求解隨機(jī)微分方程的一個新的數(shù)值格式*

朱偉丹，王自強(qiáng)

(貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

大多數(shù)隨機(jī)微分方程的解析解不容易獲得，許多研究者通過構(gòu)造數(shù)值格式來獲得數(shù)值解，常見的數(shù)值解法有Euler法[1]，Milstein法[2]等，這些數(shù)值解法都是基于Ito隨機(jī)Taylor展開下在不同的地方截斷得到的[3-5]，而本文將從一維隨機(jī)微分方程的積分方程形式出發(fā)，結(jié)合Simpson公式和Milstein方法的離散思想，建立了一個求解一維隨機(jī)微分方程的新的數(shù)值格式，第一部分給出隨機(jī)微分方程的高階數(shù)值格式構(gòu)造的過程，第二部分給出數(shù)值運(yùn)算結(jié)果。

1 隨機(jī)微分方程的數(shù)值格式構(gòu)造

考慮如下一維隨機(jī)微分方程：

dX(t)=f(X(t))dt+g(X(t))dw(t)，0≤t≤T

(1)

滿足如下的初值條件：

X(t0)=X0

(2)

其中，f，g分別稱為漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)，w(t)為標(biāo)準(zhǔn)維納過程，并且滿足以下三個性質(zhì)[3]：

1)w(0)=0(概率為1)；

2)對于0≤s

3)對于0≤s

(1)式可寫成如下等價積分形式：

k=0，1，…，N-1

(3)

現(xiàn)對f(X(t))進(jìn)行構(gòu)造高階數(shù)值格式，將區(qū)間進(jìn)行離散化，將區(qū)間[0，T]劃分成N份等分小區(qū)間，令t0=0

(4)

利用線性插值法，在區(qū)間[t0，t1]上對f(X(t))作如下逼近：

f(X(t))≈ψ0(t)f(X(t0))+ψ1(t)f(X(t1))

(5)

則在區(qū)間[t0，t1]上，將(4)式和(5)式代入(3)式得到：

(6)

其中ψi(t)，i=0，1為線性插值基函數(shù)，定義如下：

(7)

其中：

(8)

在區(qū)間[t1，t2]上，利用二次拉格朗日插值法，f(X(t))在[t1，t2]作如下逼近[7]：

f(X(t))

≈φ0，1(t)f(X(t0))+φ1，1(t)f(X(t1))+

φ2，1(t)f(X(t2))

(9)

其中：φi，1(t)，i=0，1，2為t0，t1，t2三個點(diǎn)處的二次拉格朗日插值基函數(shù)，定義如下：

(10)

將(9)式代入(3)式，令k=1，t=t2得到：

X(t2)

(11)

其中：

(12)

現(xiàn)在進(jìn)行下一步的格式構(gòu)造，假設(shè)我們已經(jīng)構(gòu)造出了X(t1)，l=0，1，…，k，利用同樣的方法繼續(xù)構(gòu)造X(tk+1)如下：

X(tk+1)

(13)

其中：φi，k(t)，i=0，1，2;k=1，2，…，N-1為點(diǎn)tk-1，tk，tk+1上的二次拉格朗日插值基函數(shù)：

(14)

(15)

其中R是對隨機(jī)項(xiàng)進(jìn)行Taylor展開的余項(xiàng)。

由文獻(xiàn)[4]，記

G1(X(tn))=g(X(tn))，

G2(X(tn))=g(X(tn)+ΔtG1(X(tn)))，

則有如下式子：

g(X(tn))g′(X(tn))

(16)

(17)

(18)

設(shè)Xk為X(tk)，k=0，1，…，N的近似值，把(18)式代入(6)式，(11)式和(13)式，得到如下數(shù)值格式：

(19)

2 數(shù)值試驗(yàn)

研究如下方程[3]：

dX(t)=f(X(t))dt+g(X(t))dw(t)，0≤t≤T

(20)

令：

g(X(t))=μX(t)

此時該方程的精確解為：

X(t)=X(0)exp(λt+μw(t))

在用MATLAB進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)中，我們令λ=2，μ=1，N=27，為了清晰地比較，我們給出了精確解和Milstein法，精確解和修正的Milstein法兩個圖像進(jìn)行比較，得到的結(jié)果如下：

圖1 Milstein法和精確解的比較

圖2 改進(jìn)Milstein法和精確解的比較

表1 平均誤差隨著時間步長Δt的變化

由表1可知，本文構(gòu)造的改進(jìn)的Milstein法要比經(jīng)典的Milstein法的逼近效果好。