與數(shù)學(xué)史相伴的思考之旅

陸祎雯

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適當(dāng)追求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的深刻性是必不可少的。將小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)有助于學(xué)生更深層次的理解，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，促進(jìn)學(xué)生對(duì)該數(shù)學(xué)定理的應(yīng)用，在形成數(shù)學(xué)定理過(guò)程中激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思維，從而提高長(zhǎng)期數(shù)學(xué)新授定理課課堂教學(xué)質(zhì)量和培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教育;數(shù)學(xué)史;獨(dú)立思維

記得一年級(jí)剛?cè)雽W(xué)的學(xué)生會(huì)跑來(lái)問(wèn)我為什么這門課叫數(shù)學(xué)，什么是數(shù)學(xué)？這個(gè)問(wèn)題就像他們會(huì)仰著頭問(wèn)爸爸媽媽他們是從哪里來(lái)的一樣熟悉和頻繁。數(shù)學(xué)課伊始學(xué)習(xí)寫阿拉伯?dāng)?shù)字。所以我總是從文字上詼諧地解讀“數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)字呀！你們認(rèn)真好好寫，數(shù)學(xué)才會(huì)學(xué)得好?！逼鋵?shí)數(shù)學(xué)作為一門自然學(xué)科，真的很難用幾句話去概括何為數(shù)學(xué)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將數(shù)學(xué)定義為研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，是人類文化的重要組成部分并安排了四個(gè)部分的課程內(nèi)容：“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”。

我思考了很久，什么是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)從哪里來(lái)？何為數(shù)學(xué)史;該如何運(yùn)用到課堂教學(xué)中去;哪些知識(shí)點(diǎn)可以利用數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué);運(yùn)用了數(shù)學(xué)史能否真正有效提高教學(xué)質(zhì)量;到底學(xué)生哪方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了提升。美國(guó)著名數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家M.克萊因似乎回答了筆者內(nèi)心的部分疑惑。他說(shuō)“歷史是教學(xué)的指南”。言下之意，數(shù)學(xué)史自然就是數(shù)學(xué)教學(xué)指南。

一、 緣起——兒童相見(jiàn)不相識(shí)，笑問(wèn)客從何處來(lái)

一年級(jí)上冊(cè)在教授完“10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”之后，課堂小結(jié)后有個(gè)學(xué)生提問(wèn)“為什么這些數(shù)字叫阿拉伯?dāng)?shù)字？”這一提問(wèn)竟然讓學(xué)生們統(tǒng)一得出了“錯(cuò)誤標(biāo)準(zhǔn)”答案，“這些數(shù)字是阿拉伯人發(fā)明的唄！”還好我有所準(zhǔn)備，孩子們?cè)陂喿x了PPT上的數(shù)學(xué)史料之后紛紛發(fā)出了恍然大悟的感嘆聲，原來(lái)阿拉伯?dāng)?shù)字是古印度人發(fā)明的，阿拉伯人傳播到歐洲去的。同時(shí)筆者分別講述在沒(méi)有數(shù)字之前其他三大古國(guó)記錄數(shù)量的方法。第二天家校聯(lián)系本溝通欄中就出現(xiàn)了阿拉伯?dāng)?shù)字的由來(lái)，很自豪表示爸爸媽媽沒(méi)搞懂的歷史被他們了解得一清二楚，有的在家里還做了回小老師，有的利用數(shù)字歷史甚至跟爸爸打賭贏得了額外的獎(jiǎng)勵(lì)。一時(shí)之間，班里對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣高漲。這讓當(dāng)時(shí)初上講臺(tái)的筆者初識(shí)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合的美妙化學(xué)反應(yīng)。

四年級(jí)下冊(cè)在教授“三角形內(nèi)角和180°”之前，詢問(wèn)學(xué)生“三角形內(nèi)角和是多少？”學(xué)生們統(tǒng)一得出了“正確標(biāo)準(zhǔn)”答案——180°，追問(wèn)為什么是180°時(shí)，學(xué)生的臉上紛紛出現(xiàn)了不自信表情回答著，有的說(shuō)是自己量過(guò)得到，有的說(shuō)是剪剪拼拼得到一個(gè)平角的。按照教案常規(guī)地進(jìn)行授課，帶著學(xué)生對(duì)不同類型的三角形進(jìn)行測(cè)量拼貼，總結(jié)出了三角形內(nèi)角和180°。三角形內(nèi)角和是180°對(duì)于學(xué)生而言就如同一句無(wú)意識(shí)的口號(hào)，在作業(yè)本中稍難一些的變式達(dá)成率不盡如人意。第二天，我提出了升級(jí)版問(wèn)題“為什么三角形內(nèi)角和180°，你能不測(cè)量，不剪拼來(lái)證明嗎？”教室里瞬間鴉雀無(wú)聲。有基礎(chǔ)差的學(xué)生干脆就放棄思考，靠著椅背望著天，畢竟“三角形內(nèi)角和180°”這句口號(hào)他們喊得已經(jīng)滾瓜爛熟了。筆者在備課初期就考慮到了這一點(diǎn)，對(duì)于已經(jīng)熟記的數(shù)學(xué)定理，很多學(xué)生是不愿再花時(shí)間去進(jìn)行多角度思考這條定理是否存在不同證明或者解法，似乎已經(jīng)掌握了。這時(shí)候，出示PPT上為學(xué)生介紹法國(guó)著名數(shù)學(xué)家物理學(xué)家帕斯卡在12歲的時(shí)候沒(méi)有拼剪沒(méi)有測(cè)量就證明了“三角形內(nèi)角和180°”。面對(duì)這個(gè)“爆炸性”的數(shù)學(xué)史料，學(xué)生們頓時(shí)來(lái)了興趣，歷史上竟然有個(gè)數(shù)學(xué)家在他們的年齡就完成了這個(gè)證明。不服輸?shù)男宰右幌伦泳捅患ぐl(fā)出來(lái)了，學(xué)生們紛紛拿出了紙筆想要挑戰(zhàn)一下帕斯卡，說(shuō)不定自己就是明日的數(shù)學(xué)家呢！

這兩個(gè)簡(jiǎn)短的親身教學(xué)實(shí)例一直深深地印在筆者的腦海中，如果數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容（數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，數(shù)學(xué)趣味故事，數(shù)學(xué)家人物自傳等）而讓學(xué)生的思維活起來(lái)，這樣的數(shù)學(xué)課堂是不是就可以打破外學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)越學(xué)越沉默，視其為畏途的“偏見(jiàn)”？

二、情深——一枝獨(dú)秀不是春，百花齊放滿園春

翻閱書籍，一些數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)家早在19世紀(jì)就已經(jīng)開(kāi)始關(guān)注數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值了。美國(guó)數(shù)學(xué)史家卡有利（F.Cajori）稱，一門學(xué)科的歷史乃是“使面包和黃油更加可口的蜂蜜”，認(rèn)為數(shù)學(xué)史在課堂上可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;又稱，“學(xué)生所遭遇的困難往往是相關(guān)學(xué)科的創(chuàng)建者經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期思索和探討后所克服的實(shí)際困難”1。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生面對(duì)問(wèn)題能主動(dòng)思索多種解法是十分重要的，筆者想這體現(xiàn)了當(dāng)下十分熱門的教育關(guān)鍵詞——以生為本和解題多樣化。這些解法可以是學(xué)生的，也可以是歷史上的。在課堂討論中，可采取互動(dòng)的方式師生共同討論包括歷史方法在內(nèi)的各種方式2。而實(shí)際上，由于歷史相似性的存在，即學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解過(guò)程與數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展過(guò)程具有一定的相似性，歷史上數(shù)學(xué)家所遭遇的困難正是學(xué)生所經(jīng)歷的障礙3。

實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生很多點(diǎn)與歷史上類似，有的是與數(shù)學(xué)家的總結(jié)數(shù)學(xué)定理時(shí)的年齡相仿;有的是計(jì)算過(guò)程，尋找的證明特例相似;有的是錯(cuò)誤思路相似。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些與歷史中偉大的數(shù)學(xué)家想法相似時(shí)，都不經(jīng)感嘆“歷史總是驚人地相似！”臉上洋溢著自己都不經(jīng)意的自信與喜悅。學(xué)生樂(lè)意并投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去，養(yǎng)成獨(dú)立思考問(wèn)題的習(xí)慣。

對(duì)于小學(xué)一線教師來(lái)說(shuō)利用數(shù)學(xué)史進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考是件十分誘人的挑戰(zhàn)。教育部2013審定人教版數(shù)學(xué)教課書上往往以“你知道嗎？”一欄為對(duì)應(yīng)課題的數(shù)學(xué)史進(jìn)行滲透。筆者對(duì)課本上已有的數(shù)學(xué)史進(jìn)行了整理。

一年級(jí)上冊(cè)：算籌、古埃及象形字、中國(guó)古代計(jì)時(shí)器

一年級(jí)下冊(cè)：七巧板、中國(guó)古代貨幣介紹

二年級(jí)上冊(cè)：現(xiàn)代多種測(cè)量工具、乘號(hào)的由來(lái)、用雙手表示9的乘法口訣、介紹我國(guó)兩千多年的乘法口訣歷史

二年級(jí)下冊(cè)：我國(guó)剪紙背景、計(jì)數(shù)的歷史演變、生活中的稱

三年級(jí)上冊(cè)：分?jǐn)?shù)在我國(guó)的表示方式及其演化歷史

三年級(jí)下冊(cè)：指南針、除號(hào)的由來(lái)、二十四節(jié)氣歌、閏年的由來(lái)、地球自轉(zhuǎn) 24時(shí)區(qū)、小數(shù)出現(xiàn)的歷史

四年級(jí)上冊(cè)：三位一分節(jié)的大數(shù)的由來(lái);數(shù)的由來(lái)及其發(fā)揚(yáng)的歷史;我國(guó)歷史上0的表示方式;計(jì)算工具的發(fā)展、我國(guó)土地特有面積單位“畝”、意大利格子乘法、神奇的莫比烏斯帶

四年級(jí)下冊(cè)：小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)的由來(lái)、小數(shù)的由來(lái)及其歷史、《孫子算經(jīng)》雞兔同籠

五年級(jí)上冊(cè)：什么是“數(shù)字黑洞”？ 方程的國(guó)內(nèi)外史、《九章算術(shù)》方田章;劉徽出入相補(bǔ)原理

五年級(jí)下冊(cè)：完全數(shù);哥德巴赫猜想、幾何學(xué)和歐幾里得、《九章算術(shù)》立體圖形體積計(jì)算公式、《九章算術(shù)》更相減損術(shù)

六年級(jí)上冊(cè)：《莊子？天下篇》一尺之棰，日取其半，萬(wàn)事不竭、音樂(lè)五線譜中的分?jǐn)?shù)、黃金比、圓周率：《周髀算經(jīng)》祖沖之;《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)、恩格爾系數(shù)

六年級(jí)下冊(cè)：中外負(fù)數(shù)的發(fā)展歷史、圓柱容球（阿基米德）、抽屜原理、七橋問(wèn)題

對(duì)于小學(xué)六年龐大的數(shù)學(xué)知識(shí)體系而言，教材上所羅列的數(shù)學(xué)史顯得頗有“地廣人稀”的感覺(jué)。所以筆者根據(jù)閱讀和搜集了課內(nèi)外的小學(xué)數(shù)學(xué)歷史資料并將其與數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。將歷史資料分為與課程標(biāo)準(zhǔn)一致的“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四大模塊。

數(shù)與代數(shù)：劉徽與小數(shù)的發(fā)明;分?jǐn)?shù)和小數(shù)的由來(lái);（韋達(dá)）字母表示數(shù)及其歷史，負(fù)數(shù)的歷史;阿基米德表示大數(shù);手指算（16世紀(jì)）;格子算法（15世紀(jì)）;古印度數(shù)學(xué)家在除數(shù)是0上的錯(cuò)誤思考;古代中國(guó)、印度和近代歐洲的分?jǐn)?shù)除法;一元一次方程的歷史，移項(xiàng)（《九章算術(shù)》），盈不足問(wèn)題（《九章算術(shù)》《算法統(tǒng)宗》），行程問(wèn)題（斐波那契《計(jì)算之書》）。涵蓋知識(shí)點(diǎn)：小數(shù);分?jǐn)?shù);字母表示數(shù);大數(shù)的認(rèn)識(shí);一位數(shù)乘法;兩位數(shù)或多位數(shù)的乘法;正整數(shù)的除法;分?jǐn)?shù)的除法;一元一次方程的概念、解法與應(yīng)用。

圖形與幾何：泰勒斯與帕斯卡分別論證三角形內(nèi)角和及其發(fā)展歷史;祖沖之計(jì)算圓周率;開(kāi)普勒推導(dǎo)圓面積及圓面積公式的發(fā)展歷史;角的由來(lái);圓的定義（《墨經(jīng)》和《幾何原本》）;位置表示方法的歷史;出入相補(bǔ)原理。涵蓋知識(shí)點(diǎn)：三角形內(nèi)角和;圓周率;圓的面積;角;圓;位置的表示法;三角形與梯形的面積。

統(tǒng)計(jì)與概率：恩格爾系數(shù)。

綜合與實(shí)踐：七巧板;莫比烏斯帶;數(shù)獨(dú);加減乘除、等于大于小于、括號(hào)等數(shù)學(xué)符號(hào)的歷史;數(shù)學(xué)工具的發(fā)明（量角器、鐘等）。涵蓋知識(shí)點(diǎn)：正整數(shù)的四則運(yùn)算等。

在歷史收集研究后，需要選擇制定出適合于課堂教學(xué)和兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的教學(xué)設(shè)計(jì)。歷史資料的選用必須讓學(xué)生覺(jué)得有趣，有吸引力且兼?zhèn)鋽?shù)學(xué)教育意義;必須要符合史實(shí)，不能因新穎而隨意編造;最重要的一點(diǎn)是必須明確教學(xué)目標(biāo)，不因?yàn)榱藲v史而上數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)史始終為學(xué)生創(chuàng)造獨(dú)立思維，為達(dá)成教學(xué)目標(biāo)所服務(wù)。

課本課本學(xué)生的根本。數(shù)學(xué)教材是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的集合。顯然，不論是教師在執(zhí)教過(guò)程中還是學(xué)生學(xué)習(xí)作業(yè)上都感受到了所要掌握的數(shù)學(xué)內(nèi)容遠(yuǎn)不止教材中的內(nèi)容。數(shù)學(xué)教材并不是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一材料。在整理收集數(shù)學(xué)史的中筆者發(fā)現(xiàn)在這當(dāng)中尋找數(shù)學(xué)教學(xué)資源宛若遇見(jiàn)了一個(gè)極大的寶藏?？梢詫?duì)教材相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行充實(shí)，既拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，又豐富了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，增強(qiáng)了學(xué)生獨(dú)立思考的能力。

三、 結(jié)緣——博觀而約取，厚積而薄發(fā)

如何將數(shù)學(xué)史料有效地融入數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐中，從而幫助學(xué)生增強(qiáng)獨(dú)立思考的能力呢？我們需要選擇合適于課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)史。

（1） 課外知識(shí)拓展型

有的數(shù)學(xué)史可以作為課外知識(shí)的拓展，出示在課前或課堂總結(jié)后，例如展示有關(guān)數(shù)學(xué)家的生平故事等。在教學(xué)大數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)可以講述阿基米德數(shù)沙子的故事;在教學(xué)位置表示方法時(shí)可以講述笛卡爾與蒼蠅位置的故事（數(shù)對(duì)）;在教學(xué)圓周率時(shí)可以講述祖沖之推算的故事。

（2） 歷史“遺留”問(wèn)題型

根據(jù)歷史資料改編成現(xiàn)代數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如《莊子？天下篇》一尺之棰，日取其半，萬(wàn)事不竭，改編現(xiàn)代語(yǔ)言的數(shù)學(xué)問(wèn)題，更改數(shù)據(jù)，學(xué)生們互相出題。還有四年級(jí)的雞兔同籠問(wèn)題和六年級(jí)的七橋問(wèn)題與歐拉定理。

（3） 復(fù)制粘貼拿來(lái)型

直接運(yùn)用歷史上的數(shù)學(xué)問(wèn)題或者解法等。例如在教學(xué)兩位數(shù)乘法時(shí)可以直接引入格子算法;在教學(xué)行程相遇問(wèn)題時(shí)，直接采用《九章算術(shù)》中的鳧雁相逢問(wèn)題或《計(jì)算之書》中的兩船相遇問(wèn)題;在教學(xué)三角形內(nèi)角和時(shí)，可直接引用帕斯卡的證明過(guò)程。在總結(jié)除法運(yùn)算規(guī)律時(shí)可以直接運(yùn)用“同頭無(wú)除商八、九”和“除數(shù)折半商四、五”的口訣，這我國(guó)古代勞動(dòng)人民逐步總結(jié)出來(lái)的除法試商經(jīng)驗(yàn)。

（4） 分解重構(gòu)型

借鑒或重新構(gòu)建知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展歷史。例如按照普洛克拉斯的“量—質(zhì)—關(guān)系”4重現(xiàn)角概念的歷史。在教學(xué)提取最大公因數(shù)時(shí)可以借鑒我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》里，記載最大公因數(shù)的方法——“以少減多，更相減損”。在學(xué)習(xí)多邊圖形的面積時(shí)可以借鑒《九章算術(shù)》中記載著有關(guān)土地面積計(jì)算的內(nèi)容，具體介紹了各種圖形的面積計(jì)算方法。著名數(shù)學(xué)家劉徽在注文中用“以盈補(bǔ)虛”的方法加以證明，并配有生動(dòng)形象的圖。

沒(méi)有數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)課堂不會(huì)怎么樣，有了數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)課肯定不一樣。當(dāng)學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)史“笑問(wèn)客從何處來(lái)”時(shí)，給他們想探求的歷史知識(shí)，促進(jìn)獨(dú)立思維。面對(duì)數(shù)學(xué)教材的一枝獨(dú)秀，給學(xué)生的知識(shí)視野加點(diǎn)兒料，百花齊放才能滿園春。數(shù)學(xué)不再是枯燥乏味的，教師平日的靜心博觀，精心約取，課堂上才能讓學(xué)生達(dá)到厚積而薄發(fā)的效果。

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