一類不穩(wěn)定時滯對象的兩自由度控制器設(shè)計

朱景秀，張 偉，王亞剛

(上海理工大學(xué) 光電信息與計算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093)

在實際生活中，不穩(wěn)定系統(tǒng)和積分系統(tǒng)的調(diào)節(jié)技術(shù)要比穩(wěn)定系統(tǒng)復(fù)雜和困難得多，在加上時延后，研究難度更高。近幾年，為了穩(wěn)定時滯不穩(wěn)定系統(tǒng)，研究人員將重點放在了PID(Proportional-Integral-Derivative)控制器的設(shè)計上[1-9]。文獻(xiàn)[1]針對一類二階不穩(wěn)定系統(tǒng)，提出了一種改進(jìn)史密斯預(yù)測器的設(shè)計方案。該方案基于直接綜合法將設(shè)定值追蹤控制器和擾動控制器分別設(shè)計為PID形式和帶超前滯后濾波器的PID形式，并且加入設(shè)定值加權(quán)來減小超調(diào)。文獻(xiàn)[2]提出了一種直接綜合法來設(shè)計積分系統(tǒng)的PID控制器參數(shù)，其整定方法基于特征方程與期望方程的比較。文獻(xiàn)[3]提出了一種并行控制結(jié)構(gòu)(Parallel Cascade Control Structure，PCCS)，該結(jié)構(gòu)特點是將設(shè)定值追蹤響應(yīng)和抑制擾動響應(yīng)解耦，可以更加靈活地提高系統(tǒng)性能。一階不穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定方法如下：文獻(xiàn)[4]提出雙倍兩自由度(Two Degree of Freedom，2DOF)的內(nèi)?？刂?Internal Model Control，IMC)結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了系統(tǒng)性能的提高。但是其控制器的數(shù)目眾多，參數(shù)設(shè)計復(fù)雜并且未能給出系統(tǒng)的調(diào)參規(guī)則。文獻(xiàn)[5]將直接綜合法和帕德(Pade)近似法相結(jié)合來分析調(diào)優(yōu)規(guī)則的表達(dá)式，該設(shè)計方法簡單，但是系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量大。文獻(xiàn)[6～7]均提出兩自由度結(jié)構(gòu)的改進(jìn)方案，控制器的設(shè)計方案都是先處理不穩(wěn)定過程，再分別設(shè)計設(shè)定值追蹤控制器和擾動控制器。文獻(xiàn)[8]針對一階不穩(wěn)定系統(tǒng)提出一種兩自由度解析方案。文獻(xiàn)[9]提出一種對PID控制器進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化的改進(jìn)算法。該算法的優(yōu)點是提高了參數(shù)整定精度，但其缺點是計算量大、過程復(fù)雜，且不能普遍應(yīng)用于工業(yè)和化學(xué)工廠中。由以上文獻(xiàn)可以看出，雖然經(jīng)典PID的研究已很成熟，但是系統(tǒng)響應(yīng)超調(diào)量大，不能在提高系統(tǒng)性能的同時提高魯棒穩(wěn)定性。因此，不穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)性能以及魯棒穩(wěn)定性仍然有提高的空間。

本文結(jié)合原方案[6]的兩自由度結(jié)構(gòu)提出一種控制器的改進(jìn)方案。該方案是利用該結(jié)構(gòu)能將設(shè)定值追蹤響應(yīng)和抑制擾動響應(yīng)解耦的結(jié)構(gòu)特點，將控制器分開設(shè)計，其中設(shè)定值追蹤控制器和穩(wěn)定不穩(wěn)定過程的控制器分別選用比例積分(Proportional Integral)和比例(Proportional)的控制器形式，擾動控制器選用帶超前滯后濾波器的PID控制器形式[10-15]。本文算法是保持原方案中設(shè)定值追蹤響應(yīng)的控制器設(shè)計方案不變，基于直接綜合法得到擾動控制器的解析形式，并根據(jù)最大靈敏度函數(shù)來選擇擾動控制器的參數(shù)。該方案不僅保留了原方案中設(shè)定值響應(yīng)迅速的優(yōu)點，又提高了抑制擾動性能和魯棒穩(wěn)定性。最后的仿真結(jié)果則體現(xiàn)出了該方案的優(yōu)勢。

1 兩自由度控制結(jié)構(gòu)

典型一階時滯不穩(wěn)定系統(tǒng)

(1)

本文所涉及到原結(jié)構(gòu)[6]的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。圖中，Gc=Kc為比例控制器，Gc1為設(shè)定值追蹤控制器，Gc2為擾動控制器。

圖1 兩自由度控制結(jié)構(gòu)圖

該結(jié)構(gòu)中的r、y、d、Gmo分別代表控制系統(tǒng)的輸入、控制系統(tǒng)的輸出、在不穩(wěn)定對象輸入端的擾動和為不加時滯的不穩(wěn)定對象。在標(biāo)稱情況下(Gm=Gp)，其閉環(huán)響應(yīng)為

(2)

2 控制器設(shè)計

2.1 設(shè)定值追蹤控制器Gc1設(shè)計

Gc1被考慮為比例積分控制器，其形式如下

Gc1=Kpi(1+(1/Ti1s))

(3)

將式(1)和式(3)帶入式(2)中，可得

(4)

將分母中的e-θs用(1-0.5θs)(1+0.5θs)替換，可得

建立多元供應(yīng)體系，大力推進(jìn)煤炭清潔高效利用，著力發(fā)展非煤能源，形成煤、氣、油、可再生能源多輪驅(qū)動的能源供應(yīng)體系。

y=

(5)

期望方程如下

CE=(λs+1)3

(6)

將期望方程式(6)與式(5)中分母對應(yīng)項相等，可推導(dǎo)出Gc1的控制器參數(shù)

(7)

(8)

(9)

2.2 擾動控制器Gc2設(shè)計

控制系統(tǒng)的輸出端與在對象輸入端的干擾信號(在標(biāo)稱情況下)之間的傳遞函數(shù)為

(10)

擾動控制器的控制器形式為

(11)

將式(1)和式(11)帶入式(10)中，可得

(12)

對分母中延遲部分使用一階Pade近似，將等式(12)改寫成等式(13)，如下

(13)

期望方程如下

CE=s4+d3s3+d2s2+d1s+d0

(14)

從式(13)可以看出，由于時滯部分的Pade近似引入了一個零點，為了防止系統(tǒng)產(chǎn)生超調(diào)，期望方程由一個4/θ的極點及3個-λd的極點構(gòu)造

(15)

由式(15)和式(16)可推出擾動控制器的控制器參數(shù)

α=θ/4

(16a)

(16b)

(16c)

(16d)

(16e)

2.3 λd和λs以及設(shè)定點權(quán)重參數(shù)選擇

2.3.1 可調(diào)參數(shù)λs的選值

λs越小意味著設(shè)定值追蹤性能越快，但是在過程不確定性存在時，響應(yīng)曲線會產(chǎn)生振蕩。相反的，λs越大意味著在過程不確定性存在時，響應(yīng)曲線會相對平穩(wěn)，但是設(shè)定值追蹤性能越慢。根據(jù)原方案[6]可得λs=θ為最合適的值。

λs=θ

(17)

2.3.2 可調(diào)參數(shù)λd的選值

在文獻(xiàn)[10]中提到，在實現(xiàn)所要求的性能時，MS的值往往都比2大。那是因為當(dāng)不穩(wěn)定系統(tǒng)帶有時滯時，不可能實現(xiàn)更低的靈敏度函數(shù)值。由圖2和圖3可知，θ/τ的值越低，挑選λd的值更加自由，反之則相反。根據(jù)相對于每個MS所對應(yīng)的θ/τ值，采用曲線擬合工具生成了以下關(guān)系

(18)

圖2 當(dāng)θ/τ=0.2，λdτ與MS的關(guān)系圖

圖3 當(dāng)θ/τ=1，λdτ與MS的關(guān)系圖

3 魯棒穩(wěn)定性分析

因為控制器參數(shù)是根據(jù)真實動力學(xué)模型的近似模型設(shè)計的，所以閉環(huán)系統(tǒng)不確定性的魯棒穩(wěn)定性分析顯得尤為重要。根據(jù)文獻(xiàn)[3]可知，該閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的充要條件為

‖Δm(jω)Td(jω)‖<1，?ω(-，+)

(19)

其中，Δm為實際被控過程的乘性不確定界；Td是補(bǔ)靈敏度函數(shù)。

Td的表達(dá)式如下

(20)

(21)

將式(1)、式(3)和式(11)以及對時滯部分的Pade近似帶入式(20)，有

(22)

當(dāng)不確定性存在于過程時滯中，λd的取值應(yīng)該滿足的條件為

(23)

‖Td‖

(24)

同理，當(dāng)不確定性存在于過程增益中，λd取值應(yīng)該滿足的條件為

‖Td‖

(25)

同理，當(dāng)不確定性存在于時間常數(shù)，λd的取值應(yīng)該滿足的條件為

‖Td‖

(26)

4 仿真實驗

本文通過對絕對誤差積分(Integral Absolute Error，IAE)、平方誤差積分(Integral Absolute Error，ISE)、全變差(Total Variation，TV)和穩(wěn)定時間ts(Settling time)進(jìn)行數(shù)據(jù)對比來比較系統(tǒng)的閉環(huán)性能。

4.1 實驗1

文獻(xiàn)[6]提出一個增益為4的比例控制器來穩(wěn)定不穩(wěn)定時滯對象G=e-0.5s/(s-1)，Gc1= 0.5+2/s，Gc2=1.788 7(1+(1/4.989 5s))(1+0.25s)/(0.098 4s+1)分別為設(shè)定值追蹤控制器和擾動控制器。Padula and Visioli[11]的控制器Gc1=2.101 1 (1+(1/1.933 4s)) ((1+0.277 2s)/(1+0.0277 2s))和Gc2=2.093 8(1+(1/1.391 1s)) ((1+0.307 5s)(1+0.030 75s))分別負(fù)責(zé)設(shè)定值追蹤和抑制擾動的作用。文獻(xiàn)[12]提出將一個增益為1.268的比例控制器置于內(nèi)環(huán)，一個比例積分微分控制器GPID=0.353 3(1+(1/1.504 6s)+0.516 6s)和時間常數(shù)為0.4設(shè)定值濾波器置于外環(huán)。本文根據(jù)式(17)和式(18)可得調(diào)參值為λs=0.5，λd=1.1。為了得到更好的控制器性能，將λd上調(diào)為1.3。因此，控制器參數(shù)為kc=4，kp1=0.5，Ti1=0.25，Kd=2.007 8，τ1=0.196 2，τd=0.201 1，α=0.125，β=0.089 7。為了增強(qiáng)仿真數(shù)據(jù)的說服力，本文在以下兩種情況下對系統(tǒng)性能進(jìn)行比較：在伺服情況下，當(dāng)t=0時，給系統(tǒng)一個數(shù)值為1的設(shè)定值輸入。當(dāng)t=15時，在對象輸入端加一個擾動值為-1的擾動信號；在攝動情況下，當(dāng)t=0時，給系統(tǒng)一個數(shù)值為1的設(shè)定值輸入。當(dāng)t=35時，在對象輸入端加一個擾動值為-1的擾動信號。圖6為攝動情況下的系統(tǒng)輸出，系統(tǒng)所給的攝動條件為假設(shè)時滯項增加20%，時間常數(shù)減小10%。由于Padula and Visioli[11]在攝動條件下不能穩(wěn)定不穩(wěn)定系統(tǒng)，因此，Padula and Visioli 這條線并不在圖5中。

圖4 標(biāo)稱情況下的階躍響應(yīng)

圖5 攝動情況下的階躍響應(yīng)

表1 設(shè)定值追蹤性能比較

由圖4、表1和表2中標(biāo)稱情況下的性能指標(biāo)對比可知，在標(biāo)稱情況下，Vijayan and Panda[12]與其他方案對比，其設(shè)定值的追蹤性能更加優(yōu)越；Padula and Visioli[11]與其他方案對比，其抑制擾動性能更加優(yōu)越。又由圖5、表1和表2中攝動情況下的性能指標(biāo)對比可知，攝動情況下所提方案IAE、ISE、TV都比其它方案小，表明所提方案的魯棒穩(wěn)定性比其他方案優(yōu)越。又因為Padula and Visioli[11]在攝動情況下不能穩(wěn)定不穩(wěn)定系統(tǒng)，并且文獻(xiàn)[6]中指出在許多控制應(yīng)用中抑制擾動性能比設(shè)定值追蹤性能更加重要。因此，可以認(rèn)為本文所提改進(jìn)方案最佳。

表2 抑制負(fù)載干擾性能比較

4.2 實驗2

一個具有多個穩(wěn)態(tài)解的等溫化學(xué)反應(yīng)器的數(shù)學(xué)模型為[8]

(26)

其中，Q為進(jìn)口流量；Cf為進(jìn)口濃度。操作參數(shù)值如下：Q=0.033 33 L·s-1，V=1 L，k1=10 L·s-1，k2=10 L·mol-1[8]。線性操作變量C=1.316的傳遞函數(shù)為3.433/(103.1s-1)。文獻(xiàn)[6]中的控制器參數(shù)設(shè)置為kc=2.543 7，kp1=0.375 4，Ti1=10，kp2=1.066 5，Ti2=121.066 3，α=10，β=5.155 6。所提控制結(jié)構(gòu)的調(diào)參選值為λs=20，λd=0.037。其控制器參數(shù)設(shè)置為kc=2.543 7，kp1=0.375 4，Ti1=10，kd=1.331 7，τi=0.008 6，τd=7.730 8，α=5，β=3.754 4。在t=0時，設(shè)置設(shè)定值大小為1.316～5，在t=1 000時給不穩(wěn)定對象輸入端加擾動值大小為0.4，攝動條件為假設(shè)時滯項增加20%。標(biāo)稱系統(tǒng)響應(yīng)圖和攝動系統(tǒng)響應(yīng)圖分別為圖6和圖7。從圖6可知，本方案抑制擾動性能效果比文獻(xiàn)[6]中的模型好。由圖7可知，本方案穩(wěn)定時間短、振幅小。因此，所提控制結(jié)構(gòu)魯棒穩(wěn)定性和抗擾動性能更加優(yōu)越。

圖6 標(biāo)稱情況下的階躍響應(yīng)

圖7 攝動條件下的階躍響應(yīng)

5 結(jié)束語

本文采用文獻(xiàn)[6]中所提出的結(jié)構(gòu)，將擾動控制器改為帶超前滯后項的PID形式。從仿真結(jié)果可以看出，該策略能夠提高原結(jié)構(gòu)的抑制擾動性能和魯棒穩(wěn)定性，解決了在工業(yè)和化學(xué)實踐中帶時滯一階不穩(wěn)定系統(tǒng)難以控制的問題。當(dāng)然，本文也有不足和需要改進(jìn)的地方，例如只考慮了帶時滯的一階不穩(wěn)定系統(tǒng)。從目前來看，雖然經(jīng)典PID的研究已漸成熟，但是系統(tǒng)性能和魯棒穩(wěn)定性仍然有提高的空間。