)偏測(cè)量集合P={P(1),P(2),…,P(M)}是完備的，并且

當(dāng)ρ為純態(tài)時(shí)，由于tr(ρ2)=1，此時(shí)有

(4)

如果ρ可分，則J(ρ)≤1+κ.[9]

定義8將ρ的矩陣元用直積的形式表示為

ρmnuv=〈em|〈fn|ρ|eu〉|fv〉，m,n,u,v=1,2,…

式中：{|eu〉}為第1個(gè)Hilbert空間的一組基；{|fn〉}為第2個(gè)Hilbert空間的一組基. 則ρ關(guān)于第一個(gè)子系統(tǒng)的部分轉(zhuǎn)置為

ρ關(guān)于第二個(gè)子系統(tǒng)的部分轉(zhuǎn)置為

2 對(duì)角對(duì)稱態(tài)的可分判據(jù)

首先，考慮C2?C2上一類對(duì)角對(duì)稱態(tài)ρ2×2可分的充要條件. 定義

證明：必要性.

充分性.

下面考慮C3?C3上一類對(duì)角對(duì)稱態(tài)可分的充要條件.同樣定義

定理2ρ3×3是C3?C3上的對(duì)角對(duì)稱態(tài)，且元素滿足以下條件，

令J(ρ)=J1(ρ)+J2(ρ)+J3(ρ)，其中，

(8)

(9)

(10)

式中:

則ρ3×3可分，當(dāng)且僅當(dāng)

(11)

(12)

(13)

證明：因?yàn)棣咽菍?duì)角對(duì)稱態(tài)，由文獻(xiàn)[14]定理3.3，ρ∈Cd?Cd是對(duì)角對(duì)稱態(tài)，d≤4，則ρ可分當(dāng)且僅當(dāng)ρ是部分轉(zhuǎn)置正的，即

(14)

(15)

(16)

(17)

必要性.

則式(11)得證. 同理可得，式(12)(13)成立.

充分性.

由式(11)得

同理可得，式(15)(16)成立.

由pij≥0及式(6)(7)(14),經(jīng)化簡(jiǎn)可得

將三式相加可得

綜上可得ρ是部分轉(zhuǎn)置正的，從而ρ是可分的.

3 一般量子態(tài)的可分判據(jù)

定義9設(shè)矩陣A∈Cm×n，q=min{m,n}，A*A的q個(gè)非負(fù)特征值的算術(shù)平方根叫作矩陣A的奇異值.

定義12密度矩陣ρ∈Cd可以用單位矩陣Id和SU(d)的生成元λi，i=1,2,…,d2-1來(lái)表示

這種表示方法稱為密度矩陣的Bloch表示.

定義13設(shè)|α1〉和|α2〉是空間A中的任意2個(gè)態(tài)，|β1〉和|β2〉是空間B中的任意2個(gè)態(tài)，定義空間B上的偏跡為

trB(|α1〉〈α2|?|β1〉〈β2|)=
|α1〉〈α2|tr(|β1〉〈β2|)

空間A上的偏跡為

trA(|α1〉〈α2|?|β1〉〈β2|)=
|β1〉〈β2|tr(|α1〉〈α2|)

定義14空間A?B上的密度矩陣ρAB,則關(guān)于空間A的約化密度矩陣定義為ρA=trB(ρAB)，式中：trB是空間B上的偏跡.

定義15N階特殊酉群是指行列式值為1的N×N階酉矩陣組成的群，記為SU(N).

當(dāng)i=1,2,…,N-1時(shí)，

λi=|j〉〈k|+|k〉〈j|

λi=-i(|j〉〈k|-|k〉〈j|)

定義17密度矩陣ρ∈Cd1?Cd2的Bloch表示為

密度矩陣ρAB關(guān)于空間A和B的約化密度矩陣分別為

(18)

定義

M(X,Y)(ρ)=(mij)6×6∈C6×6

(19)

則有下面的定理3.

定理3ρ是C2?C2上的密度矩陣，如果ρ可分，則‖M(X,Y)(ρ)‖tr≤2.

證明：由定義13，式(18)(19)可得

M(X,Y)(ρ)=

例1 已知兩體量子系統(tǒng)C2?C2中態(tài)為

ρ=p|φ±〉〈φ±|+(1-p)|00〉〈00|

(20)

文獻(xiàn)[9]的方法無(wú)法檢測(cè)出p取何值時(shí)態(tài)糾纏. 但由定理3可得，當(dāng)0.5

下面考慮ρ∈Cd1?Cd2時(shí)的可分性.

利用式(18)，定義

則有下面的定理4.

定理4ρ是Cd1?Cd2上的密度矩陣，如果ρ可分，則

證明：若ρ純態(tài)可分，則ρ=|φ〉〈φ|?|η〉〈η|，M(X,Y)(ρ)=(tr(Xi?Yj)ρ)d1m1×d2m2=(tr(Xi|φ〉〈φ|)tr(Yj|η〉〈η|))d1m1×d2m2=βηT

式中：

則

‖M(X,Y)(ρ)‖tr=‖βηT‖tr=‖β‖2‖η‖2=

例2 已知兩體量子系統(tǒng)C2?C2中態(tài)為

ρ=p|φ〉〈φ|+(1-p)ρsep

(21)

由定理4可知，當(dāng)0.267 7

4 結(jié)論

本文研究了密度矩陣的可分條件，給出了對(duì)角對(duì)稱態(tài)可分的充要條件和兩體量子態(tài)可分的必要條件.

1) 利用對(duì)角對(duì)稱態(tài)可分和部分轉(zhuǎn)置正的關(guān)系，研究了C2?C2空間上的一類對(duì)角對(duì)稱態(tài)，給出了態(tài)可分的充要條件.

2) 研究了C3?C3上滿足一定條件的對(duì)角對(duì)稱態(tài)的可分性，結(jié)合對(duì)角對(duì)稱態(tài)的性質(zhì)，給出了態(tài)可分的充要條件.

3) 對(duì)C2?C2上的量子態(tài)，將密度矩陣進(jìn)行Bloch表示，根據(jù)互無(wú)偏測(cè)量和SU(2)生成元之間的關(guān)系，給出了量子態(tài)可分的必要條件，并用例子說(shuō)明了本文的可分判據(jù)能夠檢測(cè)出更多的量子糾纏態(tài).

4) 對(duì)Cd1?Cd2上的量子態(tài)，利用跡范數(shù)與向量范數(shù)之間的關(guān)系以及互無(wú)偏測(cè)量和密度矩陣之間的關(guān)系，給出了量子態(tài)可分的必要條件，并用例子說(shuō)明用此判據(jù)可以檢測(cè)出更多的糾纏態(tài).