數(shù)學(xué)解題應(yīng)遵循“多想少算”原則①

卓 斌

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)秦淮科技高中 210007)

1 問題的提出

筆者首先引導(dǎo)他運(yùn)用通解通法來解決該問題．

解法一由于函數(shù)表達(dá)式中有|x|，

再令3x2-1=t(t>-1)，

當(dāng)t=0時(shí)，g(t)=9；

當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)，等號(hào)成立；

當(dāng)且僅當(dāng)t=-2時(shí)，g(t)有最大值為0，顯然不符合題意．

反思解題過程，我們認(rèn)為上述解法固然是解決這一問題的“通解通法”，但是給人以“只顧埋頭拉車，沒有抬頭看路”的感覺．再反復(fù)觀察函數(shù)f(x)解析式的結(jié)構(gòu)特征，筆者發(fā)現(xiàn)：該分式函數(shù)的分母不太好變形，但是分子1+3x2可以變形為2x2+(1+x2)，從而給出如下解法．

解法二因?yàn)閤≠0，所以

當(dāng)且僅當(dāng)2x2=1+x2，即x=±1時(shí)，

通過對(duì)比這道題的兩種解法，深切地感受到數(shù)學(xué)解題一定要多觀察、多聯(lián)想、多思考，才有可能少走彎路，少運(yùn)算，少出錯(cuò)．

2 對(duì)于“多想少算”的理解

拿破侖認(rèn)為：在做一件具體的事情的時(shí)候，最笨的就是勤奮但不聰明的人，在事情都沒有搞清楚前就忙于勤奮的人，只會(huì)是添亂的人．所以說，在做事情前一定要想清楚后再做．鄭毓信教授指出：這顯然又是當(dāng)前應(yīng)當(dāng)努力糾正的一個(gè)現(xiàn)象，學(xué)生一直在做，一直在算，一直在動(dòng)手，但就是不想！這樣的現(xiàn)象無論如何不應(yīng)再繼續(xù)了．他還認(rèn)為：判斷一堂數(shù)學(xué)課成功與否的基本標(biāo)準(zhǔn)，無論教學(xué)中采取了什么樣的教學(xué)方法或模式，應(yīng)該更加關(guān)注自己的教學(xué)是否真正促進(jìn)了學(xué)生更加積極地去進(jìn)行思考，并能逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更全面、更深、更合理．

筆者認(rèn)為，應(yīng)將“思維發(fā)展”看成是數(shù)學(xué)核心價(jià)值與學(xué)科素養(yǎng)的基本涵義．?dāng)?shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)遵循“多想少算”原則，即在認(rèn)真審題，反復(fù)觀察的前提下，首先要開動(dòng)腦筋，廣泛聯(lián)想，大膽猜想，充分想象，然后再動(dòng)手做題，謹(jǐn)慎計(jì)算，簡(jiǎn)練書寫，邊想邊算．只有想的充分，才能算的簡(jiǎn)約；只有發(fā)揮直覺思維的作用，才能盡量減少繁瑣的運(yùn)算．“多想少算”應(yīng)成為解題教學(xué)的一個(gè)響亮的口號(hào)！

3 例談數(shù)學(xué)解題中的“多想少算”

高考數(shù)學(xué)試題一直將“多考點(diǎn)想，少考點(diǎn)算”作為一條基本的命題理念，在近年的高考試題中得到了充分的體現(xiàn)．因此，考生在面對(duì)一道高考試題或者模擬試題時(shí)，一定要堅(jiān)持“多想少算”．筆者認(rèn)為，實(shí)現(xiàn)“多想少算”有三種基本做法：先想后算，邊想邊算，算后再想．

3.1 先想后算

先想后算是指對(duì)于一些常規(guī)數(shù)學(xué)問題，在動(dòng)手做題之前，一定要先想一想，預(yù)測(cè)大致的解題路徑，然后再動(dòng)手實(shí)施解題計(jì)劃．

案例1在△ABC中，已知a2+b2+2c2=8，則S△ABC的最大值是．

先建立平面直角坐標(biāo)系，

下面有多種方法可以求出S△ABC的最大值．

思路三：利用海倫公式.

設(shè)a=y+z，b=x+z，c=x+y，

8=(y+z)2+(x+z)2+2(x+y)2

=3x2+3y2+2z2+4xy+2yz+2xz

=2z(x+y+z)+3(x2+y2)+4xy

≥2z(x+y+z)+10xy

3.2 邊想邊算

邊想邊算是指對(duì)于一些新穎或者困難問題，答題者一時(shí)難以設(shè)計(jì)出完整的解題路徑，只能采取“摸著石頭過河”的方式，一邊想一邊做，一邊做又一邊想，不斷地調(diào)整、修改、優(yōu)化解題路徑，采取“步步為營”策略．

案例2已知{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a3=2，S12=4S6，則a9的值為．

思路分析：本題屬于數(shù)列中的條件求值問題，兩個(gè)條件“a3=2，S12=4S6”，利用“基本量法”，理論上肯定能夠解答．但是等比數(shù)列中的計(jì)算問題需要分類討論，更需要“邊走邊看”“邊算邊想”，否則容易鑄成大錯(cuò)．

解： 當(dāng)q=1時(shí)，因?yàn)镾12=12a1,4S6=24a1，又因?yàn)镾12=4S6，所以a1=0，舍去．

由(2)知，若q6≠1，則q6=3，

所以a9=a3q6=6．

若q6=1，則q=-1，所以a9=a3q6=2．

綜上可知，a9的值為6或者2．

從閱卷反饋信息來看，本題難度系數(shù)約為0.06，得分極不理想，原因就在于學(xué)生想當(dāng)然地認(rèn)為：當(dāng)q≠1時(shí)，q6≠1一定成立，所以a9=a3q6=6．丟掉了一個(gè)解，當(dāng)q=-1時(shí)，a9=a3q6=2．這個(gè)案例告誡我們“邊算邊想”的必要性與合理性．

3.3 算后再想

算后再想是指對(duì)于一些解題思路多樣化的數(shù)學(xué)問題，利用一種方法做出來之后，結(jié)合對(duì)問題更深層次的認(rèn)知，還可以優(yōu)化解題路徑，給出更加完美的、富有智慧的解題方法，實(shí)現(xiàn)波利亞先生所倡導(dǎo)的“能不能一下子看出它來?”“能不能把這結(jié)果或方法用于其他問題? ”的境界．

案例3在銳角三角形ABC中，9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值為．

思路分析：本題條件非常弱化，只要求“銳角三角形”即可．觀察目標(biāo)函數(shù)不難發(fā)現(xiàn)：每一項(xiàng)都是兩個(gè)正切值的乘積，其中角A與B關(guān)系對(duì)稱．首先會(huì)想到利用“消元法”，消去tanC．

解法一：

所以9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA

不妨設(shè)tanA=a,tanB=b，

則9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA

這種方法從3元變?yōu)?元，再從2元變?yōu)?元，兩次利用基本不等式求出最值，通過驗(yàn)證可知，等號(hào)可以取到．反思上述解題過程，筆者認(rèn)為由于A與B是對(duì)稱關(guān)系，因此最值肯定在A=B時(shí)取到，因此可以優(yōu)化解題路徑，給出如下解法．

解法二：根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)取到最值，此時(shí)C=π-2A，令tanA=a，

則9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA

余下同解法一．

另外，反思本題的條件，一是在銳角三角形ABC中，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC恒成立；二是在目標(biāo)函數(shù)9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA中，每一個(gè)式子都缺少第三項(xiàng)，因此可以對(duì)應(yīng)相乘，實(shí)施“補(bǔ)美技巧”，從而一下子抓住了該問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)．

回顧本題解題方法的探索過程，筆者深有感慨，真可謂：涉淺水者見蝦，其頗深者察魚鱉，其尤甚者觀蛟龍．

4 遵循“多想少算”的幾條建議

4.1 樹立以人為本理念，倡導(dǎo)智慧教育

在2017年版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，“課程的基本理念”濃縮為4條，分別從“學(xué)生發(fā)展為本”、“優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)”“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)”“重視過程評(píng)價(jià)”四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)展開，這四個(gè)點(diǎn)恰好可以看成是一個(gè)三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)，以“優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)”“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)”“重視過程評(píng)價(jià)”為底面上的三個(gè)頂點(diǎn)，共同“扛起”了“學(xué)生發(fā)展為本”這個(gè)頂點(diǎn)．由此可見，新課標(biāo)旗幟鮮明地倡導(dǎo)“以人為本”教育理念，重視學(xué)生數(shù)學(xué)核心價(jià)值與學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)，亟待推進(jìn)智慧教育．筆者認(rèn)為，智慧教育的本質(zhì)就是要重視過程，即審題的過程，謀劃解題思路的過程，實(shí)施解題計(jì)劃的過程，反思解題環(huán)節(jié)的過程．智慧教育就是要讓學(xué)生積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，會(huì)想問題，會(huì)做事情．因此數(shù)學(xué)解題教學(xué)中一定要把想的過程教給學(xué)生，讓學(xué)生知道如何想解題思路？如何優(yōu)化解題思路？如何反思解題思路？

4.2 提升解題教學(xué)境界，倡導(dǎo)深度教育．

章建躍先生曾批評(píng)當(dāng)下解題教學(xué)的現(xiàn)狀：搞“題型+技巧”，機(jī)械模仿多，獨(dú)立思考少，數(shù)學(xué)思維層次不高．他提出數(shù)學(xué)解題教學(xué)的三重境界：知其然；知其所以然；何由以知其所以然．筆者認(rèn)為，第一重境界是指教師最不該做的事情就是給學(xué)生一個(gè)絕妙的解法，形象地說“從帽子里變出一只兔子來”，而不知為什么，讓學(xué)生感到自己無能，不是學(xué)數(shù)學(xué)的材料，打擊其信心．第二重境界是指有些教師講題不但講怎么做，還能夠講清楚為什么要這樣做，讓學(xué)生感受到解題思路的合理性．但是你是怎么想到的呢？教師沒有給出詮釋．教師能夠達(dá)到第二重境界已經(jīng)很好了，但是還有提升空間．第三重境界是指有些老師講題不但講怎么做，還能夠講清楚為什么要這樣做，并且深刻剖析解題思路的形成過程，介紹自己是怎么想的．第三重境界實(shí)際上是“授人以魚，更授人以漁”．筆者認(rèn)為，這重境界就是解題的深度教育，能夠幫助學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，砥礪思維能力，提升思維品質(zhì)，為“多想少算”打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

4.3 做實(shí)數(shù)學(xué)解題過程，倡導(dǎo)精致教育．

精致教育是指精巧細(xì)致、精耕細(xì)作的教育．它是針對(duì)目前數(shù)學(xué)教育中“貪多求快”“粗放型”的現(xiàn)象提出來的，注重解題細(xì)節(jié)，追求盡善盡美，崇尚“小即是美”．筆者認(rèn)為，解答數(shù)學(xué)問題就是要讓學(xué)生扎扎實(shí)實(shí)地做題目，要精力集中、書寫規(guī)范、思路清晰，邏輯性強(qiáng)，講究速度與精度，會(huì)做的題目能夠拿到滿分，練好做題“童子功”．教師要給予學(xué)生充足的做數(shù)學(xué)的時(shí)間與空間，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生親歷親為，體驗(yàn)解題過程中的“酸甜苦辣”，積累成功的經(jīng)驗(yàn)，也汲取失敗的教訓(xùn)．解題精致教育大致包括三個(gè)環(huán)節(jié)：一是認(rèn)真審讀題目，廣泛聯(lián)想，初步擬定可能的幾套解題方案；二是認(rèn)真落實(shí)解題方案，邊做邊想，不斷地優(yōu)化調(diào)整解題思路，把題目做到底；三是解題后的反思與回顧，做后再想，不斷縮減計(jì)算步驟，達(dá)到“想明白，說清楚，寫簡(jiǎn)約”．