“數(shù)學(xué)通性通法”的研究綜述及其現(xiàn)實(shí)意義①

金鐘植

(廣州市白云中學(xué) 510108)

1 引言

自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(文中簡(jiǎn)稱為“新課程標(biāo)準(zhǔn)”)頒布以來(lái)，歷經(jīng)各種培訓(xùn)和自我學(xué)習(xí)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中的“立德樹人”、“三會(huì)”、“四基”、“四能”和“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”方面都有一定的認(rèn)識(shí)和理解，但大部分老師僅限于理解新課程標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)中的頂層設(shè)計(jì)，并不清楚在日常教學(xué)實(shí)踐中的抓手是什么.新課程標(biāo)準(zhǔn)中的課程目標(biāo)可以概括為：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)四基與四能三會(huì)立德樹人.很多專家認(rèn)同的觀點(diǎn)是：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的抓手！但這種說(shuō)法還是過(guò)于抽象，在課堂中如何落實(shí)方面還需要更加具體的表述.雖然很多專家在新課程、新教材培訓(xùn)中也給出了一些案例，但在教學(xué)中的一些處理上還需更加具體化.因?yàn)樾抡n程標(biāo)準(zhǔn)在教學(xué)實(shí)踐中落實(shí)的途徑是以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為主線，所以筆者認(rèn)為落實(shí)到位的關(guān)鍵還是要把“抓手”更加具體化，具體化的途徑就是注重提高數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué)，再具體說(shuō)就是注重“數(shù)學(xué)通性通法”的教學(xué).

筆者從大學(xué)時(shí)期開始到現(xiàn)在歷經(jīng)三十多年，一直關(guān)注數(shù)學(xué)教育界對(duì)“數(shù)學(xué)通性通法”認(rèn)知和認(rèn)同的過(guò)程，也一直注重其教學(xué)和研究.但從各個(gè)角度去觀察和研究中發(fā)現(xiàn)，目前高中數(shù)學(xué)教育界對(duì)“數(shù)學(xué)通性通法”認(rèn)知水平還遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到落實(shí)新課程理念的標(biāo)準(zhǔn).筆者的觀點(diǎn)也許是片面的，但如果在歷經(jīng)三十多年的教學(xué)中有意識(shí)地直接或間接地觀察全國(guó)各地對(duì)有關(guān)問(wèn)題的研究成果、專家們講座中的觀點(diǎn)、聽一千多節(jié)數(shù)學(xué)課堂中的感悟及課后對(duì)學(xué)生的調(diào)研，綜合起來(lái)思考，還是具有普遍性的.近期筆者在很多場(chǎng)合或撰文中提到過(guò)部分?jǐn)?shù)學(xué)教師對(duì)“數(shù)學(xué)通性通法”的錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，即認(rèn)為注重“數(shù)學(xué)通性通法”是一種陳舊的教學(xué)觀點(diǎn).這種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)來(lái)自他們對(duì)課程核心目標(biāo)的理解上存在缺陷.我們應(yīng)該清楚，新課程標(biāo)準(zhǔn)是從上世紀(jì)八十年代《全日制普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》到九十年代對(duì)大綱的重新修訂再到本世紀(jì)初的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》的繼承和發(fā)展的結(jié)果.在歷經(jīng)四十年的繼承和發(fā)展過(guò)程中，高中數(shù)學(xué)課程的核心目標(biāo)一直沒(méi)有改變！因?yàn)樵谶@種轉(zhuǎn)變過(guò)程中，始終把“培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”為課程的核心目標(biāo).筆者在前三十年的一線教學(xué)中，一直堅(jiān)持研究一項(xiàng)校本教研課題“培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力之通性通法研究”.下面筆者從這項(xiàng)研究過(guò)程中的經(jīng)歷和思考，對(duì)“數(shù)學(xué)通性通法”的研究進(jìn)行綜述，在此基礎(chǔ)上再談?wù)勛⒅亍皵?shù)學(xué)通性通法”的現(xiàn)實(shí)意義.

2 數(shù)學(xué)教育界對(duì)“數(shù)學(xué)通性通法”的研究綜述

改革開放以后，從上世紀(jì)八十年代到目前為止，歷經(jīng)四十年的時(shí)間，國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育界對(duì)“數(shù)學(xué)通性通法”的研究經(jīng)歷了四個(gè)階段：八十年代初步形成“認(rèn)識(shí)期”，九十年代進(jìn)入“爭(zhēng)論和認(rèn)同期”，零零年代進(jìn)入“微觀、中觀層面的研究期”及一零年代進(jìn)入“比較全面的研究期”.下面針對(duì)這四個(gè)時(shí)期的研究情況及四十年中發(fā)文數(shù)量分析，簡(jiǎn)略地進(jìn)行研究綜述.

2.1 八十年代初步形成“認(rèn)識(shí)期”

八十年代數(shù)學(xué)教育界開始意識(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)中注重“數(shù)學(xué)通性通法”的重要性，追其根源是基于兩點(diǎn)：首先是隨著國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育理論的逐步完善，在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力方面的理論成果不斷豐富，在此領(lǐng)域內(nèi)的研究中自然會(huì)提及“數(shù)學(xué)通性通法”.典型的實(shí)例就是當(dāng)時(shí)北京師范大學(xué)的曹才翰先生所指導(dǎo)的任子朝的碩士論文題目為“論數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)”，而且當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)教育的專家學(xué)者們都提倡“注重通性通法，淡化特技”；其次是部分一線教師在教學(xué)實(shí)踐中思考如何教學(xué)才能更加有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.其中典型的實(shí)例就是如下的截圖：

從中國(guó)知網(wǎng)中輸入“主題”為“通法”后搜索出來(lái)的八十年代七篇論文中四篇來(lái)自一線教師，兩篇來(lái)自教研員，一篇來(lái)自大學(xué)教師.

當(dāng)時(shí)因?yàn)閿?shù)學(xué)教育研究方面的歷史局限性，在有關(guān)的研究成果中更多的是以具體的解題例子來(lái)說(shuō)明某類問(wèn)題的解題通法為主，即微觀層面的局部研究為主.但即便是成果和認(rèn)識(shí)方面還僅僅是起步階段，有這種意識(shí)已經(jīng)對(duì)后期的發(fā)展起到了奠基性的作用.

2.2 九十年代進(jìn)入“爭(zhēng)論和認(rèn)同期”

九十年代，兩種中學(xué)數(shù)學(xué)教育類核心期刊《數(shù)學(xué)通報(bào)》和《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》刊登了4篇“通法”文章.1992年江西南昌的曾家鵬先生的文章“提倡運(yùn)用通法，建議淡化特技”(《數(shù)學(xué)通報(bào)》第八期)，當(dāng)時(shí)引起了中學(xué)數(shù)學(xué)教育界廣泛的認(rèn)同，但也引起了不少的爭(zhēng)論.爭(zhēng)論點(diǎn)主要在于“通法”的界定問(wèn)題，而且這篇文章主要圍繞著個(gè)別例題的解法角度談自身的觀點(diǎn)而已，并沒(méi)有對(duì)“通法”屬性的研究成果.針對(duì)曾先生的觀點(diǎn)中存在的一些問(wèn)題，1995年北京師范大學(xué)的王敬庚教授在《數(shù)學(xué)通報(bào)》第五期上發(fā)表了一篇題為“關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)通法的思考”的文章，文中第一次提到了通法的“相對(duì)性”.這種提法對(duì)當(dāng)時(shí)這個(gè)領(lǐng)域的研究起到了非常重要的作用，但問(wèn)題是僅僅談了通法的局部屬性.1997年湖北武漢的甘大旺先生在《數(shù)學(xué)通報(bào)》第二期上發(fā)表一篇題為“通法與特技的相對(duì)性及啟示”的文章，文中更加系統(tǒng)地歸納和總結(jié)了通法與特技的相對(duì)性以及給我們的啟示，但美中不足的是對(duì)“通法的相對(duì)性”方面還是存在著缺陷.這三篇文章對(duì)筆者研究“數(shù)學(xué)通性通法”給予了很大的幫助，但同時(shí)使筆者認(rèn)識(shí)到，對(duì)這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的研究來(lái)說(shuō)，研究“通法的屬性”非常重要.經(jīng)過(guò)不斷學(xué)習(xí)和研究，筆者在1998年《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》第十一期上發(fā)表一篇題為“通法特點(diǎn)的研究及啟示”的文章.文中歸納出通法的六個(gè)特點(diǎn)：概括性、隱蔽性、發(fā)展性、相對(duì)性、多樣性和層次性.其中的“相對(duì)性”中，除了“通法與特技的相對(duì)性”外，還提到了“通法的相對(duì)局限性”，即“由題目結(jié)構(gòu)的相對(duì)局限性導(dǎo)致通法的相對(duì)局限性、主體數(shù)學(xué)能力的相對(duì)局限性導(dǎo)致通法的相對(duì)局限性和知識(shí)的相對(duì)局限性導(dǎo)致了通法的相對(duì)局限性”.

這個(gè)時(shí)期，中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域已經(jīng)初步形成“中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)”學(xué)科，專家教授們基本認(rèn)同“數(shù)學(xué)通性通法”的重要性，并在一些文章和專著中發(fā)表有關(guān)論點(diǎn).針對(duì)《高考考試說(shuō)明》，任子朝提到：高考堅(jiān)持考查基本數(shù)學(xué)方法，題目不追求特殊技巧，而是考查學(xué)生必須掌握的通性通法(1)任子朝. 貫徹《考試說(shuō)明》要求,努力做到“兩個(gè)有利”——談1991年高考數(shù)學(xué)試題[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1992(2)：21—24,29.曹才翰、章建躍合著的《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》中，對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的四個(gè)層次中，把“通法”放在第二個(gè)層次上(2)曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社，2006:187-188.

2.3 零零年代進(jìn)入“微觀、中觀層面的研究期”

因?yàn)橛辛饲岸甑难芯考皩?shí)踐基礎(chǔ)，進(jìn)入新世紀(jì)的前十年，廣大的一線教師在微觀和中觀層面上開始進(jìn)行實(shí)踐和研究，其研究成果是值得肯定的，因?yàn)樵诮虒W(xué)實(shí)踐中，太多的通性通法問(wèn)題還是屬于碎片化的狀態(tài)，需要不斷完善、歸納和總結(jié).微觀層面的研究指的是在某類具體問(wèn)題的解法中的通性通法，比如：數(shù)列求和法(公式法、分組求合法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)法等).中觀層面涵蓋兩個(gè)方面：第一個(gè)方面是從思維層次的角度，比如：代入法、消元法、換元法、配方法、三角法、割補(bǔ)法、坐標(biāo)法、數(shù)學(xué)歸納法、待定系數(shù)法、反證法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法等.第二個(gè)方面是從知識(shí)塊的角度，比如：數(shù)列求和的通法從中觀角度看，本質(zhì)就是“消項(xiàng)”.

零零年代是我們國(guó)家開始進(jìn)行新課改的十年，隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的課程改革，學(xué)科教育研究方面也進(jìn)入了新的時(shí)代，已經(jīng)形成了“中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)”學(xué)科.雖然“數(shù)學(xué)通性通法”的頂層設(shè)計(jì)進(jìn)一步完善，但在教學(xué)一線有一種現(xiàn)象是值得反思的，即過(guò)分強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)思想和方法”的教學(xué)，導(dǎo)致有些教師誤以為“數(shù)學(xué)思想和方法”統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)的一切，豈不知沒(méi)有“數(shù)學(xué)通性通法”的基礎(chǔ)，哪來(lái)的“數(shù)學(xué)思想和方法”？在當(dāng)時(shí)的一線教學(xué)中，甚至有些學(xué)校老師公開課的課題為“數(shù)學(xué)思想和方法”，而課后答辯中感受到這位老師連起碼的通法都沒(méi)有系統(tǒng)掌握，其實(shí)通法的宏觀層面就是數(shù)學(xué)思想和方法.針對(duì)這種情況，筆者于2001年(之前一直是自主研究)開始組建了所在學(xué)校數(shù)學(xué)教研組老師為主，社會(huì)上的部分老師為輔的一個(gè)校本教研課題研究團(tuán)隊(duì)，研究課題為“培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力之通性通法研究”.經(jīng)過(guò)幾年的教學(xué)實(shí)踐中的思考和研究，開始從微觀層面上取得成果之際，《高中數(shù)理化》雜志社于2006年聘筆者為特約編委，并在2007年雜志擴(kuò)版為高一版、高二版和高三版時(shí)，征求有關(guān)辦刊欄目，筆者建議增加“通法研究”欄目.2007年開始，我們這個(gè)研究團(tuán)隊(duì)給這個(gè)欄目貢獻(xiàn)十五篇論文，并受到社會(huì)各界的充分肯定.下面截圖是當(dāng)年高二版第五期上刊登的讀者與雜志社的來(lái)往書信(3)本刊編輯部.編讀往來(lái)[J].高中數(shù)理化(高二版)，2007(5)：2.：

一點(diǎn)建議

編輯老師，您好.讀完今年前4期的《高中數(shù)理化》，我和我的學(xué)生都深受教益.在此向?yàn)榇烁冻銎D辛努力的編輯老師們道一聲辛苦了．每次拿到雜志，我們首先看的是《題根研究》和《通法研究》2個(gè)欄目，這2個(gè)欄目的文章尤其精彩，對(duì)我們教和學(xué)有極大的幫助，省了很多無(wú)用功.只是每期只能看到一部分，讓我們等得好辛苦!建議能否把這2個(gè)欄目的文章匯集在一起，出一個(gè)單行本，讓我們一睹為快、一飽跟福呢？

——四川省南克市二中 劉偉民

有待我們共同努力

劉老師您好，感謝您對(duì)我刊的厚愛.《題根研究》和《通法研究》這2個(gè)欄目都是我刊2007年新開辟的欄目，帶有實(shí)驗(yàn)色彩.為了保證這些欄目的含金量和指導(dǎo)性，從2006年上半年起，我們組織了近百位特、高級(jí)教師進(jìn)行了相關(guān)課題研究.現(xiàn)在陸續(xù)刊發(fā)的一些文章就是課題研究中相對(duì)成熟一些的成果.這些研究的原創(chuàng)性和開拓性，使其成為一項(xiàng)大規(guī)模的工程，有待各位一線老師的參與和合作.希望您也能參與到我們的項(xiàng)目研究中，一同來(lái)完成這項(xiàng)把學(xué)生從題海中拯救出來(lái)的偉大使命!

——本刊編輯部

經(jīng)過(guò)一年“通法研究”欄目的運(yùn)行(稿件除了課題組的成果，也陸續(xù)發(fā)表了來(lái)自全國(guó)各地一線教師的優(yōu)秀成果)，使筆者深感到責(zé)任重大，同時(shí)也體會(huì)到廣大一線教師需要更加注重“數(shù)學(xué)通性通法”的教學(xué)，所以在雜志社的要求下，于2008年第二期的三個(gè)版中發(fā)表了一篇題為“談?wù)剬?duì)通法的認(rèn)識(shí)和理解”的論文，此文轉(zhuǎn)載于人大報(bào)刊復(fù)印中心的刊物《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》的第八期上.筆者指導(dǎo)的東北師范大學(xué)的全日制研究生齊威娜于2008年完成碩士論文“對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題通法的研究”，課題組成員樸今子老師于2009年在東北師范大學(xué)李清老師的指導(dǎo)下完成在職碩士論文“高中數(shù)學(xué)通法的研究與啟示”.

2.4 一零年代進(jìn)入“比較全面的研究期”

經(jīng)歷前三十年，“數(shù)學(xué)通性通法”的研究開始進(jìn)入比較成熟的發(fā)展時(shí)期. 除了數(shù)量極大的微觀、中觀的研究成果，期間的成果主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：首先從宏觀的角度，對(duì)“數(shù)學(xué)通性通法”的概念進(jìn)行界定，其次是有一批的數(shù)學(xué)教育研究方向的碩士論文的主題為“數(shù)學(xué)通性通法研究”.

自2011年章建躍先生在《中小學(xué)數(shù)學(xué)》上發(fā)表題為“注重通性通法的教學(xué)是好的數(shù)學(xué)教學(xué)”，數(shù)學(xué)教育界開始研究“數(shù)學(xué)通性通法”的概念界定.這就是從“用什么”到“是什么”的轉(zhuǎn)變，也就是研究其本質(zhì)是什么.章老師認(rèn)為：“通性”就是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)，“通法”就是概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法(4)章建躍.注重通性通法才是好的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版)，2011(11)：50..有關(guān)概念界定方面比較優(yōu)秀的文章還有江蘇的王明山、邰日昶兩位老師于2015年7月在《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》發(fā)表的文章“高中數(shù)學(xué)通性通法界定探究”.這篇文章列舉了部分專家對(duì)這個(gè)概念內(nèi)涵的界定，并指出作者對(duì)其內(nèi)涵的界定為：師生熟知、核心可廣泛應(yīng)用、明確的知識(shí)結(jié)論稱通性；在知識(shí)結(jié)構(gòu)相對(duì)穩(wěn)定的時(shí)期內(nèi)，由通性自然得到的，能解決一類問(wèn)題的普通方法稱通法.更通俗地說(shuō)，通性指的是“究竟是什么”，而通法則是“通常如何做”(5)王明山，邰日昶. 高中數(shù)學(xué)通性通法界定探究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2015(7)：32-37,41..筆者認(rèn)為兩篇文章中提到的內(nèi)涵本質(zhì)上是相同的，但有時(shí)“通性通法”難以分割，所以在日常教學(xué)中是不是可以這樣理解：談到性質(zhì)的時(shí)候叫“通性”，談到思想和方法的時(shí)候就叫“通法”，但在解決問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)該叫運(yùn)用“通性通法”解決問(wèn)題.

進(jìn)入一零年代，以“數(shù)學(xué)通性通法”研究為主題的碩士研究生論文有17篇，其中出自蘇州大學(xué)的多達(dá)6篇.這些論文中，比較優(yōu)秀的是蘇州大學(xué)2016屆顧曉峰的碩士論文“專家型高中數(shù)學(xué)教師通性通法的教學(xué)研究”.這篇碩士論文最值得肯定的有兩個(gè)方面：首先是這位碩士生在選定課題以后,認(rèn)真閱讀了有關(guān)文獻(xiàn)并進(jìn)行了非常有邏輯性的文獻(xiàn)綜述，并提出自己的理解和看法，最大的亮點(diǎn)是對(duì)“數(shù)學(xué)通性通法”概念也給出自己理解下的界定：在解決一類具有相同性質(zhì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)所采用的具有某種規(guī)律性和普遍意義的常用解題模式和常用的數(shù)學(xué)解題方法.其次給出“通性通法教學(xué)”的理論框架(6)顧曉峰.專家型高中數(shù)學(xué)教師通性通法的教學(xué)研究[D].蘇州大學(xué)，2016(6).：

在這個(gè)階段，筆者依舊組織一個(gè)校本教研團(tuán)隊(duì)繼續(xù)深入研究“數(shù)學(xué)通性通法”，并取得如下的成果和重新的認(rèn)知：

從成果角度看，主要體現(xiàn)在研究和實(shí)踐成果.研究方面是從思維根源的角度剖析一些通法的運(yùn)用方式和從通法的多樣性的角度研究通法的優(yōu)化問(wèn)題，共有10篇有關(guān)文章發(fā)表在《高中數(shù)理化》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》(高中版)等雜志上.在實(shí)踐方面，把過(guò)去對(duì)通法的研究成果與高三教學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使得在習(xí)題課教學(xué)有效性方面取得了明顯的改進(jìn)，特別是經(jīng)過(guò)五年的連續(xù)實(shí)踐，把所在學(xué)校的高考中的數(shù)學(xué)學(xué)科由比較弱勢(shì)學(xué)科轉(zhuǎn)化為強(qiáng)勢(shì)學(xué)科.

對(duì)“通性通法”的重新認(rèn)知主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：首先認(rèn)識(shí)到注重“數(shù)學(xué)通性通法”的教學(xué)與新課程標(biāo)準(zhǔn)中的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”、“四基”、“四能”、“三會(huì)”和“立德樹人”在教學(xué)中的落實(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，其次通過(guò)大量的調(diào)研和思考，認(rèn)識(shí)到注重“數(shù)學(xué)通性通法”的教學(xué)還需要很長(zhǎng)的路要走.

2.5 按“發(fā)文數(shù)量”的研究綜述

以下截圖是1980年到2019年的四十年中，在中國(guó)知網(wǎng)中輸入“主題”為“通法”，并把研究層次定為“基礎(chǔ)教育與中等職業(yè)教育”(簡(jiǎn)稱“中國(guó)知網(wǎng)檢索”)后搜索的發(fā)文數(shù)量分布圖：

其中八十年代發(fā)文數(shù)量為7篇，九十年代發(fā)文數(shù)量為25篇，零零年代發(fā)文數(shù)量為126篇，一零年代發(fā)文數(shù)量為640篇.其中，《數(shù)學(xué)通報(bào)》發(fā)文9篇，《中國(guó)數(shù)學(xué)教育》發(fā)文30篇，《數(shù)學(xué)通訊》發(fā)文20多篇，《高中數(shù)理化》發(fā)文50多篇.從中國(guó)知網(wǎng)檢索可查詢到，國(guó)內(nèi)各類數(shù)學(xué)教育類期刊和綜合性的基礎(chǔ)教育類期刊均有有關(guān)方面的研究成果發(fā)表.作者主要來(lái)自大學(xué)和教學(xué)研究機(jī)構(gòu)的專家學(xué)者、一線教師和數(shù)學(xué)教育方向的碩士研究生.從發(fā)文的數(shù)量和質(zhì)量上也不難看出在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重“數(shù)學(xué)通性通法”教學(xué)的認(rèn)知過(guò)程是：從前三十年的積累，到一零年代有質(zhì)的飛躍.

3 注重“數(shù)學(xué)通性通法”的現(xiàn)實(shí)意義

在引言中已經(jīng)提到：落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的“抓手”就是注重“數(shù)學(xué)通性通法”的教學(xué).下面根據(jù)筆者三十多年來(lái)的觀察、思考及研究體會(huì)，僅從四個(gè)教學(xué)案例分析談其現(xiàn)實(shí)意義.

案例1近期在廣州市高中數(shù)學(xué)教研活動(dòng)中聽了一節(jié)課題為“平面與平面垂直的判定”的公開課，授課教師為廣州市第五中學(xué)的李大偉老師.這節(jié)課是典型的注重“數(shù)學(xué)通性通法”的優(yōu)秀課案例！廣州市教研院的曾辛金老師從新課程標(biāo)準(zhǔn)的落實(shí)角度進(jìn)行了點(diǎn)評(píng)，筆者再?gòu)淖⒅亍皵?shù)學(xué)通性通法”的角度對(duì)一些教學(xué)片段進(jìn)行點(diǎn)評(píng).從教學(xué)設(shè)計(jì)看，主要是以三個(gè)問(wèn)題為主線，即“問(wèn)題1：大家回顧一下直線與平面垂直、直線與直線垂直的定義過(guò)程”、“問(wèn)題2：二面角的大小定量地反映了兩個(gè)平面相交的位置關(guān)系，如何度量二面角的大小呢？不妨回顧異面直線所成角和直線與平面所成角的定義”、“問(wèn)題3：有方法判斷平面與平面是否垂直嗎？”，而每個(gè)問(wèn)題都有若干個(gè)追問(wèn).從這三個(gè)提出的問(wèn)題，不難看出李老師在教學(xué)中注重了類比、猜想、分析、綜合、化歸等數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，從中抽象出新的概念、性質(zhì)和定理.其中最突出的就是通過(guò)新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系的客觀事實(shí)，通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)向來(lái)引導(dǎo)學(xué)生不斷思考和跟進(jìn)課堂教授的主線，這樣設(shè)計(jì)的價(jià)值有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等.從通性通法的角度看，李老師抓住了立體幾何位置關(guān)系中“空間問(wèn)題平面化”和“平面問(wèn)題空間化”及由“平行”與“垂直”類比的通性通法：

現(xiàn)實(shí)意義章建躍先生在近期的培訓(xùn)中，經(jīng)常提到要注意教材的兩條基本邏輯：一是教學(xué)內(nèi)容的邏輯，二是學(xué)生心理的邏輯，進(jìn)而在教學(xué)中要注意兩者有機(jī)結(jié)合的教學(xué)設(shè)計(jì)的基本套路，其中幾何教學(xué)的基本套路為：背景概念判定、性質(zhì)結(jié)構(gòu)(聯(lián)系)應(yīng)用.也提到“問(wèn)題提出”的三個(gè)原則：反映教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)和問(wèn)題的發(fā)展性.

這個(gè)案例中的教學(xué)設(shè)計(jì)確實(shí)落實(shí)了章建躍先生針對(duì)新課程與新教材培訓(xùn)中的基本理念，而這些理念中蘊(yùn)含著注重“數(shù)學(xué)通性通法”教學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義.

案例2今年五月筆者曾在廣州市大同中學(xué)聽一節(jié)高三年級(jí)的專題課，課題為“數(shù)列求和”，授課教師為李彩蓮老師.這堂課的最大亮點(diǎn)是：從通法的多樣性出發(fā)，能把“數(shù)列求和”的四種方法概括為一種，即都可用“裂項(xiàng)法”.筆者與樸今子合作曾于2018年發(fā)表過(guò)一篇題為“從通法的多樣性談通法的優(yōu)化問(wèn)題”的文章，文中的一個(gè)例子與李老師的想法不謀而合.但課后的交流中感覺到，李老師并沒(méi)有讀過(guò)那篇文章.在筆者聽過(guò)的幾十節(jié)數(shù)列求和問(wèn)題的課中，能達(dá)到這個(gè)高度的僅此一節(jié).課堂中首先列舉了前三種方法可求和的數(shù)列的裂項(xiàng)形式，例如：2n-1=n2-(n-1)2;2n=2n+1-2n，這兩種裂項(xiàng)屬于等差和等比數(shù)列的裂項(xiàng)，再例如：數(shù)列{(2n-1)2n}求和問(wèn)題可以用“錯(cuò)位相減法”，但也可以用“裂項(xiàng)法”，不同的是裂項(xiàng)的難度大一些，但分析的時(shí)候可以先猜想這個(gè)數(shù)列的裂項(xiàng)形式為：(2n-1)2n=[p(n+1)+q]2n+1-(pn+q)2n，再利用待定系數(shù)法可求出p=2,q=-5，代入即可化為裂項(xiàng)形式.也可以把求系數(shù)的過(guò)程作為分析思路的過(guò)程，在解答過(guò)程可以用構(gòu)造來(lái)替代，這樣過(guò)程顯得更為嚴(yán)謹(jǐn)：因?yàn)?/p>

(2n-1)2n=[(4n-6)-(2n-5)]2n

={2[2(n+1)-5]-(2n-5)}2n，

即(2n-1)2n=[2(n+1)-5]2n+1-(2n-5)2n，進(jìn)而達(dá)到裂項(xiàng)的形式.最后給出一個(gè)學(xué)生從未見過(guò)的數(shù)列的裂項(xiàng)問(wèn)題：求數(shù)列{(-1)n(n2+n)}的前n項(xiàng)和Sn.啟發(fā)學(xué)生通過(guò)猜想和待定系數(shù)法得到裂項(xiàng)的形式，然后從演繹推理的角度去寫解答過(guò)程，關(guān)鍵在于構(gòu)造如下的恒等式：

所以裂項(xiàng)過(guò)程如下：因?yàn)?/p>

這節(jié)課是注重“數(shù)學(xué)通性通法”的一節(jié)精彩的復(fù)習(xí)課，整堂課都是圍繞著“數(shù)列求和”中的通性通法展開，更加難得的是能夠分析出四種通法的概括.從課堂中學(xué)生的反饋中不難看出，李老師在平常的教學(xué)中通過(guò)注重“數(shù)學(xué)通性通法”來(lái)落實(shí)“四基”，特別需要提出的是，如果學(xué)生沒(méi)有通過(guò)猜想和待定系數(shù)法構(gòu)造為裂項(xiàng)形式的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，那么別說(shuō)學(xué)生能解決最后一道例題，可能老師直接分析思路也未必能聽得懂.

現(xiàn)實(shí)意義這個(gè)案例充分體現(xiàn)了注重“數(shù)學(xué)通性通法”的現(xiàn)實(shí)意義.首先對(duì)通法的優(yōu)化體現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算”，其次通過(guò)典型例題的通法訓(xùn)練落實(shí)了“四基”.在注重“數(shù)學(xué)通性通法”教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)經(jīng)歷“概括、推理、比較、分析、綜合、歸納”等思維活動(dòng)，所以在通法的得出和運(yùn)用中始終蘊(yùn)含著有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維活動(dòng).

案例3“直線與平面平行的判定”的習(xí)題課是高中立體幾何中必須要安排的一節(jié)專題型的習(xí)題課，但在筆者聽過(guò)的將近五十節(jié)課中，從注重“數(shù)學(xué)通性通法”角度看，沒(méi)有一節(jié)課是達(dá)標(biāo)的.聽過(guò)的所有課中，在證明“平面α外的直線a與這個(gè)平面內(nèi)的直線b平行”時(shí)，對(duì)如何作出直線b，沒(méi)有給出明確的說(shuō)法，而是不講根據(jù)地問(wèn)“是不是該作中位線？”之類的問(wèn)題.根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理不難發(fā)現(xiàn)，直線b應(yīng)該是直線a所在平面β與平面α的交線.所以從“數(shù)學(xué)通性通法”的角度去談“如何作出直線b”的分析過(guò)程是：經(jīng)過(guò)直線a的平面β中找出與平面α的兩個(gè)公共點(diǎn)，連結(jié)這兩個(gè)公共點(diǎn)就是作出了直線b.可以概括地說(shuō)成“作交線b”，本質(zhì)上來(lái)說(shuō)這種通性通法來(lái)自“直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理”的融合.例如：正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一點(diǎn)P，Q，AP=DQ．求證：PQ∥平面BCE．

分析：要證明PQ∥平面BCE，只需證明PQ平行于平面BCE內(nèi)的一條直線，由于PQ與AE所確定的平面APQ與平面BCE有公共點(diǎn)E，只需連結(jié)AQ并延長(zhǎng)交BC于K，連結(jié)EK，則EK為“交線”，余下分析略.不難看出這種通性通法的運(yùn)用顯得思維過(guò)程自然.

現(xiàn)實(shí)意義如果不注重“數(shù)學(xué)通性通法”的教學(xué)，就很難讓學(xué)生通過(guò)理解知識(shí)的本質(zhì)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，也就很難提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，更談不上通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)落實(shí)“四基”和“四能”.通過(guò)這個(gè)案例也充分體現(xiàn)了實(shí)施新課程的過(guò)程中，對(duì)我們一線教師的專業(yè)功底是極大的考驗(yàn).教師本身對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解、知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)方面有缺陷，再加上不懂得注重“數(shù)學(xué)通性通法”的重要性，何談在教學(xué)中實(shí)施新的課程標(biāo)準(zhǔn)？解決這個(gè)問(wèn)題的途徑主要還是靠教師自身的學(xué)習(xí)和思考以及所在學(xué)校加強(qiáng)校本教研.

現(xiàn)實(shí)意義在有關(guān)三角變換的習(xí)題課中經(jīng)常遇到以上所舉的反例中出現(xiàn)的狀況，根本原因在于老師們沒(méi)有從通性通法的角度分析三角公式的本質(zhì)，即針對(duì)公式?jīng)]有從“角的結(jié)構(gòu)”和“函數(shù)名的結(jié)構(gòu)”角度分析公式的“正用”和“逆用”.更致命的是大部分老師們并不清楚尋找解題思路的邏輯性，只是在講“這么這么做”，并不能講“因?yàn)槭裁础?，像這種沒(méi)有分析過(guò)程，直接演繹推理的解題教學(xué)是把學(xué)生推入“題?！鄙顪Y的根本原因.所以在落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，注重“數(shù)學(xué)通性通法”教學(xué)是提高課堂有效性的必然選擇.根據(jù)這個(gè)案例，從通性通法的角度如何進(jìn)行教學(xué)才能使我們的課堂更加有效呢？筆者認(rèn)為從“信息加工論”的角度進(jìn)行解題思維教學(xué)是最有效的教學(xué).其過(guò)程如下框圖：

這個(gè)案例的現(xiàn)實(shí)意義在于為了落實(shí)新的課程標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)注重“數(shù)學(xué)通性通法”的教學(xué)，提高素養(yǎng)、培養(yǎng)“四基”，在這個(gè)過(guò)程中需要的是適度地反復(fù)的思維過(guò)程，這種反復(fù)主要途徑之一就是我們平常的解題教學(xué)和課后布置的作業(yè).

以上是對(duì)“數(shù)學(xué)通性通法”研究的簡(jiǎn)要綜述以及通過(guò)案例談到的注重“數(shù)學(xué)通性通法”的現(xiàn)實(shí)意義.概括地說(shuō)，要使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)有利于培養(yǎng)新時(shí)代的接班人，在教學(xué)的具體領(lǐng)域內(nèi)還需要很多的事情去做，其中對(duì)“數(shù)學(xué)通性通法”的研究和實(shí)踐也同樣需要不斷完善和發(fā)展.