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    一種面向動態(tài)異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)的高效極大motif團挖掘方法

    2021-03-08 02:05:14周軍鋒
    新一代信息技術(shù) 2021年15期
    關(guān)鍵詞:枚舉條邊子圖

    丁 晨,周軍鋒,杜 明

    (東華大學(xué),上海 201620)

    0 引言

    當(dāng)前社會處于信息時代,數(shù)據(jù)類型繁雜多樣,異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)[1-2]是一種把頂點與類型標(biāo)簽相連的數(shù)據(jù)圖,用于刻畫不同類型對象間的復(fù)雜限制語義。相比于頂點類型單一的數(shù)據(jù)圖,異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)可以用不同類型的實體及實體間聯(lián)系表達出多元化、交互性高的信息。

    異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)常與motif[3-5]結(jié)合,motif用于給定不同類型頂點間的限制關(guān)系,通過發(fā)現(xiàn)極大motif團[6]可以在異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)上挖掘有價值的信息。常見的異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò),如生物網(wǎng)絡(luò)、書目數(shù)據(jù)庫和共同購物圖等,已被應(yīng)用于各種領(lǐng)域[7-9]。如圖1所示,在異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)G中,頂點類型分為三類:作者類型、論文類型、會議類型,給定motif M所示的頂點關(guān)系,通過挖掘極大motif團,可以找到有合作關(guān)系的作者。

    圖1 異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)Fig.1 heterogeneous information network

    異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)和極大 motif團有很高的實用價值。然而,異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)不是一成不變的,它在實際應(yīng)用中會頻繁更新,由此衍生出如何實時更新極大motif團的問題。現(xiàn)有算法META(the maximal m-clique enumeration algorithm)可以在靜態(tài)圖上快速發(fā)現(xiàn)極大 motif團,但不支持在動態(tài)圖上更新極大 motif團。為了實現(xiàn)更新操作,該算法需要在圖變化后重新枚舉極大 motif團,這種做法存在大量冗余,效率不高。

    針對現(xiàn)有算法的不足,本文提出一種支持極大motif團更新的高效算法UMMD(the algorithm of updating maximal motif-clique on dynamic HINs)。該算法主要由加邊策略、減邊策略構(gòu)成。其基本思想是:在加減邊時,只處理與邊兩端頂點關(guān)聯(lián)的極大 motif團,從而縮小更新范圍,避免枚舉操作。實驗結(jié)果表明,本文提出的算法可以高效地在動態(tài)異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)上挖掘極大motif團。

    1 背景知識和相關(guān)工作

    1.1 相關(guān)概念和問題定義

    定義 1 異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò):異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)是一個四元組G=(V, E, T, F),V代表圖G中頂點的非空有限集合,E代表圖G中邊的有限集合,T代表圖G中頂點類型的非空有限集合,F(xiàn)是一個類型函數(shù),用于對圖中每個頂點分配一個T中的頂點類型,每個頂點的類型在給定后不改變。本文的異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)均是無向圖。

    如圖1所示,G是一個異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò),其包含三種類型的頂點。

    定義2 motif:對于異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)G=(V, E, T,F),motif是一個四元組M=(Vm, Em, Tm, Fm),Vm代表M中頂點的非空有限集合,|Vm|不大于|V|;Tm代表M中頂點類型的非空有限集合,Tm?T;Fm是一個類型函數(shù),用于對M中每個頂點分配一個Tm中的類型;Em代表M中邊的有限集合,對于?(um, vm)?Em,F(xiàn)(um)類型的頂點與F(vm)類型的頂點在G中允許相連。

    定義3 motif匹配點集:給定異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)G=(V, E, T, F)、motif M=(Vm, Em, Tm, Fm),對于一個非空點集H?V,如果|H|=|Vm|,且H與Vm存在一種雙射關(guān)系f,即對?u∈H,F(xiàn)(u)=Fm(f(u)),那么H是motif匹配點集。

    例如,對于圖1的G,點集{1,3,4}、點集{1,4,5}均是motif匹配點集,點集{4,5,8}則不是motif匹配點集。

    定義4 motif導(dǎo)出子圖:給定異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)G=(V, E, T, F)、motif M=(Vm, Em, Tm, Fm),G′=(V′,E′, T′, F′)是 G 的一個導(dǎo)出子圖,如果|V′|=|Vm|,且V′與Vm存在一種雙射關(guān)系f,即對于?u∈V′,F(xiàn)(u)=Fm(f(u))且?u, v∈V′,(u, v) ∈E′,(f(u),f(v))∈Em,那么G′是一個motif導(dǎo)出子圖。

    例如,在圖1的G中可以找到4個motif導(dǎo)出子圖,它們對應(yīng)的點集分別是{1,3,4}、{2,3,4}、{3,4,6}、{4,5,6}。

    定義5 motif團:給定異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)G=(V, E,T, F)、motif M=(Vm, Em, Tm, Fm),G′=(V′, E′, T′, F′)是G的一個導(dǎo)出子圖,如果|T′|=|Tm|,G′中至少有一個motif匹配點集,且G′的每個motif匹配點集都是motif導(dǎo)出子圖,G′是一個motif團。

    例如,對于圖1的G,點集{1,2,3,4}構(gòu)成的子圖是motif團,但點集{3,4,5,6}、點集{4,6,8}構(gòu)成的子圖均不是motif團。

    定義6 候選頂點:對于一個motif導(dǎo)出子圖,如果一個頂點能與它組成 motif團,則稱該頂點為此motif導(dǎo)出子圖的候選頂點。

    定義7 極大motif團:如果一個motif團不被圖中的其他 motif團包含,那么它是一個極大motif團。

    例如,對于圖1的G,點集{1,2,3,4,6}、點集{4,5,6}構(gòu)成的子圖均是極大motif團。G中作者類型頂點與論文類型頂點的邊,代表某作者撰寫了某論文;論文類型頂點間的邊,代表兩篇論文的研究方向相似。給定 M 所示的頂點關(guān)系,一個motif導(dǎo)出子圖代表一個作者撰寫了兩篇研究方向相似的論文,一個極大 motif團可以代表有合作關(guān)系的作者們共同撰寫了數(shù)篇方向相似的論文。當(dāng)找到G中所有的極大motif團時,也就找到了全部合作過的作者以及他們撰寫的論文。

    問題定義給定動態(tài)異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)G=(V, E,T, F)、motif M=(Vm, Em, Tm, Fm)、已有的極大 motif團,在G發(fā)生變化后更新極大motif團。

    文中符號的含義如表1所示。

    表1 符號解釋Tab.1 symbol interpretation

    1.2 相關(guān)工作

    motif是大型信息網(wǎng)絡(luò)的基本構(gòu)建模塊,常被應(yīng)用于神經(jīng)科學(xué)、生物學(xué)、社會網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域。Gurukar[10]等人研究了動態(tài)交互網(wǎng)絡(luò)中通信 motif的挖掘,并開發(fā)了COMMIT技術(shù)。COMMIT技術(shù)將動態(tài)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換為序列數(shù)據(jù)庫,從而更快地在網(wǎng)絡(luò)中發(fā)現(xiàn)motif。Benson A R[11]通過使用motif解決了 motif-aware的圖聚類問題,Stefani L[12]解決了計算motif頻率的問題。

    胡佳峰等人首次提出了文獻[6]中的極大motif團發(fā)現(xiàn)算法META,該算法的輸入是異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)G、motif M,輸出是圖中所有的極大motif團。如圖1所示,META可以根據(jù)給定的G和M,快速枚舉出 G中所有的極大 motif團,即mmc{1,2,3,4,6}、mmc{4,5,6}。

    META算法的基本思想如下:根據(jù)現(xiàn)有的子圖匹配算法 VF3[13],找到圖中所有的 motif導(dǎo)出子圖,對每一個motif導(dǎo)出子圖,仿照BK算法[14],通過維護三個不同功能的點集 U、C、NOT來枚舉求解它的極大motif團。點集U用來存放當(dāng)前正在被枚舉的 motif團,U里的點可以構(gòu)成一個motif團,但不一定是一個極大motif團,U的初始狀態(tài)是空集;點集C是候選頂點集,C里的每個頂點都可以加入U中的motif團,C的初始狀態(tài)是所有頂點的集合;點集NOT是禁止集,NOT里的每個頂點也都可以加入U中的motif團,但如果一個頂點被存放在NOT里,意味著包含該點的所有極大motif團已經(jīng)被枚舉過,NOT的初始狀態(tài)是空集。在枚舉過程中,當(dāng)點集C與點集NOT都為空時,U里存放的便是一個極大motif團。

    2 支持極大 motif團更新的高效算法UMMD

    對于動態(tài)異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)的變化,本文研究圖加邊、減邊兩種情況。加邊指的是每次在圖中添加一條不存在的邊;減邊指的是每次從圖中刪去一條存在的邊?,F(xiàn)有算法在圖發(fā)生變化后會重新枚舉,其更新范圍是全圖,且枚舉過程存在冗余。針對上述問題,本文提出以下更新策略。

    2.1 加邊策略

    本文的加邊策略通過選擇性更新來剪枝更新范圍,即只更新與新邊兩端頂點相連的原有極大motif團,并通過枚舉候選頂點補充更新結(jié)果。

    根據(jù)定義,極大motif團可看作由motif導(dǎo)出子圖構(gòu)成。如圖1所示,G中的 mmc{1,2,3,4,6}是由 me{1,3,4}、me{2,3,4}和 me{3,4,6}構(gòu)成。易知,圖中出現(xiàn)了新的 motif導(dǎo)出子圖后,才會出現(xiàn)新極大motif團。用(u, v)表示邊,在動態(tài)異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)上加邊后,當(dāng)圖中先出現(xiàn)包含點u和點v的新motif導(dǎo)出子圖后,才會出現(xiàn)新極大motif團,這說明新極大motif團一定是包含點u和點v的。因此,與點u和點v均不相連的原有極大motif團不會變化,只需選擇性更新包含點u或點v的原有極大 motif團。具體來說,對于包含點 u的極大 motif團,判斷點 v能否加入其中;對于包含點v的極大motif團,判斷點u能否加入其中。

    上述方法雖然縮小了更新范圍,但可能會出現(xiàn)更新過程中丟失極大 motif團的問題。如圖 2所示,G中的原有極大motif團是mmc{1,3,4,5}、mmc{2,4,6},在G上插入邊(2,5)后,選擇性更新原有極大 motif團,即 mmc{1,3,4,5}、mmc{2,4,6},判斷點2不能加入mmc{1,3,4,5},因此mmc{1,3,4,5}不發(fā)生變化;判斷點5可以加入mmc{2,4,6},從而將mmc{2,4,6}變?yōu)閙mc{2,4,5,6}。更新過程結(jié)束,但新極大 motif團 mmc{1,2,4,5}未發(fā)現(xiàn)。造成這種情況的原因是新邊的頂點可能與原有極大motif團的子集結(jié)合,從而形成新極大motif團。

    通過枚舉未發(fā)現(xiàn)的新 motif導(dǎo)出子圖的候選頂點可以解決上述問題。例如,圖2的G加入邊(2,5)后,圖中出現(xiàn)新motif導(dǎo)出子圖me{2,4,5}、me{2,5,6},它們的候選頂點是點1、點4、點6。而新極大motif團mmc{2,4,5,6}包含了點4、點6,不包含點 1,說明還有包含點 1的新極大 motif團未發(fā)現(xiàn)。通過現(xiàn)有的枚舉算法可以找出mmc{1,2,4,5},從而完善更新結(jié)果。

    圖2 候選頂點示例Fig.2 examples of candidate vertices

    算法 1詳細(xì)介紹了加邊策略的過程。將新motif導(dǎo)出子圖的候選頂點存進cands(第1行)。如果cands為空,說明新motif導(dǎo)出子圖沒有候選頂點,它本身便是一個極大motif團(第2-4行)。選擇性更新極大motif團,并維護cands(第5-13行)。如果cands不為空,進行枚舉操作補充更新結(jié)果(第14-15行)。本文在判斷一個點能否加入motif團、枚舉候選頂點時使用了文獻[6]的方法。

    下面以圖3為例介紹UMMD-insert的算法過程。給定動態(tài)異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)G、motif M,假設(shè)在G上插入邊(3,5),原有極大motif團是mmc{1,2,3,4,6}、mmc{4,5,6}。圖中新出現(xiàn)的motif導(dǎo)出子圖是me{3,5,6},它的候選頂點是點4,將其存進cands。更新 mmc{1,2,3,4,6},判斷點 5能否加入其中,點 5不可以加入,mmc{1,2,3,4,6}不變化;更新mmc{4,5,6},判斷點3能否加入其中,點3可以加入,將mmc{4,5,6}變?yōu)閙mc{3,4,5,6},并將點4從 cands中刪去。因為 cands為空,直接輸出mmcs作為更新后的極大motif團。

    圖3 圖更新示例Fig.3 examples of graph updating

    2.2 減邊策略

    本文減邊策略也通過選擇性更新剪枝更新范圍。在動態(tài)異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)上減邊后,只處理同時包含邊兩端頂點的原有極大 motif團,對其進行更新操作。

    用(u, v)表示邊,在動態(tài)異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)上減邊后,對一個原有極大motif團mmc的更新操作可以具化為刪除其中的點u或點v。對于一個頂點,如果mmc中不存在包含該點的motif導(dǎo)出子圖,說明它無法與mmc中的其他點構(gòu)成motif團,需將其從mmc中刪除,反之,將該點保留在mmc中。

    例如,假設(shè)在圖 1中刪除邊(2,4),選擇性更新原有 mmc{1,2,3,4,6}。me{2,3,4}不再成立,點2在mmc中沒有其他關(guān)聯(lián)的motif導(dǎo)出子圖,故將點2從mmc{1,2,3,4,6}中刪去;點4在mmc中與me{1,3,4}、{3,4,6}有關(guān)聯(lián),故保留在mmc{1,3,4,6}中。mmc{1,3,4,6}是一個圖更新后的極大motif團。但是,對于一個極大motif團,經(jīng)歷上述操作后,也可能被刪減為其他原極大 motif團的子集。因此,在更新結(jié)束后,需要把更新結(jié)果與其他原極大 motif團比較,去除結(jié)果中的偽極大motif團。

    算法2詳細(xì)介紹了減邊策略的過程。用(u, v)表示邊,在動態(tài)異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)上減邊后,設(shè)置set存儲更新結(jié)果,使其初始值為空集,找出同時包含點u和點v的極大motif團mmc,對其進行更新操作(第1-3行)。選擇性更新極大motif團(第2-8行)。當(dāng)set不為空時,通過與原有極大motif團比較,判斷它們中是否存在偽極大motif團(第9-13行)。

    下面以圖3為例介紹UMMD-delete的算法過程。給定異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)G、motif M,假設(shè)從G中刪去邊(3,5),原有的極大 motif團是 mmc{1,2,3,4,6}、mmc{3,4,5,6}。在G上刪除邊(3,5)后,更新mmc{3,4,5,6}。因為 me{3,4,6}、me{4,5,6}是mmc{3,4,5,6}的子集,將mc{4,5,6}、mc{3,4,6}存進set,并把mmc{3,4,5,6}從mmcs中刪除。再通過比較發(fā)現(xiàn) mc{3,4,6}是原有極大 motif團mmc{1,2,3,4,6}的子集,即 mc{3,4,6}是一個偽極大motif團,而mc{4,5,6}不是任何原有極大motif團的子集,mc{4,5,6}可作為一個新極大motif團,更新結(jié)束。

    2.3 算法分析

    給定動態(tài)異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)G、motif M,在G上插入邊后,UMMD算法的平均算法時間復(fù)雜度為O(|Nmmc|·|Vmmc|·|V/E|);在 G 上刪除邊后,UMMD算法時間復(fù)雜度為 O(|Nmmc|·|Nme|·lg|Vmmc|)。|Nmmc|代表 G中包含點邊兩端頂點的極大 motif團的個數(shù),|Vmmc|代表 G中極大 motif團的平均點數(shù),|Nme|代表G中motif導(dǎo)出子圖的個數(shù),|V/E|代表 G中頂點的平均度數(shù),其中|V|代表 G的點數(shù),|E|代表G的邊數(shù)。

    使用基礎(chǔ)算法META枚舉極大motif團的最壞時間復(fù)雜度是O(n!·n2),最好時間復(fù)雜度也要大于 O(n2),其中n為圖的頂點數(shù)。因此,UMMD算法的更新效率更高。

    3 實驗

    3.1 實驗環(huán)境

    實驗所使用的硬件配置是Inter Core i7主頻為2.60GHz的CPU,16GB的RAM內(nèi)存,Windows 10 64位系統(tǒng);實驗的運行環(huán)境為Microsoft Visual Studio 2017,解決方案是Release,解決方案平臺是x64。

    實驗用于比較的算法:(1)META算法;(2)UMMD算法。以上算法均采用C++語言實現(xiàn)。

    3.2 數(shù)據(jù)集

    本文使用12個實驗數(shù)據(jù)集進行實驗,數(shù)據(jù)集基于4個真實異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò),分別是Reactome、Amazon、Yeast、Instacart。異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)與motif相結(jié)合,motif的頂點規(guī)模會影響算法挖掘極大motif團的效率,所以本文將一個異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)與點數(shù)3、點數(shù)5、點數(shù)7的motif相關(guān)聯(lián),生成12個數(shù)據(jù)集。例如,用 Reactome-3、Reactome-5、Reactome-7表示Reactome不變,將其分別與點數(shù)為3、5、7的motif相關(guān)聯(lián)。

    數(shù)據(jù)集Reactome是一個生物信息網(wǎng)絡(luò),主要描述了蛋白質(zhì)大分子、生物行為作用、不同物種間的交互信息;數(shù)據(jù)集 Amazon來自于亞馬遜網(wǎng)站,圖中共有4種不同類型的頂點,商品類型頂點之間的邊代表兩個商品是在同一次購物過程中購買的。數(shù)據(jù)集 Yeast是一個蛋白質(zhì)分子生物網(wǎng)絡(luò),共有71種頂點類型;數(shù)據(jù)集Instacart是一個購物網(wǎng)站的異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò),頂點類型有21種,商品類型頂點之間的邊代表兩個商品被同時購買超過 200次。4個基本異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)統(tǒng)計信息如表2所示,其中|V|和|E|分別表示圖中的頂點數(shù)以及邊數(shù)。

    表2 數(shù)據(jù)集統(tǒng)計信息Tab.2 statistics for the dataset

    3.3 性能分析與比較

    本文為了直觀顯示更新效率,以更新極大motif團的時間開銷作為算法性能指標(biāo)。此外,本文實驗還研究圖變化次數(shù)對算法性能的影響。本章將以不同的加減邊數(shù)目進行實驗,對于加邊,本文隨機在圖中插入 100/1 000條原本不存在的邊;對于減邊,隨機在圖中刪除100/1 000條已存在的邊。用于對比的算法有META算法、UMMD算法。規(guī)定時間單位為秒,UMMD算法的更新時間精確到小數(shù)點后一位,Inf表示算法在 30 000秒內(nèi)沒有輸出更新結(jié)果。

    各算法在圖增加 100條邊的更新時間如表3所示。觀察發(fā)現(xiàn),在增加100條邊時,UMMD算法的更新效率比META算法快約2個數(shù)量級。在較大數(shù)據(jù)集Amazon-3、Amazon-5上,UMMD算法比 META算法分別快 234倍、238倍,在Reactome-3數(shù)據(jù)集上,UMMD算法比META算法快768倍,在Yeast-3、Instacart-3等較小數(shù)據(jù)集上,UMMD算法約快300倍。

    表3 插入100條邊的更新時間Tab.3 the update time of inserting 100 edges

    以上說明,UMMD算法的更新效率均比META算法更高。這主要是因為本文的更新策略可以縮小更新范圍,只處理與邊兩端頂點相連的極大motif團,而META算法是對全圖進行重新枚舉,存在冗余。

    各算法在圖上刪除100條邊的更新時間如表4所示。在大部分?jǐn)?shù)據(jù)集上,UMMD算法的效率比META算法快2個數(shù)量級。在Yeast-3數(shù)據(jù)集上UMMD算法快327倍,在Instacart-5數(shù)據(jù)集上快249倍,在Amazon-5數(shù)據(jù)集上快781倍,在Reactome-5數(shù)據(jù)集上快54倍。

    表4 刪除100條邊的更新時間Tab.4 the update time of deleting 100 edges

    各算法在圖上插入1 000條邊的更新時間如表5所示。META算法在 Amazon-3、Amazon-4等多組數(shù)據(jù)集上無法在 Inf時間內(nèi)完成更新,但UMMD算法在這些數(shù)據(jù)集上的最長更新時間是Amazon-4的78.4 s。UMMD算法的更新效率在插入1 000次邊的條件下,比META算法約快3個數(shù)量級。在Yeast-3上UMMD算法快1364倍,在Instacart-3上快569倍。

    表5 插入1 000條邊的更新時間Tab.5 the update time of inserting 1 000 edges

    各算法在圖上刪除1 000條邊的更新時間如表6所示。觀察實驗結(jié)果,UMMD算法的更新效率比META算法快3個數(shù)量級左右。UMMD算法比META算法在Instacart-7上快1 910倍,在Amazon-7上快944倍。

    表6 刪除1 000條邊的更新時間Tab.6 The update time of deleting 1000 edges

    UMMD算法設(shè)計了合理有效的加邊、減邊策略,縮小了更新范圍,避免了枚舉操作。相比之下,META算法的更新方案,即重新枚舉極大motif團,冗余度較高,效率較低。因為枚舉是一個時間復(fù)雜度很高的操作,重新枚舉又存在大量冗余,隨著圖更新次數(shù)的增加,META算法更新極大 motif團的時間開銷會大幅增長。例如,在加減1 000次邊時,META算法要進行相應(yīng)次數(shù)的重新枚舉。但UMMD算法基于現(xiàn)有的極大motif團進行更新操作,算法延展性良好。圖更新次數(shù)變多時,UMMD算法的更新時間增加得較平緩。

    4 結(jié)論

    針對實際應(yīng)用中異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)動態(tài)變化,且現(xiàn)有極大 motif團挖掘算法不支持高效更新的問題,本文研究面向動態(tài)異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)的極大motif團挖掘算法。本文提出了新的加邊策略、減邊策略,并設(shè)計了相應(yīng)的算法。實驗結(jié)果表明,在12個異構(gòu)信息網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集上,UMMD算法的更新效率比基礎(chǔ)算法META更加高效。例如,對圖增刪邊時,在 Amazon、Reactome、Yeast、Instacart等數(shù)據(jù)集上,UMMD算法比META算法約快2-3個數(shù)量級。

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    基于太陽影子定位枚舉法模型的研究
    認(rèn)識平面圖形
    不含2K1+K2和C4作為導(dǎo)出子圖的圖的色數(shù)
    USB開發(fā)中易混淆的概念剖析
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