加強(qiáng)知識(shí)的綜合聯(lián)系發(fā)展學(xué)生的理性思維>
——復(fù)數(shù)的內(nèi)容分析與教學(xué)思考

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

0 引言

關(guān)于復(fù)數(shù)的教學(xué)，老師們一般都會(huì)覺(jué)得“容易”，并且因?yàn)楦呖贾械膹?fù)數(shù)題非常簡(jiǎn)單，所以許多老師對(duì)復(fù)數(shù)的教學(xué)也不太上心.但如果看一下陳省身先生的話，相信大家的感覺(jué)會(huì)不一樣.陳先生說(shuō)：

一個(gè)數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)了解什么是好的數(shù)學(xué)，什么是不好的或不太好的數(shù)學(xué).有些數(shù)學(xué)是有開(kāi)創(chuàng)性的，有發(fā)展前途的，這就是好的數(shù)學(xué).還有一些數(shù)學(xué)也蠻有意思，卻漸漸地變成一種游戲……比如說(shuō)，解方程就是好的數(shù)學(xué).搞數(shù)學(xué)的都要解方程，一次方程容易解，二次方程就不同.x2-1=0有實(shí)數(shù)解，而x2+1=0就沒(méi)有實(shí)數(shù)解.后來(lái)就加進(jìn)復(fù)數(shù)，討論方程的復(fù)數(shù)解.大家知道的代數(shù)基本定理就是n次代數(shù)方程必有復(fù)數(shù)解.這一問(wèn)題有很長(zhǎng)的歷史，當(dāng)年有名的數(shù)學(xué)家歐拉就考慮過(guò)這個(gè)問(wèn)題，但一直沒(méi)有證出來(lái).后來(lái)還是高斯證出來(lái)的，還發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)和拓?fù)溆嘘P(guān)系，有了新的理解.因?yàn)槟５扔?的復(fù)數(shù)表示一個(gè)圓周，在這一圓周上就有很多花樣.如果從f(x)=0到解f(x，y)=0，那就進(jìn)到研究曲線，當(dāng)然也可能沒(méi)有解，一個(gè)實(shí)點(diǎn)也沒(méi)有.于是花樣就來(lái)了.假使你在f(x，y)=0中把x，y都看成復(fù)數(shù)，則兩個(gè)復(fù)數(shù)相當(dāng)于四維空間，這就很麻煩，出現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)論中的黎曼曲面.你要用黎曼曲面來(lái)表示這個(gè)函數(shù)，求解原來(lái)的方程f(x，y)=0，那就要用很多的數(shù)學(xué)知識(shí).其中最要緊的概念是虧格.你把f(x，y)=0的解看成曲面之后，那么曲面有很多個(gè)圈，球面環(huán)面的不同等等花樣，都和虧格有關(guān).

此外，你也可以有另外的花樣，比如f(x，y)=0的系數(shù)都假定為整數(shù)，你也可以討論它的整數(shù)解，這就很難了.([1],p.11～12)

從陳先生的這段論述中我們可以體會(huì)到，復(fù)數(shù)是有深遠(yuǎn)意義的.盡管中學(xué)階段不可能讓學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)、復(fù)數(shù)域方程的內(nèi)容，但教師要知道這個(gè)內(nèi)容的意義，要幫助學(xué)生開(kāi)好復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的頭.其中的要點(diǎn)，根據(jù)F·克萊因的觀點(diǎn)，“把復(fù)數(shù)解釋為所熟悉的數(shù)的概念的擴(kuò)張，避免任何神秘感.首要的是應(yīng)當(dāng)使學(xué)生立刻對(duì)復(fù)平面上的幾何作圖說(shuō)明形成習(xí)慣.”([2],p.80)課程標(biāo)準(zhǔn)把復(fù)數(shù)置于“幾何與代數(shù)”主題下，也體現(xiàn)了這樣的意圖.不過(guò)，從實(shí)數(shù)擴(kuò)張為復(fù)數(shù)也會(huì)出現(xiàn)負(fù)遷移，即局限于一維實(shí)數(shù)的視野看二維的復(fù)數(shù)會(huì)限制人的思維，這樣就會(huì)因?yàn)椤耙辉畏匠痰娜齻€(gè)根都是實(shí)根，但在用公式求解的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)虛數(shù)”而產(chǎn)生“到底有解還是無(wú)解”的困惑.這說(shuō)明，在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，既要遵守已有數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則，但又要跳出“一維世界”的局限，引導(dǎo)學(xué)生到二維復(fù)平面上研究復(fù)數(shù)，這樣就能使復(fù)數(shù)與向量、三角函數(shù)的聯(lián)系成為自然而然，而且使研究范圍大大拓展.

1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)提出：復(fù)數(shù)是一類(lèi)重要的運(yùn)算對(duì)象，有廣泛的應(yīng)用.本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生通過(guò)方程求解，理解引入復(fù)數(shù)的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充，掌握復(fù)數(shù)的表示、運(yùn)算及其幾何意義.本單元的內(nèi)容包括復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的三角表示.

分析課程標(biāo)準(zhǔn)的表述可以得出如下認(rèn)識(shí)：

第一，從數(shù)學(xué)對(duì)象的屬性看，和實(shí)數(shù)一樣，復(fù)數(shù)是一類(lèi)有廣泛應(yīng)用的運(yùn)算對(duì)象，應(yīng)按研究運(yùn)算對(duì)象的套路展開(kāi)本單元的學(xué)習(xí).

第二，復(fù)數(shù)的引入是為了方程求解的需要，這是數(shù)學(xué)史的真實(shí)過(guò)程，而且這個(gè)過(guò)程充滿曲折，前后經(jīng)歷幾百年，直到高斯給出復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何解釋、復(fù)數(shù)在解決物理問(wèn)題中得到應(yīng)用，其地位才最終確認(rèn).這個(gè)歷程不僅可以讓學(xué)生理解引入復(fù)數(shù)的必要性，還可以從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的理性思維和科學(xué)精神，所以復(fù)數(shù)的背景和引入的教學(xué)是熏陶數(shù)學(xué)文化的好素材.

第三，要讓學(xué)生了解數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則和過(guò)程.盡管學(xué)生從小就學(xué)習(xí)數(shù)及其運(yùn)算，初中也明確講運(yùn)算法則和運(yùn)算律，在指數(shù)的擴(kuò)充和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中也強(qiáng)調(diào)了運(yùn)算性質(zhì)的重要性，但學(xué)生對(duì)此并不在意，其實(shí)他們也確實(shí)很難體會(huì)到其中的“味道”.不過(guò)，復(fù)數(shù)集是滿足算術(shù)運(yùn)算律的最大數(shù)集，我們要借著這最后一次數(shù)系擴(kuò)充的機(jī)會(huì)，滲透數(shù)系擴(kuò)充的基本思想，培育學(xué)生的理性思維.

事實(shí)上，一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，如果它處于不同對(duì)象的聯(lián)結(jié)點(diǎn)處，表示方式可以多樣化，那么它一定可以成為一個(gè)強(qiáng)有力的紐帶，可以從中搞出很多“花樣”來(lái).

2 內(nèi)容與要求

2.1 復(fù)數(shù)的概念

(1)通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù).

(2)理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.

2.2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算

掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.

2.3 復(fù)數(shù)的三角表示

通過(guò)復(fù)數(shù)的幾何意義，了解復(fù)數(shù)的三角表示，了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系，了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.

復(fù)數(shù)的三角表示是選學(xué)內(nèi)容，但課程標(biāo)準(zhǔn)提出的要求不高.因?yàn)檫@個(gè)內(nèi)容思想深刻，而且可以產(chǎn)生廣泛聯(lián)系，是“好的數(shù)學(xué)”，所以應(yīng)盡量讓學(xué)生學(xué)習(xí).

3 本單元學(xué)習(xí)的認(rèn)知分析

3.1 認(rèn)知基礎(chǔ)

復(fù)數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)主要來(lái)自于對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的內(nèi)容、過(guò)程、基本思想與方法等的感性認(rèn)識(shí)，以及解一元二次方程的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).

3.2 認(rèn)知困難

復(fù)數(shù)的認(rèn)知困難主要可歸結(jié)為如下幾方面：

(1)學(xué)生在初中建立的數(shù)系擴(kuò)充經(jīng)驗(yàn)，理性程度不高，特別是對(duì)擴(kuò)充過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的理解并不深入；

(2)在義務(wù)教育階段，從自然數(shù)系擴(kuò)充到有理數(shù)系再擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系，不是從解方程角度，而是從解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的需要，作為“相反意義的量”、“已知正方形面積求邊長(zhǎng)”的數(shù)學(xué)表達(dá)而引入，而引入復(fù)數(shù)純粹是為了解決解方程中遇到的負(fù)數(shù)開(kāi)方問(wèn)題，因此已有的數(shù)系擴(kuò)充經(jīng)驗(yàn)的可遷移性不強(qiáng)；

(3)復(fù)數(shù)是“二維數(shù)”，盡管有數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，但在平面直角坐標(biāo)系中用有序數(shù)對(duì)表示一個(gè)數(shù)，這是經(jīng)驗(yàn)上的一個(gè)飛躍；等等.

4 內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

4.1 復(fù)數(shù)發(fā)展史概述

在古希臘學(xué)者丟番圖時(shí)代，人們已知道一元二次方程有兩個(gè)根，但其中有一個(gè)根為虛數(shù)時(shí)，寧可認(rèn)為方程不可解.直到16世紀(jì)，人們普遍認(rèn)同丟番圖的辦法.

迫使人們認(rèn)真對(duì)待復(fù)數(shù)的是因?yàn)榍笠辉畏匠痰慕?意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在1545年出版的著作《重要的藝術(shù)》中，全面介紹了求解一元三次方程的代數(shù)方法，給出了十三種求解的公式.在公式中出現(xiàn)了十分尷尬的情況：即便一元三次方程的三個(gè)根都是實(shí)根，但在用公式求解的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)虛數(shù).例如，方程16+x2+x3= 24x的三個(gè)根都是實(shí)根，但直接用卡爾丹一元三次方程求根公式，求解過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)虛數(shù).那么，這樣的方程是有解還是無(wú)解呢？

虛數(shù)這個(gè)名稱是笛卡兒在1637年出版的《幾何》中給出的.歐拉在1777年的論文中首次使用符號(hào)i表示虛數(shù).

1797年，丹麥測(cè)量學(xué)家韋塞爾在一篇論文中引入了虛軸，并把復(fù)數(shù)表示為平面向量.瑞士數(shù)學(xué)家阿爾岡在1806年出版的著作中把復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的長(zhǎng)度稱為模，他還進(jìn)一步利用三角函數(shù)表示復(fù)數(shù).([3],p.122～123)

給出復(fù)數(shù)的幾何表示后，使人真正“看到”了復(fù)數(shù)的存在，人們才逐漸接受復(fù)數(shù).在19世紀(jì)，經(jīng)柯西、高斯、黎曼、魏爾斯特拉斯等人的努力，復(fù)數(shù)才以漂亮的復(fù)變量函數(shù)論贏得歷史地位.

在物理學(xué)界，一直認(rèn)為能夠測(cè)量的物理量只是實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)是沒(méi)有現(xiàn)實(shí)意義的.盡管在19世紀(jì)，電工學(xué)中大量使用復(fù)數(shù)，有復(fù)數(shù)的動(dòng)勢(shì)、復(fù)值的電流，但那只是為了計(jì)算的方便.計(jì)算的最后結(jié)果也總是實(shí)數(shù)，并沒(méi)有承認(rèn)在現(xiàn)實(shí)中真有“復(fù)數(shù)”形態(tài)的電流.

牛頓力學(xué)中的量全都是實(shí)數(shù)量，但到量子力學(xué)，就必須使用復(fù)數(shù)量.1959年，物理學(xué)家設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，表明向量勢(shì)和數(shù)量勢(shì)一樣，在量子力學(xué)中都是可以測(cè)量的，打破了“可測(cè)的物理量必須是實(shí)數(shù)”的框框，但這一實(shí)驗(yàn)相當(dāng)困難，最后于1982年和1986年先后完成.這樣，物理學(xué)中的可測(cè)量終于擴(kuò)展到了復(fù)數(shù).

復(fù)數(shù)源于純粹的數(shù)學(xué)推理，是理性思維的產(chǎn)物.虛數(shù)以及復(fù)數(shù)概念的引入經(jīng)歷了一個(gè)曲折的過(guò)程，其中充滿著數(shù)學(xué)家的想象力、創(chuàng)造力和不屈不撓、精益求精的精神.由于學(xué)生認(rèn)知水平的限制，中學(xué)階段對(duì)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和應(yīng)用不能提出太多要求，因此在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，通過(guò)介紹復(fù)數(shù)的發(fā)展歷史，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的文化和精神，理解復(fù)數(shù)的概念和意義，應(yīng)該成為重點(diǎn).

4.2 本單元的內(nèi)容結(jié)構(gòu)

本單元內(nèi)容不多，但可以體現(xiàn)研究一個(gè)運(yùn)算對(duì)象的“基本套路”，即：

背景——概念——基本性質(zhì)——運(yùn)算及其幾何意義、運(yùn)算律——聯(lián)系與應(yīng)用.

背景：解方程的歷史，遇到的挑戰(zhàn)；

概念：數(shù)系擴(kuò)充的思想、過(guò)程，復(fù)數(shù)的定義、表示和分類(lèi)；

復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)：復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)與向量的聯(lián)系(復(fù)數(shù)就是向量，向量就是復(fù)數(shù))，復(fù)數(shù)之間的某些特殊關(guān)系(如共軛復(fù)數(shù))；

復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的定義、運(yùn)算律及其幾何意義；

復(fù)數(shù)的三角表示(相關(guān)概念、互化)、運(yùn)算(乘、除、乘方、開(kāi)方)及其幾何意義；

應(yīng)用：代數(shù)中的應(yīng)用，聯(lián)系向量、三角的綜合應(yīng)用，幾何中的應(yīng)用等.

4.3 具體內(nèi)容的理解與教學(xué)

1．引入復(fù)數(shù)要關(guān)注哪些要點(diǎn)

復(fù)數(shù)的引入要解決兩個(gè)基本問(wèn)題：一是引入復(fù)數(shù)的必要性，即要通過(guò)解方程歷史的追溯，介紹數(shù)學(xué)家對(duì)這種“虛無(wú)縹緲的數(shù)”的認(rèn)識(shí)過(guò)程，引發(fā)認(rèn)知沖突，自然而然地提出問(wèn)題；二是要引導(dǎo)學(xué)生回顧已有數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程，歸納其中的基本思想，形成基本套路，從而構(gòu)建本單元學(xué)習(xí)的先行組織者.

2．如何從解方程中歸結(jié)出將數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系所要解決的根本問(wèn)題

首先，分析遇到的難題，明確要解決的問(wèn)題.在介紹解方程歷史的基礎(chǔ)上，先從一般的實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(Δ=b2-4ac<0)出發(fā)，用配方法進(jìn)行同解變形，歸結(jié)為x2=-a(a>0)的形式，最后歸結(jié)出：只要能解x2+1=0，那么就能解決任意的負(fù)數(shù)開(kāi)方問(wèn)題.

再梳理從自然數(shù)系逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的過(guò)程與方法，得到數(shù)系擴(kuò)充的基本思想：在擴(kuò)充后的數(shù)系中規(guī)定的加法、乘法，與原數(shù)系中的加法、乘法協(xié)調(diào)一致，并且使加法和乘法所滿足的運(yùn)算律仍然成立.

最后，在上述思想引導(dǎo)下，考慮通過(guò)擴(kuò)充實(shí)數(shù)系而使方程x2+1=0有解.擴(kuò)充過(guò)程中，要強(qiáng)調(diào)“希望在擴(kuò)大的數(shù)集中，新的加法、乘法運(yùn)算保持運(yùn)算律”的關(guān)鍵性作用.

根據(jù)上述想法，引進(jìn)一個(gè)新的數(shù)i，其定義是i2=-1.將i添加到實(shí)數(shù)集中，并和實(shí)數(shù)進(jìn)行加、乘運(yùn)算，就會(huì)產(chǎn)生新數(shù).例如，把實(shí)數(shù)a與i相加，結(jié)果記作a+i；把實(shí)數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi；把實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)b和i相乘的結(jié)果相加，結(jié)果記作a+bi；等.把a(bǔ)+i看作a+1i，bi看作0+bi，a看作a+0i，i看作0+1i，總之，實(shí)數(shù)與i進(jìn)行加、乘運(yùn)算后的結(jié)果都可以寫(xiě)成a+bi(a，b∈R)的形式.

為了促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)系擴(kuò)充思想，人教A版在這里給了一個(gè)“思考”欄目：([4],p.68)

把新引進(jìn)的數(shù)i添加到實(shí)數(shù)集中，我們希望數(shù)i和實(shí)數(shù)之間仍然能像實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，并希望加法和乘法都滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法對(duì)加法滿足分配律. 那么，實(shí)數(shù)系經(jīng)過(guò)擴(kuò)充后，得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成呢？

教學(xué)中要注意落實(shí)這個(gè)“思考”的意圖，讓學(xué)生開(kāi)展獨(dú)立思考，進(jìn)行上述“思想上的數(shù)系擴(kuò)充實(shí)踐”，發(fā)展理性思維.

3．引入復(fù)數(shù)概念要完成哪些事情

引入復(fù)數(shù)概念要完成的事情是：定義——分類(lèi)——幾何意義——基本性質(zhì).這里有幾個(gè)問(wèn)題要討論一下.

(1)定義：要說(shuō)清楚復(fù)數(shù)的內(nèi)涵、要素.從a+bi(a，b∈R)的形式看，虛數(shù)單位i是關(guān)鍵性的，這是定義的核心；有兩個(gè)組成部分a，bi，稱a為實(shí)部，b為虛部(不是虛部系數(shù)).

(2)復(fù)數(shù)的相等：引入新對(duì)象后，為了保證對(duì)象的確定性，就要明確兩個(gè)元素相等(或相同)的含義(定義).這里，當(dāng)a，b∈R時(shí)，a+bi=0?a=0且b=0.由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，可以把復(fù)數(shù)看成一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，從而為復(fù)數(shù)的幾何意義奠定基礎(chǔ).在定義一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)必須說(shuō)清楚什么叫“相等”，學(xué)生對(duì)此可能沒(méi)有這種意識(shí)，并不認(rèn)為這一點(diǎn)很重要，教學(xué)時(shí)應(yīng)給予說(shuō)明.

(3)如何引導(dǎo)學(xué)生研究復(fù)數(shù)的幾何意義？這里可以引導(dǎo)學(xué)生解放思想展開(kāi)想象.首先可以類(lèi)比實(shí)數(shù)的幾何意義，其次可以聯(lián)系向量的坐標(biāo)表示.類(lèi)比用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，提出是否可以對(duì)復(fù)數(shù)作出幾何表示；由復(fù)數(shù)是二維數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生從確定復(fù)數(shù)的條件出發(fā)思考復(fù)數(shù)的幾何意義.

復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)由a，b唯一確定，而且a，b不能交換順序，本質(zhì)上是一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)，所以復(fù)數(shù)集與直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)集之間可建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：z=a+bi?Z(a，b)，這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.

關(guān)于“復(fù)平面”的教學(xué)，要注意如下幾點(diǎn)：

①?gòu)?fù)數(shù)z=a+bi用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)表示.復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z的坐標(biāo)是(a,b)而不是(a,bi)，復(fù)平面內(nèi)的縱坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度是1而不是i；

②不要強(qiáng)調(diào)復(fù)平面與一般坐標(biāo)平面的區(qū)別；

③對(duì)于虛軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，除原點(diǎn)外都表示純虛數(shù).不要在“y軸叫做虛軸”、“y軸(去除原點(diǎn))叫做虛軸”哪種定義更“合理”上糾纏，這是沒(méi)有意義的.

復(fù)數(shù)的向量表示：因?yàn)閺?fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)與有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)一一對(duì)應(yīng)，即復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)集一一對(duì)應(yīng)，而有序?qū)崝?shù)對(duì)即為平面直角坐標(biāo)系中向量的坐標(biāo)，所以復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的，這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.

復(fù)數(shù)的模與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值具有內(nèi)在一致性，由此可知模與距離概念的關(guān)聯(lián)，可以表達(dá)平面上的距離問(wèn)題.如果再與復(fù)數(shù)的輻角結(jié)合起來(lái)，那么復(fù)數(shù)就與兩個(gè)最基本的幾何量建立起了內(nèi)在關(guān)聯(lián)，由此可以利用復(fù)數(shù)及其運(yùn)算研究幾何、三角的問(wèn)題，其作用與向量是異曲同工的.

(4)基本性質(zhì)：已有的經(jīng)驗(yàn)是數(shù)的基本性質(zhì)指“數(shù)的大小關(guān)系”，但復(fù)數(shù)沒(méi)有大小關(guān)系，或者說(shuō)：若兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，則可以比較大小；否則，不能比較大小.

實(shí)際上，“大小關(guān)系”的本源是自然數(shù)的大小關(guān)系：自然數(shù)源于對(duì)數(shù)量的抽象，因?yàn)椤皵?shù)量有多少”，所以“自然數(shù)有大小”，大小關(guān)系是自然數(shù)的最本質(zhì)關(guān)系.所以，實(shí)數(shù)的大小關(guān)系基于生活直覺(jué).由此，可以從皮亞諾公理出發(fā)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①對(duì)于任意兩個(gè)自然數(shù)a，b，ab有且只有一種關(guān)系成立(稱為“三歧性”)；

②自然數(shù)的大小關(guān)系具有傳遞性；

③傳遞性在四則運(yùn)算中仍然成立：我們用符號(hào)“*”統(tǒng)一表示四則運(yùn)算，用“≈”統(tǒng)一表示①中的三種關(guān)系，只要注意到乘或除一個(gè)負(fù)數(shù)要改變大小關(guān)系，那么對(duì)于有理數(shù)a，b，c，有

a≈b?a*c≈b*c，

所以大小關(guān)系在有理數(shù)中仍然成立.

④根據(jù)實(shí)數(shù)理論，實(shí)數(shù)是通過(guò)有理數(shù)列的極限得到的，而有理數(shù)列四則運(yùn)算的極限等于有理數(shù)列極限的四則運(yùn)算，即

所以，基于自然數(shù)的大小關(guān)系對(duì)于實(shí)數(shù)仍然成立.

因?yàn)閺?fù)數(shù)不是源于度量的需要，而是源于解方程，解方程的運(yùn)算一般不具有上述③、④所示的性質(zhì)，所以就傳遞性而言，復(fù)數(shù)不能像自然數(shù)那樣比大小.

進(jìn)一步地，數(shù)學(xué)推理論證的本質(zhì)在于傳遞性，因此復(fù)數(shù)的“大小關(guān)系”是不能像實(shí)數(shù)那樣，基于自然數(shù)的大小關(guān)系經(jīng)過(guò)邏輯推理而得到.

我們可以定義復(fù)數(shù)的順序，如

a+bi

?a

這個(gè)順序與實(shí)數(shù)的大小關(guān)系相容，似乎非常像大小關(guān)系，但它不是大小關(guān)系.

如果我們引導(dǎo)學(xué)生把眼光從一維直線提升到二維平面，可以發(fā)現(xiàn)，在復(fù)平面上看，對(duì)于復(fù)數(shù)的關(guān)系，可以從更廣泛的“對(duì)稱性”進(jìn)行討論.這樣，引入“共軛復(fù)數(shù)”的概念就自然而然了：

復(fù)平面內(nèi)關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)復(fù)數(shù)有特殊關(guān)系，稱為共軛復(fù)數(shù).

4.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及其幾何意義

引入一種新的數(shù)，就要研究關(guān)于它的運(yùn)算；定義一種運(yùn)算，就要研究其運(yùn)算律(運(yùn)算性質(zhì)).這里需要讓學(xué)生思考的問(wèn)題是：

如何定義復(fù)數(shù)加法、乘法的運(yùn)算法則才是合理的？

(1)關(guān)于復(fù)數(shù)的加法

可以采用分析法：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，希望加法結(jié)合律成立，所以

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)；

希望乘法對(duì)加法滿足分配律，所以

z1+z2= (a+c)+(bi+di)

= (a+c)+(b+d) i.

按這樣的法則，當(dāng)b=0，d=0時(shí)，復(fù)數(shù)的加法法則與實(shí)數(shù)的加法法則一致，這說(shuō)明這樣定義復(fù)數(shù)的加法法則與實(shí)數(shù)中的加法運(yùn)算是和諧的.

乘法法則的分析類(lèi)似.

定義運(yùn)算法則后，如何引導(dǎo)學(xué)生研究運(yùn)算的幾何意義是需要重點(diǎn)考慮的一個(gè)問(wèn)題.特別是，能不能讓學(xué)生自己提出這個(gè)問(wèn)題？

為此，可以從兩個(gè)角度進(jìn)行引導(dǎo)：一是從數(shù)及其運(yùn)算的一般研究路徑出發(fā)，提出需要研究的基本問(wèn)題；二是從復(fù)數(shù)的幾何表示出發(fā)，復(fù)數(shù)有幾何意義，那么關(guān)于它的運(yùn)算也一定有幾何意義.在此基礎(chǔ)上，聯(lián)系向量運(yùn)算的幾何意義，就比較容易由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題了.

那么，復(fù)數(shù)加法的幾何意義的教學(xué)重點(diǎn)是什么呢？

教學(xué)重點(diǎn)是：引導(dǎo)學(xué)生探究復(fù)數(shù)加法與向量加法的統(tǒng)一性.可以從三個(gè)方面進(jìn)行引導(dǎo)：①?gòu)?fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的平面向量一一對(duì)應(yīng)；②向量加法的坐標(biāo)形式及其幾何意義；③復(fù)數(shù)的加法法則.將這三個(gè)方面放在一起，并借助復(fù)平面進(jìn)行分析，就能使學(xué)生領(lǐng)悟復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行.

(2)關(guān)于復(fù)數(shù)的減法

首先，類(lèi)比實(shí)數(shù)的減法，規(guī)定復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算；

然后，依據(jù)復(fù)數(shù)的加法、復(fù)數(shù)相等的定義，通過(guò)解實(shí)系數(shù)方程，得到復(fù)數(shù)的減法法則.

教學(xué)中可提醒學(xué)生，這里實(shí)際上使用的是待定系數(shù)法，它也是確定復(fù)數(shù)的一個(gè)一般方法.

復(fù)數(shù)減法的幾何意義，等同于向量減法的幾何意義.

(3)復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算

復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算與加、減運(yùn)算的研究過(guò)程大同小異.

復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法有很強(qiáng)的可比性，將復(fù)數(shù)a+bi看成是關(guān)于i的“一次二項(xiàng)式”， 將復(fù)數(shù)的乘法按多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行，只要在所得的結(jié)果中把i2換成-1，并且把實(shí)部與虛部“合并同類(lèi)項(xiàng)”即可.

復(fù)數(shù)的除法可以類(lèi)比根式的除法，寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式后，利用共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行“分母實(shí)數(shù)化”就可以得出結(jié)果.

原則上，在完整地進(jìn)行復(fù)數(shù)加法教學(xué)后，減法、乘法和除法可以讓學(xué)生自學(xué).

(4)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)

這是一個(gè)有意思的問(wèn)題，可以引導(dǎo)學(xué)生在思考“具有特殊關(guān)系的復(fù)數(shù)在運(yùn)算中是否也會(huì)出現(xiàn)什么特殊性”的基礎(chǔ)上，自己展開(kāi)探索活動(dòng)，并注意從代數(shù)、幾何兩個(gè)角度作出解釋.

5.復(fù)數(shù)的三角表示

復(fù)數(shù)的三角表示是復(fù)數(shù)的一種重要表示形式，它溝通了復(fù)數(shù)與平面向量、三角函數(shù)等之間的聯(lián)系，可以幫助我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)，也為解決平面向量、三角函數(shù)和平面幾何中的問(wèn)題提供了一種重要途徑，同時(shí)還為今后在大學(xué)期間進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的指數(shù)形式、復(fù)變函數(shù)論、解析數(shù)論等高等數(shù)學(xué)知識(shí)奠定基礎(chǔ).

比較強(qiáng)烈地建議：要把本節(jié)內(nèi)容作為必學(xué).

(1)復(fù)數(shù)的三角表示式

這里的首要問(wèn)題仍然是：如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出“復(fù)數(shù)的三角表示式”這一問(wèn)題？

從知識(shí)基礎(chǔ)看，前面已經(jīng)建立了復(fù)數(shù)與向量的坐標(biāo)之間的聯(lián)系.另外，三角表示式與三角函數(shù)相關(guān)聯(lián)，三角函數(shù)中學(xué)生曾經(jīng)研究過(guò)“水車(chē)模型”，求解過(guò)在半徑為2的圓周上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，特別是在三角函數(shù)概念一節(jié)，證明了

如果角α終邊上任意一點(diǎn)P(x,y)(不與原點(diǎn)重合)到原點(diǎn)的距離為r，那么

這些都為用三角函數(shù)表示半徑為r的圓上點(diǎn)的坐標(biāo)做了較為充分的準(zhǔn)備.如果教師直接講解，那么學(xué)生聽(tīng)懂應(yīng)該沒(méi)有困難，但這樣就失去了一次提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題能力的機(jī)會(huì).所以，應(yīng)該設(shè)法讓學(xué)生自己來(lái)“捅破窗戶紙”.為此，人教A版設(shè)置了一個(gè)“探究”欄目引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)研究：

圖1

這個(gè)“探究”是如何提出來(lái)的呢? 實(shí)際上，其背后的思想是：一個(gè)事物有多種表示方式，那么它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，探索這些聯(lián)系并得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)是數(shù)學(xué)研究的主要任務(wù)之一.教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)體會(huì)這一點(diǎn)，其實(shí)這是使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程.

復(fù)數(shù)的三角表示式實(shí)際上是用另一種有序?qū)崝?shù)對(duì)(r,θ)確定一個(gè)復(fù)數(shù)，與極坐標(biāo)一樣.因?yàn)閺?fù)數(shù)的三角表示式有固定的結(jié)構(gòu)，需要通過(guò)概念辨析活動(dòng)讓學(xué)生加深認(rèn)識(shí)：

第一，直角坐標(biāo)系中，設(shè)角θ的終邊與半徑為r的圓(圓心在原點(diǎn))的交點(diǎn)坐標(biāo)為Z(a，b)，則有

z=a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ).

學(xué)生可能會(huì)認(rèn)為，含有正弦、余弦的復(fù)數(shù)就是復(fù)數(shù)的三角式，需要給一些反例.例如：

左邊不是三角式，右邊是三角式.

(2)復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義

復(fù)數(shù)的乘法、除法、乘方和開(kāi)方，用三角表示非常簡(jiǎn)潔，而且反映本質(zhì)，特別是這些運(yùn)算的幾何意義非常明顯、好用，在解決問(wèn)題中威力巨大.另一個(gè)重要性是，與旋轉(zhuǎn)變換、伸縮變換的聯(lián)系，例如：

圖2

這就是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，是用旋轉(zhuǎn)和伸縮變換來(lái)表示的.

另外，只要令z=z1=z2=r(cosθ+isinθ)，就有

z2=z1z2=[r(cosθ+isinθ)]2

=r2(cos2θ+isin2θ).

這里，z的次數(shù)可以推廣到一般的n，有

[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)，

這就是棣莫佛定理.

利用三角表示作為知識(shí)的綜合與聯(lián)系的紐帶作用，可以發(fā)現(xiàn)很多有意義的問(wèn)題.

例如，與解一元n次方程的聯(lián)系，特別是xn=1，其中蘊(yùn)含的內(nèi)容非常豐富；與三角函數(shù)的聯(lián)系，可以方便地得出一些三角恒等式；證明一些幾何題(實(shí)際上就是向量法)；與旋轉(zhuǎn)變換、伸縮變換等幾何變換的聯(lián)系；等等.

5 小結(jié)

我們以陳省身先生的一個(gè)故事來(lái)結(jié)束本文.2003年歲次癸未，第二年是甲申(猴)年.陳先生突發(fā)奇想，要設(shè)計(jì)一套題為“數(shù)學(xué)之美”的掛歷.他親自構(gòu)思、設(shè)計(jì)，用通俗的形式展示數(shù)學(xué)的深邃與美妙.掛歷中的12幅彩色月份畫(huà)頁(yè)的主題分別為：復(fù)數(shù)、正多面體、劉徽與祖沖之、圓周率的計(jì)算、高斯、圓錐曲線、雙螺旋線、國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)、計(jì)算機(jī)的發(fā)展、分形、麥克斯韋方程和中國(guó)剩余定理.……陳先生特別青睞復(fù)數(shù)，故把它作為掛歷的首頁(yè)主題.事實(shí)上，他發(fā)現(xiàn)的“陳示性類(lèi)”就是復(fù)向量叢上的拓?fù)洳蛔兞?陳先生說(shuō)：復(fù)數(shù)是一個(gè)神奇的領(lǐng)域.例如有了復(fù)數(shù)，任何代數(shù)方程都可以解，在實(shí)數(shù)范圍就不可以……我的眼光集中在“復(fù)”結(jié)構(gòu)上，“復(fù)叢”比“實(shí)叢”來(lái)得簡(jiǎn)單.在代數(shù)上復(fù)數(shù)域有簡(jiǎn)單的性質(zhì).群論上復(fù)線性群也如此，這大約是使得復(fù)向量叢有作用的主要原因.“幾何中復(fù)數(shù)的重要性對(duì)我而言充滿神秘.它是如此優(yōu)美而又渾然一體.”([1],p.22～23)作為整體微分幾何的開(kāi)創(chuàng)者，他所領(lǐng)略到的復(fù)數(shù)之美、復(fù)數(shù)之用是我們難以企及的，以陳先生的故事和論述來(lái)結(jié)尾，似乎扯得太遠(yuǎn)，但我的想法是要以此引起廣大高中數(shù)學(xué)教師對(duì)復(fù)數(shù)教學(xué)的充分重視，徹底拋棄“考什么教什么”的習(xí)慣，著眼于學(xué)生的終身學(xué)習(xí)、致力于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展進(jìn)行教學(xué)，為學(xué)生奠定后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的良好基礎(chǔ).