從整體上探索發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題之途①
——以高中復(fù)習(xí)課“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”為例

伍春蘭 史紅靜

(1.北京教育學(xué)院 100120； 2.北京市通州區(qū)潞河中學(xué) 101149)

從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力(簡(jiǎn)稱“四能”)，[1]已寫入普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版的課程目標(biāo)中. 不爭(zhēng)的事實(shí)是，中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，分析和解決問(wèn)題的教學(xué)活動(dòng)易尋，而學(xué)生在教師引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的活動(dòng)難覓.

我們認(rèn)為，把研究或處理的對(duì)象當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng)，研究系統(tǒng)、要素及環(huán)境三者的相互關(guān)系和變動(dòng)的規(guī)律性，強(qiáng)調(diào)整體、聯(lián)系、動(dòng)態(tài)和最佳等觀點(diǎn).[2]不僅有利于分析和解決問(wèn)題，更有助于發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題. 下面以高中復(fù)習(xí)課“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”為例，呈現(xiàn)我們的教學(xué)思考、實(shí)踐與反思.

1 現(xiàn)象描述

不等式及方程唯一解的證明，課堂上通常教師直接呈現(xiàn)命題，先粗略分析證明思路，就利用導(dǎo)數(shù)證明，最后是簡(jiǎn)單回顧. 其中，證明步驟可概括為四步：(1)構(gòu)造新函數(shù)；(2)求導(dǎo)數(shù)找駐點(diǎn)；(3)(列表)分析；(4)結(jié)論. 例如，不等式ex≥x+1的證明、方程ex=x+1唯一解的證明，就是先構(gòu)造新函數(shù)f(x)=ex-x-1，然后按上述步驟完成. 如果不易求出駐點(diǎn)，比如不等式ex>lnx+2的證明，教師會(huì)重點(diǎn)講述如何利用“設(shè)而不求”的思想以解決問(wèn)題. 即教學(xué)重點(diǎn)在于形成解決問(wèn)題的套路，而命題是如何發(fā)現(xiàn)和提出的，命題之間有什么關(guān)系，數(shù)與形怎樣結(jié)合，教學(xué)中鮮有問(wèn)津.

2 學(xué)生調(diào)研

2.1 問(wèn)卷設(shè)計(jì)

我們?cè)O(shè)計(jì)了四種前測(cè)試卷. 試卷1、3從指數(shù)函數(shù)f(x)=ex出發(fā)，考察與y=x+1、g(x)=lnx有關(guān)的可能結(jié)論. 試卷2、4從對(duì)數(shù)函數(shù)g(x)=lnx出發(fā)，考察與y=x-1、f(x)=ex有關(guān)的可能的結(jié)論.

每張?jiān)嚲砉灿袃纱髥?wèn)題，問(wèn)題(2)四張?jiān)嚲矶家粯樱赫?qǐng)寫出與f(x)=ex和g(x)=lnx有關(guān)的所有可能的結(jié)論. 試卷1、2的問(wèn)題(1)提供了函數(shù)圖象，試卷3、4的問(wèn)題(1)給出了提問(wèn)示例，見表1.

表1 四份前測(cè)試卷問(wèn)題(1)

2.2 統(tǒng)計(jì)分析

參與前測(cè)的學(xué)生來(lái)自北京市某示范高中校普通班，共80人. 將學(xué)生分成水平相當(dāng)?shù)乃膫€(gè)組，每組完成表1中的一種測(cè)試. 各試卷中問(wèn)題(1)、(2)分別統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果見表2、表3.

表2 各試卷問(wèn)題(1)的反饋結(jié)果(%)的統(tǒng)計(jì)表

表3 各試卷問(wèn)題(2)的反饋結(jié)果(%)的統(tǒng)計(jì)表

由表2和表3，我們獲得了如下幾條結(jié)論：

(1)準(zhǔn)確的圖形語(yǔ)言更容易讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

(2)無(wú)論從指數(shù)函數(shù)還是對(duì)數(shù)函數(shù)出發(fā)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出新問(wèn)題的結(jié)果相差不大(排除一位數(shù)學(xué)思維特別好的學(xué)生的影響因素).

(3)五成多(試卷有圖)學(xué)生或不足一半(試卷無(wú)圖)學(xué)生能提出恒成立問(wèn)題(ex≥x+1)，沒(méi)有學(xué)生提出存在性問(wèn)題(方程ex=x+1僅有唯一解x=0).

(4)能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述數(shù)學(xué)問(wèn)題的學(xué)生明顯少于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的學(xué)生比例.

(5)部分學(xué)生畫圖不準(zhǔn)，影響了發(fā)現(xiàn)提出問(wèn)題的質(zhì)量. 還有部分學(xué)生即使圖象畫的準(zhǔn)確或試卷給出，依然對(duì)圖象中的數(shù)學(xué)關(guān)系視而不見.

(6)僅有幾位學(xué)生提出不等關(guān)系ex≥lnx+2，雖然沒(méi)有考慮到等號(hào)不成立情形.

結(jié)論(1)到(5)表明，不少學(xué)生由函數(shù)(圖象)發(fā)現(xiàn)不等式問(wèn)題，特別是方程問(wèn)題的意識(shí)缺失，數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)欠佳，也反映出我們教學(xué)的問(wèn)題：僅重視不等式、方程唯一解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題的求解證明，而由函數(shù)(圖象)發(fā)現(xiàn)不等式、方程問(wèn)題的逆向思考不足，數(shù)與形的系統(tǒng)思考及數(shù)學(xué)表達(dá)訓(xùn)練不夠，特別是由形到數(shù). 結(jié)論(6)、(7)顯示部分學(xué)優(yōu)生有較高的數(shù)學(xué)思考水平，以解題為目的教學(xué)將會(huì)壓抑他們的發(fā)展. 如何將學(xué)生思維水平的差異轉(zhuǎn)化為教學(xué)資源，如何使不同的學(xué)生數(shù)學(xué)思維得到相應(yīng)的發(fā)展，都是值得關(guān)注的.

3 師生互動(dòng)

基于學(xué)生的調(diào)研，課堂教學(xué)確定了兩條主線：分別以指數(shù)函數(shù)f(x)=ex、對(duì)數(shù)函數(shù)g(x)=lnx為核心. 前者采用師生互動(dòng)方式教學(xué)，后者選擇學(xué)生合作交流方式教學(xué). 下面僅呈現(xiàn)指數(shù)函數(shù)引發(fā)的教學(xué)活動(dòng)片斷.

3.1 對(duì)話不等式ex≥x+1的發(fā)現(xiàn)

教師先請(qǐng)?zhí)岢龃藛?wèn)題的學(xué)生Z說(shuō)說(shuō)怎么猜的？“看圖象得到的”學(xué)生Z回復(fù)到，教師反問(wèn)“我怎么看圖沒(méi)發(fā)現(xiàn)，你怎么一看就出來(lái)了”？“一開始我也沒(méi)看出”學(xué)生Z說(shuō)，“可后來(lái)我多看了幾眼圖象，發(fā)現(xiàn)除了點(diǎn)(0,1)，函數(shù)f(x)=ex的圖象全在直線y=x+1的上方，突然ex≥x+1就冒出來(lái)了，這讓我很興奮”. “為什么興奮”教師追問(wèn)，“因?yàn)槲矣脭?shù)學(xué)語(yǔ)言描述了一個(gè)差點(diǎn)被我遺落的事實(shí)”學(xué)生得意地回答.

學(xué)生應(yīng)該100%看到了這一現(xiàn)象(試卷1提供了函數(shù)圖象，或試卷3學(xué)生自己畫圖準(zhǔn)確的)，但并不是所有學(xué)生能想到或能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，說(shuō)明有意識(shí)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，特別是用符號(hào)語(yǔ)言思考并表達(dá)所見事實(shí)的數(shù)學(xué)眼光還需修煉.

3.2 剖析方程ex=x+1僅有唯一解的發(fā)現(xiàn)

在由函數(shù)“看出”方程的活動(dòng)中，錘煉了學(xué)生數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)，也從整體上加深其對(duì)函數(shù)與方程關(guān)系的認(rèn)識(shí).

3.3 問(wèn)道不等式ex >ln x+2的發(fā)現(xiàn)

不等式ex>lnx+2的發(fā)現(xiàn)是空白，只有幾位學(xué)生提出：ex≥lnx+2，于是教師請(qǐng)其中一位學(xué)生A解釋.“因?yàn)閳D中四條曲線(f(x)=ex、y=x+1、g(x)=lnx、y=x-1)只有這兩條曲線(f(x)=ex、g(x)=lnx)之間的距離不明確，我很好奇，于是就用軟件畫出h(x)=ex- lnx的圖象”學(xué)生A答道.“畫圖后，我發(fā)現(xiàn)h(x)的最小值大約是2.33. ”“這個(gè)做法很有啟發(fā)：當(dāng)遇到不明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以先借助軟件畫圖，再去思考圖形背后的數(shù)學(xué)原理. ”教師評(píng)價(jià)并繼續(xù)追問(wèn)：“接下來(lái)，你又做了哪些思考？”“我將前面兩個(gè)不等關(guān)系ex≥x+1和lnx≤x-1變形為ex-1≥x和lnx+1≤x，再利用不等式的傳遞性可得ex≥lnx+2.”學(xué)生A欣喜地回答. “我們又一次試圖用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述我們所看到的事實(shí)，這一次成功了嗎？”教師向全班同學(xué)發(fā)問(wèn). 廣泛的認(rèn)同聲中，學(xué)生B突然質(zhì)疑道：“不等關(guān)系ex≥lnx+2，不就是h(x)=ex-lnx的最小值是2嗎？這與畫圖結(jié)果矛盾！”學(xué)生A無(wú)法給出解釋. 全體學(xué)生先是沉默，繼而展開激烈討論，聲音此起彼伏. 同學(xué)C突然搶答道：“兩個(gè)不等式等號(hào)成立條件不一樣”沸騰的課堂瞬間安靜了下來(lái). 很快，C的想法在課堂上引起了共鳴. “這個(gè)不等關(guān)系如何提出更合理？”教師追問(wèn)道，“去掉等號(hào)”學(xué)生們齊聲回答“ex>lnx+2”.

學(xué)生初次提出問(wèn)題遭受質(zhì)疑，思維被數(shù)與形的矛盾結(jié)論羈絆，不得不再次思考數(shù)與形的精準(zhǔn)性，突破瓶頸后獲得了更有價(jià)值的問(wèn)題，期間經(jīng)歷的磨練帶來(lái)了更強(qiáng)烈的成功喜悅.

3.4 添加參數(shù)將問(wèn)題拓展

學(xué)生知道引入?yún)?shù)可以提出動(dòng)態(tài)問(wèn)題，但初始提問(wèn)的質(zhì)量不高. 比如，在指數(shù)函數(shù)與線性函數(shù)關(guān)系的動(dòng)態(tài)問(wèn)題構(gòu)建中(表4)，學(xué)生僅從函數(shù)圖象的位置關(guān)系角度提出了初始問(wèn)題. 于是教師由不等式恒成立的角度提出求參數(shù)范圍的示范問(wèn)題，學(xué)生則從命題與逆否命題的角度模仿提出了新問(wèn)題.

表4 指數(shù)函數(shù)與線性函數(shù)關(guān)系的動(dòng)態(tài)問(wèn)題構(gòu)建

數(shù)學(xué)中的含參問(wèn)題是學(xué)生普遍認(rèn)為的難點(diǎn)，其關(guān)鍵在于學(xué)生讀不懂題，不知道為什么有這樣的問(wèn)題. 通過(guò)動(dòng)態(tài)問(wèn)題的探究活動(dòng)，學(xué)生運(yùn)用“函數(shù)→圖象→動(dòng)態(tài)圖→參數(shù)不等式、參數(shù)方程”的流程發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，運(yùn)用“參數(shù)不等式、參數(shù)方程→函數(shù)、圖象”的流程證明問(wèn)題. 理解了“含參問(wèn)題”是如何演變得來(lái)的，學(xué)生自然也就不再困惑和束手無(wú)策了.

動(dòng)態(tài)問(wèn)題的提出是“由靜到動(dòng)”的創(chuàng)造性數(shù)學(xué)生成，它的求解和證明是“化動(dòng)為靜”的思維回歸. 通過(guò)動(dòng)態(tài)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出與證明，學(xué)生從系統(tǒng)的角度，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的“動(dòng)、靜關(guān)系”“數(shù)形結(jié)合”思想的理解更加深刻.

4 若干思考

4.1 系統(tǒng)的整體觀為發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題提供了保障

函數(shù)、方程、不等式及曲線密切相關(guān)，以系統(tǒng)的觀點(diǎn)，特別是從其核心的整體觀(整體—部分—整體)的反復(fù)雕琢，不僅理解了問(wèn)題的來(lái)龍去脈，而且也從相異視角的考究中得到更多地發(fā)現(xiàn), 達(dá)到開拓思路的目的，也為分析解決問(wèn)題埋下伏筆.

4.2 系統(tǒng)的聯(lián)系觀為發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題搭建了平臺(tái)

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式及方程唯一解的問(wèn)題，一般是作為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用“各自為政”. 教師突破以往給出的封閉題目，從指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與線性函數(shù)的關(guān)系切入，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生親歷“觀察—抽象—探索—猜想—論證—反思”的完整過(guò)程的活動(dòng)，特別是真正地把發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的環(huán)節(jié)還給了學(xué)生. 學(xué)生經(jīng)歷了“畫圖不準(zhǔn)確”的失敗教訓(xùn)，“視而不見”的迷茫，不等式中“≥”的等號(hào)不成立的磨礪，沉淀下來(lái)都是寶貴的經(jīng)驗(yàn). 讓那些出現(xiàn)問(wèn)題的學(xué)生在錯(cuò)誤痛點(diǎn)上發(fā)表看法，能夠有效刺激學(xué)生的再思考，激發(fā)創(chuàng)造力.

4.3 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)觀為發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題拓寬了視野

動(dòng)態(tài)問(wèn)題的演化，給學(xué)生提供了更多地嘗試發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題的機(jī)會(huì). 聯(lián)系“含參問(wèn)題”“量詞”“命題的否定”等知識(shí)，將已有的問(wèn)題(靜態(tài))轉(zhuǎn)化為求參數(shù)范圍或取值(動(dòng)態(tài))的問(wèn)題.

類似地，如果從連續(xù)函數(shù)離散化的角度，聯(lián)系數(shù)列遞推關(guān)系，我們還可以繼續(xù)討論，提出如下系列類似的問(wèn)題：(1)若正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=ean+an，則an≥2n-1； (2)若正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=lnan+an+2，則an≤2n-1. 上述兩個(gè)問(wèn)題是怎樣發(fā)現(xiàn)和提出的，可留作學(xué)優(yōu)生課后思考. 并仿照它們的形式，提出更多有價(jià)值的問(wèn)題，并給出相應(yīng)的證明.