基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的金屬橡膠動(dòng)態(tài)特性建模

余慧杰，賀 濤

(上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

1 前 言

金屬橡膠是一種新型結(jié)構(gòu)阻尼材料，可經(jīng)特殊的工藝將一定質(zhì)量的、拉伸開(kāi)的、螺旋狀態(tài)的金屬絲有序地排放在沖壓或碾壓模具中，然后用冷沖壓的方法壓制成形，再經(jīng)必要的熱處理制備而得[1]。近年來(lái)，金屬橡膠作為新型的減振材料得到了越來(lái)越多的重視，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)金屬橡膠材料及其靜動(dòng)態(tài)特性做了大量研究[2-6]。金屬橡膠具有變剛度、變阻尼的非線性遲滯特性，是一種典型的黏彈性材料，但由于其本構(gòu)關(guān)系非常復(fù)雜，難以用常規(guī)的模型描述其動(dòng)力學(xué)特性。

分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分向非整數(shù)階微積分的拓展研究，其誕生最早可追溯到Newton和Leibniz創(chuàng)立微積分的時(shí)代。然而長(zhǎng)期以來(lái)，由于缺乏物理和力學(xué)等背景學(xué)科的支持，分?jǐn)?shù)階微積分一直作為純理論而被數(shù)學(xué)家所研究。直到20世紀(jì)80年代研究人員發(fā)現(xiàn)分形幾何、記憶過(guò)程等現(xiàn)象及過(guò)程可以與分?jǐn)?shù)階微積分建立起密切的聯(lián)系[7]?，F(xiàn)有的黏彈性標(biāo)準(zhǔn)流變學(xué)模型如Maxwell模型、Kelvin-Voigt模型、經(jīng)典三元固體模型等都不能夠準(zhǔn)確地描述黏彈性材料復(fù)雜的力學(xué)行為[8]。但是，將這些經(jīng)典模型中的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)階，能夠有效彌補(bǔ)這些模型的不足。

本研究在經(jīng)典三元固體模型的基礎(chǔ)上，用Abel體代替Newton粘壺，得到分?jǐn)?shù)階三元?jiǎng)恿W(xué)模型；建立了三次非線性彈性力模型和黏彈性力模型。同時(shí)對(duì)金屬橡膠材料進(jìn)行動(dòng)態(tài)試驗(yàn)，結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果與所建立的模型，進(jìn)行參數(shù)識(shí)別與模型驗(yàn)證；通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值結(jié)果的對(duì)比，分析了經(jīng)典三元模型和分?jǐn)?shù)階三元模型描述金屬橡膠材料動(dòng)力學(xué)性能的準(zhǔn)確性。結(jié)果表明，采用分?jǐn)?shù)階三元模型，可以在較少參數(shù)的情況下更好地描述金屬橡膠不同工況下的動(dòng)態(tài)特性，為金屬橡膠材料更好地在實(shí)際工程中的廣泛應(yīng)用提供參考。

2 實(shí) 驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)過(guò)程

金屬橡膠材料動(dòng)態(tài)試驗(yàn)所用試件如圖1所示，金屬絲材料為奧氏體不銹鋼1Cr18Ni9Ti，密度為ρs=7.85×10-3g/mm3，螺旋卷直徑為0.8 mm，相對(duì)密度(金屬橡膠構(gòu)件密度與金屬絲材料密度之比)為0.1，外形尺寸(外徑-內(nèi)徑-高度)為φ10 mm-φ5 mm-8.5 mm。試驗(yàn)采用ElectroForce3330多功能試驗(yàn)機(jī)，裝置如圖2所示。該試驗(yàn)機(jī)的動(dòng)態(tài)力范圍為-3000～+3000 N，位移范圍為0～25 mm，頻率范圍為0～100 Hz。試驗(yàn)機(jī)配套了Win test測(cè)試軟件，該數(shù)據(jù)采集分析軟件可設(shè)定設(shè)備響應(yīng)參數(shù)和加載參數(shù)，可對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)采集；裝置測(cè)試系統(tǒng)配有DMA材料動(dòng)態(tài)特性機(jī)械性能分析軟件，可以進(jìn)行載荷加載并分析計(jì)算出動(dòng)剛度、損耗因子、存儲(chǔ)模量(動(dòng)剛度實(shí)部)、損耗模量(動(dòng)剛度虛部)等參數(shù)大小，并分析其變化規(guī)律。

圖1 金屬橡膠試件Fig.1 Metal rubber specimens

圖2 動(dòng)態(tài)特性實(shí)驗(yàn)裝置Fig.2 Dynamic test device

由于本試驗(yàn)的金屬橡膠試件對(duì)位置精度比較敏感，故要求所設(shè)計(jì)的夾具能夠精確地安裝定位。在夾具中，雙頭螺栓可以很方便地調(diào)整回形剛?cè)Φ奈恢?，使其處于上下金屬橡膠中間位置，避免上下金屬橡膠受力不均；調(diào)節(jié)螺桿和鎖緊墊片可以很方便地調(diào)整金屬橡膠的預(yù)壓縮量，有效減少夾具拆卸次數(shù)，提高試驗(yàn)效率。所設(shè)計(jì)的夾具結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、試件定位準(zhǔn)確、安裝便捷牢靠。

在試驗(yàn)中，選用相同預(yù)壓量、絲徑和尺寸的金屬橡膠試件10組，分別進(jìn)行動(dòng)態(tài)拉壓試驗(yàn)。加載頻率10 Hz，振幅±1.5 mm，可以得到如圖3所示的載荷-位移遲滯回線。

圖3 金屬橡膠遲滯恢復(fù)力曲線Fig.3 Force-displacement curve of metal rubber

2.2 試驗(yàn)結(jié)果

通過(guò)Dynamic Mechanical Analysis(DMA)動(dòng)態(tài)分析軟件得到其存儲(chǔ)模量和損耗模量變化曲線，如圖4、5所示?？梢?jiàn)，隨著激勵(lì)頻率的增加，金屬橡膠試件的存儲(chǔ)模量減小，損耗模量呈波動(dòng)狀態(tài)。

圖4 不同頻率下存儲(chǔ)模量的變化Fig.4 Change of storage modulus at different frequencies

圖5 不同頻率下?lián)p耗模量變化Fig.5 Change of lose modulus at different frequencies

3 金屬橡膠動(dòng)態(tài)特性的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型的建立

3.1 黏彈性力模型

金屬橡膠是一種黏彈性材料，描述黏彈性材料的標(biāo)準(zhǔn)流變學(xué)模型是由彈簧和Newton粘壺的串并聯(lián)組成的本構(gòu)模型。最基本的標(biāo)準(zhǔn)流變學(xué)模型有彈簧和Newton粘壺串聯(lián)構(gòu)成的Maxwell模型以及它們的并聯(lián)構(gòu)成的Kelvin-Voigt模型[8]。將一個(gè)Kelvin-Voigt模型與彈簧串聯(lián)，或?qū)⒁粋€(gè)Maxwell模型與彈簧并聯(lián)，形成的黏彈性本構(gòu)模型稱為經(jīng)典三元固體模型，圖6所示為一個(gè)Kelvin-Voigt模型與彈簧串聯(lián)構(gòu)成的經(jīng)典三元固體模型。這種模型表達(dá)的力-位移關(guān)系為：

(1)

圖6 經(jīng)典三元固體模型Fig.6 Classical ternary model

在常見(jiàn)的標(biāo)準(zhǔn)流變學(xué)模型基礎(chǔ)上，Gemant首先提出了分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型[9]，用Abel體代替標(biāo)準(zhǔn)流變學(xué)模型中的Newton粘壺。Abel體的本構(gòu)關(guān)系為：

(2)

式中：b為粘性系數(shù)，Dα為分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)算子，α為導(dǎo)數(shù)階次。當(dāng)b值一定時(shí)，若α值無(wú)限接近1，則Abel體的變形接近于彈性體；若α值無(wú)限接近0，則Abel體的變形接近于粘性體；若α值在0和1之間，則Abel體的變形既有彈性材料的形變特點(diǎn)，也有粘性材料的形變特點(diǎn)，可見(jiàn)Abel體更適合描述真實(shí)材料的形變[10]。將經(jīng)典三元固體模型中的Newton粘壺用Abel體代替，得到分?jǐn)?shù)階三元模型，如圖7所示，該模型所表達(dá)的力-位移關(guān)系為：

Fve(t)+p1DαFve(t)=q0x(t)+q1Dαx(t)

(3)

式中：p1，q0，q1為材料參數(shù)，α為粘性系數(shù)，Dα為分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)算子。

圖7 分?jǐn)?shù)階三元模型Fig.7 Fractional ternary model

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有不同的定義，應(yīng)用最廣泛的有Riemann-Liouville定義和Grünwald定義。由于Grünwald定義在函數(shù)應(yīng)用上的限制較少，本文采用Grünwald定義對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算[11]，即：

Dαg(t)=

(4)

3.2 金屬橡膠動(dòng)態(tài)特性探討

金屬橡膠是一種均質(zhì)多孔彈性材料，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)是金屬絲之間相互嵌合、勾連而形成的類似于橡膠分子結(jié)構(gòu)的空間網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。不僅具有類似于橡膠的高彈性、大阻尼特性，而且具有金屬的抗腐蝕、抗輻射、耐高低溫等特性。當(dāng)其作為減振元件工作時(shí)，金屬橡膠表現(xiàn)出黏彈性材料的特性，其位移-恢復(fù)力遲滯曲線如圖3所示。用分?jǐn)?shù)階三元模型描述的黏彈性力-位移曲線如圖8(a)所示，可見(jiàn)分?jǐn)?shù)階模型為線性模型，用圖3中遲滯曲線對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)依次減去圖8(a)中遲滯曲線對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)并取平均值，作為非線性力數(shù)據(jù)。

金屬橡膠遲滯曲線的形成不僅包括黏彈性力的影響，還包含了非線性彈性力部分，故在表述其遲滯恢復(fù)力時(shí)，要同時(shí)考慮到黏彈性力和非線性彈性力，如圖8所示。金屬橡膠材料彈性恢復(fù)力中含有較強(qiáng)的位移三次非線性因素，非線性彈性力Fe(t)可以表示為：

Fe(t)=kex3(t)

(5)

故金屬橡膠遲滯恢復(fù)力可表示為：

F(t)=Fve(t)+Fe(t)

(6)

其中，F(xiàn)ve(t)為黏彈性力，F(xiàn)e(t)為非線性彈性力。

圖8 金屬橡膠遲滯恢復(fù)力分解 (a)黏彈性力-位移； (b) 非線性力-位移Fig.8 Resolution of force-displacement curve of metal rubber(a) viscoelastic force-displacement; (b) nonlinear force-displacement

4 參數(shù)識(shí)別

4.1 非線性彈性力模型單元參數(shù)識(shí)別

金屬橡膠材料具有非線性[12]，本研究采用最小二乘法識(shí)別非線性彈性力模型參數(shù)。由試驗(yàn)得到金屬橡膠試件在頻率10 Hz，振幅為1 mm時(shí)的遲滯曲線。對(duì)非線性彈性力進(jìn)行擬合，得到的金屬橡膠試件力-位移曲線見(jiàn)圖9。擬合結(jié)果ke=1.7718，誤差為7.5%，可見(jiàn)該三次非線性表達(dá)式(式(5))能夠較好地描述金屬橡膠材料的非線性彈性力。

圖9 非線性彈性力模型與試驗(yàn)值的對(duì)比Fig.9 Comparison of test and calculation results of nonlinear elastic force

4.2 黏彈性模型單元參數(shù)識(shí)別

材料的黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)特性通常可以用存儲(chǔ)模量和損耗模量來(lái)描述，為了便于計(jì)算，將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型從時(shí)域變換到頻域進(jìn)行參數(shù)識(shí)別[13]。在零初始條件下，對(duì)分?jǐn)?shù)階三元模型的力-位移關(guān)系進(jìn)行傅里葉變換可以得到：

fve(w)+(iw)αp1fve(w)=q0x(w)+(iw)αq1x(w)

(7)

根據(jù)剛度與載荷的關(guān)系：

fve(w)=k(w)x(w)=(k′(w)+jk″(w))x(w)

(8)

則動(dòng)剛度為：

(9)

將iα=cos(πα/2)+isin(πα/2)代入式(9)，進(jìn)行實(shí)部與虛部的分離，可以得到動(dòng)剛度實(shí)部(即存儲(chǔ)模量)k′(w)、動(dòng)剛度虛部(即損耗模量)k″(w)和損耗因子tanδ如下：

(10)

(11)

(12)

當(dāng)α=1時(shí)，式(9)～(12)表示經(jīng)典三元模型中材料的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。當(dāng)0<α<1時(shí)，式(9)～(12)表示分?jǐn)?shù)階三元模型中材料的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。利用試驗(yàn)測(cè)得的金屬橡膠試件在頻率為1～100 Hz、振幅為1 mm的外加激勵(lì)下的復(fù)剛度，采用最小二乘法對(duì)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，試驗(yàn)與計(jì)算的復(fù)剛度誤差為：

(13)

表1 參數(shù)識(shí)別結(jié)果Table 1 Parameters identification results

圖10 黏彈性力模型與試驗(yàn)值的對(duì)比Fig.10 Comparison of test and calculation results of viscoelastic force

表2 黏彈性力模型與試驗(yàn)的相對(duì)誤差Table 2 Relative error of test and calculation results of viscoelastic force

5 模型驗(yàn)證

通過(guò)對(duì)經(jīng)典三元模型和分?jǐn)?shù)階三元模型的參數(shù)識(shí)別，可知分?jǐn)?shù)階三元模型能夠較好地描述金屬橡膠的存儲(chǔ)模量、損耗模量等動(dòng)態(tài)特性。為了進(jìn)一步說(shuō)明分?jǐn)?shù)階三元模型的適用性，對(duì)模型在不同振幅激勵(lì)下的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

遲滯曲線是金屬橡膠加載和卸載過(guò)程中恢復(fù)力的變化曲線，能夠描述材料的動(dòng)態(tài)特性[15]。如圖11所示，根據(jù)振幅分別為0.5，1和1.5 mm時(shí)擬合的數(shù)學(xué)模型重構(gòu)試驗(yàn)遲滯曲線，檢驗(yàn)不同工況下分?jǐn)?shù)階模型計(jì)算值與試驗(yàn)值的吻合程度。振幅為0.5，1和1.5 mm時(shí)，試驗(yàn)值與分?jǐn)?shù)階模型的均方根誤差分別為2.63，3.39，4.26?？梢?jiàn)，在不同振幅下，分?jǐn)?shù)階模型都可以較好地?cái)M合遲滯曲線；且隨著振幅減小，對(duì)遲滯曲線的擬合誤差更小，擬合效果越好?？梢?jiàn)分?jǐn)?shù)階模型能夠用較少參數(shù)準(zhǔn)確地描述金屬橡膠的動(dòng)態(tài)特性。

圖11 不同振幅下金屬橡膠遲滯曲線(a)a=0.5 mm; (b) a=1 mm; (c) a=1.5 mmFig.11 Force-displacement curve of metal rubber under different amplitude (a) a=0.5 mm; (b) a=1 mm; (c) a=1.5 mm

6 結(jié) 論

本研究分別采用分?jǐn)?shù)階三元模型和經(jīng)典三元模型與非線性彈性力模型并聯(lián)疊加構(gòu)造金屬橡膠動(dòng)力學(xué)模型，結(jié)合金屬橡膠動(dòng)態(tài)特性試驗(yàn)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別與模型驗(yàn)證。結(jié)果發(fā)現(xiàn)用三次非線性關(guān)系可以很好地描述金屬橡膠動(dòng)力學(xué)特性中的非線性因素；在描述存儲(chǔ)模量和損耗模量等動(dòng)態(tài)特性時(shí)，經(jīng)典三元模型幾乎無(wú)法準(zhǔn)確進(jìn)行描述，而分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型能夠在較少參數(shù)的情況下較精確地描述金屬橡膠的動(dòng)態(tài)特性；在不同振幅下，分?jǐn)?shù)階模型都可以較好地?cái)M合金屬橡膠遲滯曲線。由此可見(jiàn)，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的引入可以使模型更好地描述金屬橡膠的動(dòng)態(tài)特性，具有較好的工程實(shí)用性。