水下電偶極子跟蹤定位系統(tǒng)可觀測(cè)性分析

喻 鵬，程錦房，張伽偉，肖大為

（海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院，湖北 武漢 430033）

0 引言

源于艦船腐蝕、防腐電流的水下電場(chǎng)信號(hào)是艦船目標(biāo)的重要暴露源[1-2]，可基于目標(biāo)自身的電場(chǎng)矢量信息對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位，具體應(yīng)用算法主要有解析反演和濾波估值[3-4]。

解析反演法即利用目標(biāo)電場(chǎng)的信息，采用矢量計(jì)算的方式直接求出目標(biāo)的位置信息，具有計(jì)算小，實(shí)時(shí)性好的特點(diǎn)，但受噪聲和模型誤差影響較大。目前更為有效的方式是濾波估值法，其主要是基于貝葉斯濾波框架，將目標(biāo)定位問(wèn)題建模為基于貝葉斯理論的最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題。也就是基于觀測(cè)方程和狀態(tài)方程對(duì)目標(biāo)實(shí)際狀態(tài)不斷進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)，從而獲取目標(biāo)位置、速度、航向等信息，主要算法有卡爾曼濾波和粒子濾波以及它們的衍生算法。如文獻(xiàn)[4]和[5]將擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（EKF，Extended Kalman Filter）應(yīng)用于船舶的靜電場(chǎng)跟蹤，之后文獻(xiàn)[6]又研究了電場(chǎng)傳感器陣列的排列方式和傳感器數(shù)量對(duì)電場(chǎng)目標(biāo)跟蹤誤差的影響。文獻(xiàn)[7]是基于GLRT（Generalised Maximum Likelihood Ratio Test）和蒙特卡洛準(zhǔn)則，利用水下電場(chǎng)信息對(duì)目標(biāo)位置、航向角等狀態(tài)的估計(jì)。

可以看出，上述文獻(xiàn)重點(diǎn)是從算法應(yīng)用方面評(píng)估電場(chǎng)跟蹤的效果，但是這種跟蹤效果受環(huán)境噪聲強(qiáng)度、觀測(cè)站數(shù)量、目標(biāo)模型誤差等因素影響較大。為了從理論上分析不同參數(shù)對(duì)跟蹤效果的影響，本文基于可觀測(cè)分析理論，對(duì)單觀測(cè)站條件下的電偶極子跟蹤系統(tǒng)的可觀測(cè)性和不同參數(shù)的可觀測(cè)度進(jìn)行分析，之后也對(duì)比了雙觀測(cè)站與單觀測(cè)站在可觀測(cè)度上的差異。（注意，對(duì)于潛艇等水下目標(biāo)的電場(chǎng)特征，國(guó)內(nèi)外普遍采用電偶極子模型的對(duì)其電場(chǎng)分布進(jìn)行建模[8-9]，所以文中在進(jìn)行可觀測(cè)性分析時(shí)，將目標(biāo)等效為電偶極子模型。）

1 可觀測(cè)分析理論

由于觀測(cè)方程是非線性的，所以根據(jù) Lee和Dum等人提出的可觀測(cè)定理進(jìn)行分析[10]。

如果對(duì)于凸集S∈Rn上所有x0，如果都能夠使得式（2）是正定的，則系統(tǒng)在S上是完全可觀測(cè)的。

其中

對(duì)于離散系統(tǒng)，上述結(jié)論可等價(jià)為[10-11]：對(duì)于初始集合S中的矢量Xk，記 Gramer矩陣如式（4）所示。其中：k為離散時(shí)間變量；Φ為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

其中Jacobi陣Hk具有如下形式

另外，為了度量系統(tǒng)受噪聲影響的程度，在系統(tǒng)可觀測(cè)的基礎(chǔ)上，應(yīng)該估計(jì)系統(tǒng)的可觀測(cè)度大小，可觀測(cè)度越大，該狀態(tài)量更容易估計(jì)?；谂ｎD迭代解法，可知狀態(tài)估計(jì)的協(xié)方差為

2 目標(biāo)電場(chǎng)跟蹤模型建立

由于空氣和海床的電導(dǎo)率遠(yuǎn)低于海水電導(dǎo)率，在淺海環(huán)境或者靠近海面、海床附近位置，應(yīng)該考慮界面反射對(duì)水下電場(chǎng)傳播帶來(lái)的影響[13]。但是由于這里只是對(duì)系統(tǒng)的可觀測(cè)性進(jìn)行分析，如果考慮界面反射帶來(lái)的影響會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算量大幅增加，并且由界面反射在測(cè)量點(diǎn)所產(chǎn)生的電場(chǎng)只占總場(chǎng)中的較小部分。所以本節(jié)在進(jìn)行可觀測(cè)分析時(shí)，將電場(chǎng)傳播模型近似為單層介質(zhì)模型，即不考慮界面反射帶來(lái)的影響，該近似對(duì)系統(tǒng)的可觀測(cè)性分析影響較小。

對(duì)于水下目標(biāo)，可將其等效為電偶極子模型，定義水平方向和垂直方向的電偶極子源強(qiáng)度分別為Ph和Pv。考慮到目標(biāo)常規(guī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這里假設(shè)目標(biāo)在水中固定深度進(jìn)行勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以系統(tǒng)狀態(tài)量為

根據(jù)電偶極子電場(chǎng)分布模型[14]，可知測(cè)量點(diǎn)（即觀測(cè)站）位置處的電場(chǎng)應(yīng)該為水平電偶極子源強(qiáng)度和垂直電偶極子源強(qiáng)度在該測(cè)量點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)矢量和，設(shè)定測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,h)，則該位置處的電場(chǎng)如式（10）-（12）所示。

式中：σ為海水電導(dǎo)率；θ為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方位角；D為測(cè)量點(diǎn)與電偶極子目標(biāo)之間的直線距離。

另外在計(jì)算時(shí)，將電偶極子視為穩(wěn)恒點(diǎn)電源，即電偶極子源強(qiáng)度P=I·L，I為2個(gè)點(diǎn)電極之間的等效穩(wěn)恒電流，L為2個(gè)點(diǎn)電極之間的間距，對(duì)于水平和垂直電偶極子源強(qiáng)度Ph和Pv，他們的大小可根據(jù)實(shí)際艦船的電場(chǎng)源強(qiáng)度進(jìn)行設(shè)定。

3 基于單觀測(cè)站的水下電偶極子跟蹤可觀測(cè)性分析

盡管觀測(cè)方程已經(jīng)化簡(jiǎn)，但是在求解Γ的秩時(shí)仍然運(yùn)算量很大，這里借助數(shù)學(xué)工具M(jìn)athematic軟件進(jìn)行求解，運(yùn)行結(jié)果顯示rank（Γ）=7，初步判定系統(tǒng)具有可觀測(cè)性。為了更加直觀地判定系統(tǒng)是否可觀測(cè)和其可觀測(cè)度，這里采用計(jì)算行列式|det(Γ)|的方法，當(dāng)|det(Γ)|≠0即可判定系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的，且|det(Γ)|越大，可觀測(cè)度越高。

由于未知參數(shù)較多，這里采用假設(shè)已知部分參數(shù)，研究其余參數(shù)變化時(shí)|det(Γ)|的變化規(guī)律的方法，來(lái)確定目標(biāo)（即電偶極子源）不同水平位置、垂直深度、水平和垂直電偶極子源強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)可觀測(cè)度的影響，分析結(jié)果如下所述。

3.1 目標(biāo)水平位置對(duì)可觀測(cè)度的影響

由圖 1可以看出不同水平位置x,y對(duì)應(yīng)的|det(Γ)|值是不一致的，在靠近（0，0）位置附近，|det(Γ)|較大，也就是說(shuō)目標(biāo)越靠近觀測(cè)站，系統(tǒng)的可觀測(cè)度越高，這與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一樣的。另外，也可以看出系統(tǒng)的可觀測(cè)度并不是隨著距離減小而線性增加，其變化率是趨近于指數(shù)增加，即目標(biāo)越靠近觀測(cè)站，其系統(tǒng)可觀測(cè)度增加越迅速。

圖1 不同水平位置（x,y）對(duì)應(yīng)的|det(Γ)|Fig.1 Corresponding|det(Γ)|of different horizontal locations（x,y）

3.2 目標(biāo)垂直深度對(duì)可觀測(cè)度的影響

設(shè)定除x,z以外參數(shù)的值，Ph=1 00A·m，Pv=2 0A·m，h=100m，y=50m，vx=2 m/s，vy=2 m/s，T=1s。得到如圖2所示的|det(Γ)|與x,z的關(guān)系圖，注意這里也進(jìn)行了不同y值情況下的仿真計(jì)算，得到的結(jié)果與圖 2所得的趨勢(shì)是一致的，所以圖 2具有一定的普適性。

圖2 Ph＞Pv情況下不同x,z值對(duì)應(yīng)的|det(Γ)|Fig.2 Corresponding|det(Γ)|of different locations（x,z）when Ph＞Pv

由圖 2可以看出在x=0，z=100 m位置處，|det(Γ)|最大，也即目標(biāo)越靠近觀測(cè)站系統(tǒng)可觀測(cè)度越高。單獨(dú)分析x軸和z軸變化對(duì)|det(Γ)|的影響，定義z=100 m時(shí)，x由0增大至300 m產(chǎn)生的|det(Γ)|衰減值為Δ|det(Γ)|x，x=0時(shí)，z由100 m增大至400 m產(chǎn)生的|det(Γ)|衰減值為Δ|det(Γ)|z，即對(duì)比在水平和垂直方向上同樣距離對(duì)|det(Γ)|的影響，由圖2可以看出Δ|det(Γ)|x小于Δ|det(Γ)|z，經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)這是由Ph大于Pv導(dǎo)致的，因?yàn)殡娕紭O子源強(qiáng)度水平分量大于垂直分量，導(dǎo)致|det(Γ)|在水平方向上衰減小于垂直方向上。為進(jìn)一步驗(yàn)證，將Ph和Pv均設(shè)定為100 A·m時(shí)，結(jié)果顯示|det(Γ)|在水平方向和垂直方向上的衰減速度基本是一致的，說(shuō)明水平位置和垂直深度的可觀測(cè)度分別與水平和垂直電偶極子源強(qiáng)度相關(guān)。

3.3 目標(biāo)電偶極子源強(qiáng)度對(duì)可觀測(cè)度的影響

研究電偶極子源強(qiáng)度總強(qiáng)度、水平和垂直電偶極子源強(qiáng)度相對(duì)大小對(duì)系統(tǒng)可觀測(cè)度的影響。仍然在3.1節(jié)的基礎(chǔ)上，通過(guò)改變水平和垂直電偶極子源強(qiáng)度的大小，分析|det(Γ)|的變化。圖3為將水平和垂直電偶極子源強(qiáng)度均增大為原來(lái)的10倍時(shí)對(duì)應(yīng)的det(Γ)|值減去原始det(Γ)|值得到的Δ|det(Γ)|，由于Δ|det(Γ)|變化范圍較大，所以圖中縱坐標(biāo)為Δ|det(Γ)|的對(duì)數(shù)值，當(dāng)Δ|det(Γ)|＜0時(shí)圖中應(yīng)為空白。

圖3 電偶極子源強(qiáng)度增大時(shí)對(duì)應(yīng)的 Δ|det(Γ)|Fig.3 Corresponding Δ|det(Γ)|when electric dipole source intensity is increasing

可以看出隨著電偶極子源強(qiáng)度增大，系統(tǒng)的可觀測(cè)性是增大的。另外，通過(guò)|det(Γ)|的計(jì)算公式也可以看出，|det(Γ)|與電偶極子源強(qiáng)度成明顯的正比例關(guān)系，所以增大電偶極子源強(qiáng)度強(qiáng)度，|det(Γ)|必然增大。

圖4 電偶極子源強(qiáng)度對(duì)|det(Γ)|的影響Fig.4 Effects of electric dipole’s source intensity on|det(Γ)|

由圖4（a）-（c）可以看出，當(dāng)電偶極子源強(qiáng)度逐漸由水平分量轉(zhuǎn)換為垂直分量時(shí)，會(huì)導(dǎo)致觀測(cè)站附近的可觀測(cè)度降低（圖中空白區(qū)域代表Δ|det(Γ)|＜ 0），而在其他較遠(yuǎn)位置，可觀測(cè)度增加。說(shuō)明電偶極子源強(qiáng)度水平分量和垂直分量增大對(duì)不同水平位置的可觀測(cè)度影響是不一致的，其中電偶極子源強(qiáng)度水平分量增大能夠在較大范圍內(nèi)增大系統(tǒng)的可觀測(cè)度，而電偶極子源強(qiáng)度垂直分量增大只會(huì)在目標(biāo)貼近觀測(cè)站時(shí)增大系統(tǒng)的可觀測(cè)度。另外，為分析目標(biāo)垂直深度z對(duì)Δ|det(Γ)|的影響，也在不同深度z進(jìn)行和圖4（a）-（c）一樣的仿真計(jì)算，也得到近似的結(jié)果，只是目標(biāo)與觀測(cè)站的垂直距離越小，圖4（a）-（c）中心的空白區(qū)域越大。

4 基于雙觀測(cè)站的水下電偶極子跟蹤可觀測(cè)性分析

為便于計(jì)算，這里設(shè)定觀測(cè)站2的坐標(biāo)為(d,0,h)，2個(gè)觀測(cè)站之間的距離為d（觀測(cè)站1的位置仍為(0,0,h)）。所以這里的觀測(cè)方程與單觀測(cè)站的觀測(cè)方程是一樣的，只需在計(jì)算觀測(cè)站2的測(cè)得的電場(chǎng)時(shí)，要將觀測(cè)站的坐標(biāo)改為(d,0,h)，這里省略計(jì)算過(guò)程。

由于第3節(jié)已經(jīng)分析了目標(biāo)位置和偶極子源強(qiáng)度對(duì)可觀測(cè)度的影響，所以這里只選取典型的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特征參數(shù)，分析單、雙觀測(cè)站的可觀測(cè)度差異以及雙觀測(cè)站之間的間距d對(duì)可觀測(cè)度的影響。

4.1 雙觀測(cè)站相比單觀測(cè)站的可觀測(cè)度

設(shè)定 Ph=1 00A·m，Pv=20A·m，h=100m，z=1 20m，vx=2 m/s，vy=2 m/s，T=1s。之后設(shè)定雙觀測(cè)站之間的間距d，這里首先設(shè)定d為一較小值d=2 m。分別計(jì)算基于單觀測(cè)站和雙觀測(cè)站系統(tǒng)的可觀測(cè)度，同時(shí)用后者減去前者得到可觀測(cè)度的差值Δ|det(Γ)|，圖5（a）所示。

可以看出，圖5（a）中部分區(qū)域是空白的即對(duì)應(yīng)Δ|det(Γ)|＜0，部分區(qū)域非空白即對(duì)應(yīng)Δ|det(Γ)|＞0，說(shuō)明在雙觀測(cè)站間距較近的情況下，雙觀測(cè)站的可觀測(cè)不一定大于單觀測(cè)站。主要是由于雙觀測(cè)站之間距離太近，2個(gè)觀測(cè)站所獲取的目標(biāo)信息基本一致，可觀測(cè)度并不能明顯增加。

所以繼續(xù)增大雙觀測(cè)站之間的距離d，使d=15 m，得到如圖5（b）所示的Δ|det(Γ)|差值，可以看出增大雙觀測(cè)站之間的間距后，其系統(tǒng)可觀測(cè)度在整個(gè)水平范圍內(nèi)均大于單觀測(cè)站對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)可觀測(cè)度。

圖5 雙觀測(cè)站減去單觀測(cè)站對(duì)應(yīng)的|det(Γ)|Fig.5 CorrespondingΔ|det(Γ)|when double observation station minus single observation station

4.2 雙觀測(cè)站之間的間距對(duì)可觀測(cè)度的影響

由圖5可以看出增大雙觀測(cè)站之間的間距，能夠一定程度增大系統(tǒng)的可觀測(cè)度，為進(jìn)一步研究雙觀測(cè)站之間的間距d對(duì)可觀測(cè)度的影響，進(jìn)行如下計(jì)算。設(shè)定雙觀測(cè)站的間距d分別等于10 m、20 m、50 m、100 m，以d=10 m對(duì)應(yīng)的|det(Γ)|作為基準(zhǔn)，依次用其他間距對(duì)應(yīng)的|det(Γ)|減去該基準(zhǔn)，研究Δ|det(Γ)|與d之間的關(guān)系如圖。

由圖6（a）-（c）可以看出，隨著d逐漸增大，在觀測(cè)站附近出現(xiàn)的空白區(qū)域也逐漸增大，說(shuō)明隨著d逐漸增大，會(huì)導(dǎo)致觀測(cè)站附近的系統(tǒng)可觀測(cè)度降低，而在其他較遠(yuǎn)區(qū)域的系統(tǒng)可觀測(cè)度增大。這一點(diǎn)也可以這樣理解，由于2個(gè)觀測(cè)站之間距離較大，當(dāng)目標(biāo)逐漸靠近觀測(cè)站時(shí)，必然會(huì)導(dǎo)致此時(shí)兩個(gè)觀測(cè)站所獲取的信號(hào)強(qiáng)度低于觀測(cè)站間距較小對(duì)應(yīng)的接收信號(hào)強(qiáng)度，那么其系統(tǒng)可觀測(cè)度必然會(huì)降低。所以在實(shí)際選擇觀測(cè)站之間的間距時(shí)，需要根據(jù)目標(biāo)信號(hào)的輻射區(qū)域強(qiáng)度進(jìn)行選擇。注意圖6中的空白區(qū)域不在圖像正中央是因?yàn)殡p觀測(cè)站并不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而是觀測(cè)站1始終位于原點(diǎn)位置。

圖6 不同觀測(cè)站間距d對(duì)應(yīng)的 Δ|det(Γ)|Fig.6 Δ|det(Γ)|corresponding to different distances between two observation stations

5 結(jié)束語(yǔ)

基于可觀測(cè)分析理論，分析了單觀測(cè)站條件下的水下電偶極子跟蹤定位系統(tǒng)的可觀測(cè)性，以及電偶極子水平位置、垂直深度和電偶極子源強(qiáng)度的對(duì)系統(tǒng)可觀測(cè)度的影響。之后也對(duì)比了雙觀測(cè)站與單觀測(cè)站可觀測(cè)度的差異，以及雙觀測(cè)站間距對(duì)可觀測(cè)度的影響。

綜合上述可觀測(cè)分析，可得到如下結(jié)論：1）基于單觀測(cè)站的電偶極子源跟蹤定位系統(tǒng)是可觀測(cè)的，電偶極子越靠近觀測(cè)站，系統(tǒng)的可觀測(cè)度越高；2）目標(biāo)水平位置x，y與垂直深度z的可觀測(cè)度與水平、垂直電偶極子源強(qiáng)度大小分布正相關(guān)，當(dāng)垂直電偶極子源強(qiáng)度小于水平電偶極子源強(qiáng)度時(shí)，目標(biāo)的深度信息可觀測(cè)度要低于水平位置信息，所以對(duì)于實(shí)際水下目標(biāo)（垂直電偶極子源強(qiáng)度只占目標(biāo)等效電偶極子源強(qiáng)度較小一部分），目標(biāo)垂直深度估計(jì)比水平位置估計(jì)難度更大；3）雙觀測(cè)站系統(tǒng)的可觀測(cè)度大于單觀測(cè)站系統(tǒng)的可觀測(cè)度，但是必須保證雙觀測(cè)站之間的間距較為合適，當(dāng)雙觀測(cè)站之間的間距過(guò)大時(shí)，會(huì)導(dǎo)致靠近觀測(cè)站附近的系統(tǒng)可觀測(cè)度降低。