章節(jié)起始課教學(xué)應(yīng)關(guān)注的幾個(gè)維度①
——以“圓錐曲線”起始課為例

楊 勇

(江蘇省鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 212003)

1 問題提出

目前，隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，章節(jié)起始課越來越引起大家的關(guān)注，章節(jié)起始課是新章節(jié)的開篇課，作為一章之首，能給學(xué)生提供一個(gè)要領(lǐng)性、概括性的參考框架，對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)起著引領(lǐng)、指導(dǎo)和組織的作用，具有“先行組織者”的功能和價(jià)值，理應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識(shí)的基本示范，但由于該課型知識(shí)跨度較大，概念產(chǎn)生久遠(yuǎn)，設(shè)計(jì)難度較高，可查資料不夠豐富，教師設(shè)計(jì)起來往往心有余而力不足，不知如何將其作為一節(jié)課來開展課堂教學(xué), “告知式”地一帶而過已屬于不易，“閱讀式”地讓學(xué)生自己看書或是常態(tài)，更有甚者，認(rèn)為高中內(nèi)容多、課時(shí)緊，從應(yīng)試角度來看教和不教幾乎沒有差別,無足輕重,干脆 “跳過”.上述現(xiàn)象,嚴(yán)重影響章節(jié)起始課在高中數(shù)學(xué)課堂的開展，其實(shí),如果站在高中數(shù)學(xué)課程全局的高度,從數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律出發(fā)，針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和生活經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)出一章的起始課，引導(dǎo)學(xué)生既能通過“樹木”看到“森林”，又能依托“森林”俯瞰“樹木”,不僅體現(xiàn)了教師對(duì)教材體系的認(rèn)識(shí)和把握,也是把新一輪課程改革目標(biāo)落實(shí)到課堂教學(xué)實(shí)踐中的具體要求.

筆者圍繞章節(jié)起始課進(jìn)行了研究，形成了自己的一些認(rèn)識(shí)和思考，現(xiàn)以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(蘇教版)選修2-1“圓錐曲線”為例，結(jié)合本人在江蘇省師資處舉辦的“2019年江蘇省高中數(shù)學(xué)骨干教師專題培訓(xùn)活動(dòng)”中上的一節(jié)“圓錐曲線”章節(jié)起始課為例，談?wù)務(wù)鹿?jié)起始課教學(xué)應(yīng)關(guān)注的幾個(gè)維度，敬請(qǐng)同行指正.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 預(yù)備知識(shí)(以預(yù)習(xí)學(xué)案形式，提前發(fā)給學(xué)生)

(1)圖1中，兩條直線平行，它們之間距離處處相等.那么，兩個(gè)平面平行，它們之間的距離相等嗎？為什么？

圖1

(2)圖2中，過圓外一點(diǎn)，引圓的兩條切線，所得切線長相等。那么，過球外一點(diǎn)，引球的兩條切線，所得切線長相等嗎？為什么？

圖2

(3)圖3中，在圓柱內(nèi)放置兩個(gè)與圓柱底面等半徑的小球，它們與圓柱側(cè)面的公共點(diǎn)將形成圓，我們把這兩個(gè)圓記作圓C1和圓C2.請(qǐng)問，圓C1與圓C2所在平面有怎樣的位置關(guān)系？任意作出圓柱的一條母線PQ與圓C1和圓C2分別交于P和Q點(diǎn)，則線段PQ的長度是否保持不變？

圖3

2.2 創(chuàng)設(shè)情境 引入新課

師:我們來探究一個(gè)生活中的問題(圖4).

圖4

(1)藍(lán)球在地面上所形成的影子什么時(shí)候是一個(gè)圓面？

(2)太陽光線與藍(lán)球相切的切點(diǎn)所組成的是什么圖形？

(3)當(dāng)太陽光線傾斜照射時(shí)， 形成的影子輪廓是一個(gè)什么圖形？

生：(1)光垂直于地面照射時(shí);(2)圓;(3)橢圓.

設(shè)計(jì)意圖從真實(shí)生活問題入手, 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣,引發(fā)思考, 讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活.

2.3 實(shí)驗(yàn)演示 合作探究

師:我們將上述圖形進(jìn)行抽象,得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型(圖5),設(shè)籃球與地面切點(diǎn)為F, 設(shè)P是橢圓上任意一點(diǎn),我們知道, 圓周上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑,線段PF的長度也會(huì)像圓那樣是定值嗎?

圖5

生:不是,PF的長度不斷變化.

師: 由于點(diǎn)F為籃球與地面的切點(diǎn), 則地面內(nèi)過點(diǎn)F的任意一條直線和球具有怎樣的位置關(guān)系?

生: 都是球的切線.

師: 借助幾何畫板,大家分組思考一下,隨著點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng),球的切線PF的長度在變化過程中,有什么規(guī)律可循?

生:因?yàn)檫^球外一點(diǎn)引球的切線長相等,得到PF=PQ,P1F=P1Q1,P0F=P0Q0……. (見圖6)

圖6

設(shè)計(jì)意圖留給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，通過追問和質(zhì)疑的形式引導(dǎo)學(xué)生由表及里、由淺入深、逐步推進(jìn)，親身經(jīng)歷數(shù)量關(guān)系的探究過程.

2.4 突破難點(diǎn) 感悟新知

師:為了研究問題方便,我們把圖6垂直豎起來,得到圖7.從辯證的角度看,事物是一分為二的,有上必有下，圖7應(yīng)該有它的“另一半”圖8, 同理可得:PF1=PR(輔助動(dòng)畫演示),大家有什么想法?

生:從圖8中可以看出該橢圓是一個(gè)圓柱被一個(gè)平面斜截得到的截面,我很想把它們合二為一.

眾生:掩口而笑,點(diǎn)頭稱是.

師:若把圖7 、圖8合二為一，可得圖9，你有什么發(fā)現(xiàn)?

圖7

圖8

圖9

生：PF=PQ,PR=PE,PE+PF=PQ+PR=QR=定值(幾何畫板直觀演示).

師:真的很棒，這就是數(shù)學(xué)史上著名的但德林雙球模型“雛形”，你用數(shù)學(xué)家的眼光發(fā)現(xiàn)了隱藏在橢圓中數(shù)量關(guān)系, 即：橢圓上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù).我們把其中兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距.

師: 多么巧妙的構(gòu)造,為你“合二為一”點(diǎn)贊.之所以叫但德林雙球模型“雛形”,是因?yàn)?9世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家但德林的證明是在圓錐背景下進(jìn)行的(圖10)，老師為了大家探究方便將其簡化為圓柱背景.如果改為圓錐背景，你能否用類似的方法得到橢圓的性質(zhì),請(qǐng)大家課后繼續(xù)思考.

圖10

2.5 動(dòng)畫展示 揭示課題

師:下面我們觀看視頻,直觀感知一個(gè)平面截一個(gè)圓錐面所得到的各種曲線.當(dāng)截面與圓錐的軸夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線.它們分別是相交直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線.我們通常將橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線，其證明過程都可以通過但德林雙球模型來完成.

設(shè)計(jì)意圖通過視頻剪輯了解圓錐曲線名稱的來源.

2.6 起源追溯 史料滲透

師:關(guān)于圓錐曲線的史料十分豐富，大致可分為下面6個(gè)階段，分別請(qǐng)6位同學(xué)予以大聲朗讀.

(1)萌芽與起源

相傳最早是古希臘人通過削尖的圓木樁發(fā)現(xiàn) 了一條像圓又不是圓的曲線，把它命名為橢圓.公元前4世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯(公元前375—公元前325，古希臘數(shù)學(xué)家)在解決“倍立方”問題時(shí)，用垂直于錐面母線的平面來截三種正圓錐——銳角、直角、鈍角的圓錐，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線.

(2)理論與奠基

阿波羅尼斯(約公元前262～190年，古希臘數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名)是第一個(gè)依同一個(gè)圓錐的截面來研究圓錐曲線的人，也是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)雙曲線有兩支的人，他按照歐幾里得《幾何原本》公理演繹的方式把圓錐曲線理論系統(tǒng)化，所著《圓錐曲線論》從“平面斜截圓錐”出發(fā)，運(yùn)用純幾何方法，證明了近500個(gè)命題，含有許多獨(dú)到新穎的創(chuàng)見，把圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，成為數(shù)學(xué)史上的一座豐碑 ，他本人也被譽(yù)為古希臘“偉大的幾何學(xué)家”.

離聯(lián)考還有將近三個(gè)禮拜，為了確保我們這種準(zhǔn)考生會(huì)努力不懈，校方希望我們畢業(yè)后還是要來學(xué)校，老師也可以來幫我們復(fù)習(xí)功課。差別的只是可以比之前晚一個(gè)鐘頭到校。而夜間也開放一間閱覽室到晚上九點(diǎn)半，讓準(zhǔn)考生自由利用。

(3)停滯與積累

《圓錐曲線論》問世后將近2000年的時(shí)間， 整個(gè)數(shù)學(xué)界對(duì)圓錐曲線的研究幾乎沒有什么進(jìn)展. 古希臘時(shí)期還沒有代數(shù)的符號(hào)體系和坐標(biāo)，阿波羅尼斯的證明是建立在純粹的論證幾何基礎(chǔ)上的，并用文字表述證明的過程與結(jié)論，這是后人很難讀懂其著作的原因之一.

(4)突破與發(fā)展

直到16世紀(jì)末，開普勒(1571—1630,德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家 )揭示出行星按橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，伽利略(1564—1642,意大利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家)得出斜拋運(yùn)動(dòng)的軌道是拋物線，人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐上的靜態(tài)曲線，也是自然界物體運(yùn)動(dòng)的普遍形式。于是，對(duì)圓錐曲線的處理方法開始有了變化.

(5)開拓與創(chuàng)新

17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾(1596—1650，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，解析幾何創(chuàng)始人)和費(fèi)爾馬(1601—1665，法國數(shù)學(xué)家，解析幾何創(chuàng)始人)的《空間與平面軌跡入門》，(寫于1629年，出版于1679年)使解析幾何走向數(shù)學(xué)舞臺(tái)，人們對(duì)圓錐曲線的研究朝著解析法的方向發(fā)展.即通過建立坐標(biāo)系，得出圓錐曲線的方程，再利用方程研究圓錐曲線的性質(zhì)，擺脫了幾何直觀，獲得對(duì)圓錐曲線研究的高度概括與統(tǒng)一.

(6)完備與總結(jié)

18世紀(jì)，牛頓(1643—1727,英國物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家)、貝努利(1623—1708，瑞士數(shù)學(xué)家)等先后提出不同的坐標(biāo)系，尤其影響深刻的是極坐標(biāo)系，隨著坐標(biāo)系的系統(tǒng)化，關(guān)于圓錐曲線性質(zhì)研究逐漸系統(tǒng)化起來.歐拉(1707—1783，瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家)1745年發(fā)表的《分析引論》，被譽(yù)為解析幾何發(fā)展史上的重要著作，系統(tǒng)地研究了圓錐曲線的各種情形，并證明通過坐標(biāo)變換，一定可以把任何圓錐曲線化為某種標(biāo)準(zhǔn)形式. 歐拉之后，三維解析幾何的研究蓬勃開展，由圓錐曲線導(dǎo)出了圓錐曲面.至此，關(guān)于圓錐曲線的理論被廣泛應(yīng)用，直至今天.

設(shè)計(jì)意圖通過介紹圓錐曲線的歷史，使學(xué)生了解圓錐曲線的最初定義和歷史成果，進(jìn)一步感受幾何圖形抽象于生活的特征，欣賞古希臘數(shù)學(xué)家的信念與智慧.通過對(duì)解析幾何的簡要介紹，使學(xué)生了解解析幾何誕生的歷史必然性、解析幾何的核心思想以及它在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位和作用.

3 教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)注意的幾個(gè)維度

章節(jié)起始課不同于一般章節(jié)內(nèi)的課，它具有幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系、指導(dǎo)學(xué)習(xí)內(nèi)容、探尋研究方法的功能,具有獨(dú)特的教育教學(xué)價(jià)值，下面從教學(xué)目標(biāo)、問題探究、史料滲透、素養(yǎng)培養(yǎng)等幾個(gè)維度談一下教學(xué)中應(yīng)注意的問題。

3.1 目標(biāo)定位的“準(zhǔn)確度”

章節(jié)起始課需要準(zhǔn)確的目標(biāo)定位.章節(jié)起始課的目標(biāo)定位不同于一般的概念課，它既要兼顧知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程又要統(tǒng)攝全章的框架，因此，目標(biāo)定位的“準(zhǔn)確度”尤為重要.如本課中，在圓錐曲線發(fā)展史上，橢圓定義最早是依附于圓柱或圓錐中的(斜截面)，而課本中的定義則是人們?yōu)榱朔奖阌媒馕龇ㄑ芯繄A錐曲線，在歷經(jīng)幾千年解析幾何誕生之后，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，從數(shù)量關(guān)系角度對(duì)橢圓進(jìn)行的再次定義.雖然兩定義從本質(zhì)上講具有等價(jià)性，但從表達(dá)形式上看卻相去甚遠(yuǎn).因此在引導(dǎo)學(xué)生建立橢圓定義時(shí)，如果盲目拋開圖形角度的橢圓定義，急功近利地脫離圖形直接給出數(shù)量關(guān)系形式的橢圓定義，這樣的定義教學(xué)看似易于操作，但學(xué)生會(huì)感到“一臉懵”，因?yàn)椴环蠙E圓定義形成與發(fā)展的歷史自然,更有悖于學(xué)生的認(rèn)知心理.學(xué)生會(huì)產(chǎn)生“老師是怎么想到這樣定義橢圓的？”“為什么這樣定義得到圖形就是橢圓？”、“這樣定義的橢圓和我們生活中的橢圓一樣嗎？”顯然，這些疑惑源于老師在本節(jié)教學(xué)中直接“掐頭去尾燒中斷”，事實(shí)證明，“直接拿繩子畫橢圓,然后大量做題”，這樣對(duì)橢圓定義發(fā)生過程的忽略，會(huì)導(dǎo)致“為什么定點(diǎn)是2個(gè)？而不是3個(gè)？為什么是距離之和而不是之差？為什么是距離？而不是其他的呢？”這些問題一直縈繞腦中.因此,為了解決上述問題,我們提出下面的教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷從具體情境中抽象橢圓的本質(zhì)特征以及橢圓定義的過程，通過類比進(jìn)而形成橢圓、雙曲線、拋物線的概念并能簡單應(yīng)用；通過歷史的回溯，了解圓錐曲線的背景(產(chǎn)生、發(fā)展)、應(yīng)用，感受其產(chǎn)生、發(fā)展的歷程.

3.2 問題探究的“可行度”

章節(jié)起始課需要用問題來引領(lǐng)探究.作為章節(jié)起始課，一般來說具有知識(shí)點(diǎn)較多、知識(shí)產(chǎn)生的跨度比較大的特點(diǎn)，學(xué)生對(duì)該部分的知識(shí)基礎(chǔ)比較薄弱，一時(shí)找不到探究的切入口，探究的熱情自然就不高，習(xí)慣于被動(dòng)地等待老師講解，我們要從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的合理性和學(xué)生思維過程的合理性兩個(gè)方面考慮去設(shè)置問題情境,增加探究的可行性，但不是所有數(shù)學(xué)知識(shí)都要完整、詳盡地呈現(xiàn)其發(fā)生、發(fā)展的過程，因?yàn)槟菢有枰加么罅空n堂時(shí)間，這就要求探究過程遵循“可行度”，誠如波利亞所言：“在教授一個(gè)科學(xué)概念時(shí)，我們應(yīng)讓孩子重蹈人類思想發(fā)展中那些最關(guān)鍵的步子，而不是讓他們重蹈過去的無數(shù)錯(cuò)誤. ”重演不等于重復(fù)，如果將圓錐曲線數(shù)學(xué)史不加選擇地讓學(xué)生去重走探究的老路，不僅不利于學(xué)生掌握知識(shí)，而且還易于造成學(xué)生思維的混亂,這是設(shè)計(jì)章節(jié)起始課問題探究需要注意的，如何站在數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的高度提出既符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)又能形成認(rèn)知沖突的問題顯得尤為重要. 如本課中，橢圓的內(nèi)在數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)高度的形式化，在以圓錐為背景的“但德林球”模型中，學(xué)生感到抽象，很難找到突破口，就需要老師不斷鋪設(shè)臺(tái)階，我首先設(shè)計(jì)了預(yù)備知識(shí)，以預(yù)習(xí)學(xué)案形式提前發(fā)給學(xué)生，做好知識(shí)鋪墊，拉近問題與學(xué)生的心理距離. 課堂上，為了進(jìn)一步激發(fā)求知欲,我們從生活中籃球的影子入手設(shè)置問題串，引導(dǎo)學(xué)生在圓柱背景的“但德林球”中發(fā)現(xiàn)橢圓的性質(zhì),最后再通過思考題的方式去證明在圓錐背景的“但德林球”模型中三種圓錐曲線間的數(shù)量關(guān)系，這種直指核心問題，“真刀真槍”的實(shí)戰(zhàn)模擬探究，既避免了“照本宣科”式的一帶而過，又避免了在細(xì)枝末節(jié)上的拖沓冗長，提高了問題探究的可行性，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，積累了在生活情境中處理復(fù)雜問題的解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，在揭示知識(shí)產(chǎn)生脈絡(luò)和背景的同時(shí)使核心素養(yǎng)的落實(shí)不再是“紙上談兵”.

3.3 史料滲透的“適切度”

章節(jié)起始課的史料滲透要適度.章節(jié)起始課中通常蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)史料，這是由數(shù)學(xué)概念長期的發(fā)展過程所決定的.圓錐曲線中的史料相當(dāng)豐富, 有的內(nèi)容很難,還有目前還富有爭議,發(fā)展過程中也蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化,除了概念、性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程這些顯性數(shù)學(xué)文化之外，還包含著數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、信念品質(zhì)、價(jià)值判斷和審美追求等豐富的隱性數(shù)學(xué)文化.老師要將這些豐富的數(shù)學(xué)史料進(jìn)行深加工, 選取學(xué)生能夠理解的且有一定教學(xué)價(jià)值的部分按歷史順序“去支強(qiáng)干”進(jìn)行重組,以符合學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律的適切的教學(xué)形態(tài)呈現(xiàn)給學(xué)生.本課中筆者通過對(duì)圓錐的起源追溯，理清發(fā)展脈絡(luò)，分六個(gè)階段對(duì)學(xué)生進(jìn)行史料滲透，就是基于上述考慮.

3.4 素養(yǎng)落實(shí)的“深入度”

章節(jié)起始課中的素養(yǎng)培養(yǎng)要深入.章節(jié)起始課要注重還原“數(shù)學(xué)家當(dāng)時(shí)的思考過程”，讓學(xué)生感覺自己“也能當(dāng)數(shù)學(xué)家”，在發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的實(shí)踐中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，用心來感受那些對(duì)全章具有統(tǒng)領(lǐng)和輻射作用的思想方法，通過思想方法的感悟促進(jìn)核心素養(yǎng)的深層次落實(shí).本課中老師引導(dǎo)學(xué)生把籃球進(jìn)行抽象，進(jìn)而得出一般的研究模型，然后層層深入，再通過球切線的研究得出橢圓中隱藏的數(shù)量關(guān)系，最后在但德林雙球模型中得到橢圓的性質(zhì)，這其中涉及到諸多數(shù)學(xué)中研究問題的方法:歸納猜想、類比推理、分析綜合等等，伴隨著這些方法的顯現(xiàn)和落實(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了不同程度的提升.因此，對(duì)于章節(jié)起始課，我們要在突出章節(jié)的核心知識(shí)或核心研究方法的同時(shí)，把深入落實(shí)核心素養(yǎng)作為課堂的追求，通過思想方法的積累促進(jìn)核心素養(yǎng)的不斷深入發(fā)展，讓課堂加速從“知識(shí)傳授”向“素養(yǎng)落實(shí)”的轉(zhuǎn)變.