艦艇隨船備件需求量的數(shù)學(xué)模型研究

敬 軍

（中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武漢，430064）

0 引言

在艦艇的保障工作中，備品備件供應(yīng)是保障工作的主要內(nèi)容之一，它不僅直接影響到故障裝備的及時(shí)修復(fù)，也是保障工作中經(jīng)費(fèi)投入最大的工作，有時(shí)達(dá)到壽命周期內(nèi)所有使用與維修保障經(jīng)費(fèi)的一半左右。如果不能科學(xué)合理地確定備品備件的品種與數(shù)量，將對(duì)裝備的戰(zhàn)備完好產(chǎn)生非常大的影響。艦艇出海時(shí)，備件不足會(huì)影響任務(wù)的完成，而備件數(shù)量過(guò)多，不僅會(huì)增加部隊(duì)保養(yǎng)的工作量和經(jīng)費(fèi)的浪費(fèi)，而且對(duì)于一些特殊的航行器，例如本身空間狹小的潛艇，會(huì)帶來(lái)嚴(yán)重的負(fù)面影響。因此，艦艇備件量的精確確定對(duì)提高艦艇裝備的戰(zhàn)備完好率，控制艦艇的使用和維修成本具有重要意義。

近年來(lái)，許多學(xué)者在備件保障度模型、備件最優(yōu)庫(kù)層模型等諸多方面展開(kāi)了較深入的研究[1-7]，并給出了一系列的預(yù)測(cè)備件需求量的數(shù)學(xué)模型。這些模型在計(jì)算時(shí)都需要大量的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行支撐，適用于成熟的裝備。而對(duì)于新研的裝備，特別是跟已有裝備存在較大差別的，原有經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)不能適用，其初始備件數(shù)量的計(jì)算結(jié)果往往偏離實(shí)際需要。據(jù)統(tǒng)計(jì)，有些新裝備在部署部隊(duì)初期，為了解決保障資源配套建設(shè)問(wèn)題，同步確定了備品備件的品種與數(shù)量。但經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的使用過(guò)程后發(fā)現(xiàn)，盡管配發(fā)了大量的新裝備器材，但使用的器材品種只占總品種的10%，而且還缺少10%的器材，在大量器材積壓的情況下，并沒(méi)有有效地解決好器材的保障問(wèn)題。

本文在前人的工作基礎(chǔ)上，分析現(xiàn)有的備件數(shù)量計(jì)算模型，針對(duì)艦艇隨船備件需求，建立了基于經(jīng)濟(jì)性和任務(wù)成功性的備件需求量數(shù)學(xué)模型，給出了實(shí)例計(jì)算方法，對(duì)于裝備備件數(shù)量的確定具有指導(dǎo)作用。

1 隨船備件需求量計(jì)算模型

1.1 典型備件模型

備件可用概率是指一旦需用該備件時(shí)能取得它的概率，也稱(chēng)為備件滿(mǎn)足率。備件數(shù)量與可用概率之間的關(guān)系可按非工作儲(chǔ)備模型計(jì)算。非工作儲(chǔ)備系統(tǒng)，有時(shí)也稱(chēng)為旁聯(lián)系統(tǒng)，即組成系統(tǒng)的n個(gè)單元只有1個(gè)單元工作，其余處于待命狀態(tài)。一旦工作單元發(fā)生故障，通過(guò)故障監(jiān)測(cè)裝置及轉(zhuǎn)換裝置接到另一個(gè)旁待的單元，使系統(tǒng)繼續(xù)工作。非工作儲(chǔ)備模型的可靠性框圖如圖1所示。

圖1 非工作儲(chǔ)備模型的可靠性框圖Fig.1 Reliability block diagram of non-working reserve model

當(dāng)所有單元相同，而且壽命服從指數(shù)分布，故障監(jiān)測(cè)和轉(zhuǎn)換裝置的可靠度為 1時(shí)，系統(tǒng)任務(wù)成功的概率（系統(tǒng)可靠度）服從泊松過(guò)程。其數(shù)學(xué)模型為

式中：n為系統(tǒng)非工作儲(chǔ)備單元數(shù)；λ為每個(gè)單元的故障（失效）率；K為系統(tǒng)中相同工作單元數(shù)量（單機(jī)基數(shù)）。

如果把不工作的儲(chǔ)備單元看作是備件，在工作單元有故障時(shí)都能通過(guò)換件予以排除，這樣式（1）中的任務(wù)成功概率RS（t）就是備件可用概率P（S）。當(dāng)系統(tǒng)中相同的單元有K個(gè)時(shí)，將式（1）中RS（t）表為備件可用概率P（S），并用累積泊松概率形式表達(dá)，則有：

為了便于計(jì)算，可將式（2）做成累計(jì)泊松概率曲線，如圖2，其縱坐標(biāo)值可看成備件可用概率，橫坐標(biāo)值為Kλt，而以n標(biāo)明的一組曲線，就是備件需求量。

圖2 泊松概率曲線Fig.2 Poisson probability curve

式（2）稱(chēng)為泊松備件模型，是最常用的備件模型。從式（2）可以看出，只有給出了備件可用概率，才能反推計(jì)算出備件需求量。對(duì)于研制階段的艦艇來(lái)講，由于缺乏實(shí)際使用的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，即使借鑒已有裝備的使用數(shù)據(jù)，也會(huì)因?yàn)檠b備之間的差異帶來(lái)較大的問(wèn)題，因此很難給出一個(gè)合理的備件可用概率，不能得到適當(dāng)?shù)膫浼枨罅俊?/p>

下文將從艦艇經(jīng)濟(jì)性和任務(wù)成功性的角度分別出發(fā)，建立備件可用概率的計(jì)算模型，和式（2）聯(lián)合，即可確定備件需求量。

1.2 基于經(jīng)濟(jì)性原則的備件需求量計(jì)算模型

從經(jīng)濟(jì)性角度考慮，艦艇出海時(shí)要求保證在建立和保存?zhèn)浼系幕ㄙM(fèi)是最小的。假定購(gòu)買(mǎi)和保存一個(gè)備件的花費(fèi)為c1，缺乏備件時(shí)的損失費(fèi)用為c2，備件需求分布函數(shù)為F（n）。當(dāng)儲(chǔ)備M個(gè)備件時(shí)，如果備件需求量n≤M，即備件供應(yīng)是充分的，則成本為（M－n）c1；如果備件需求量n＞M，即備件供應(yīng)不足，則損失費(fèi)用為（n-M）c2。

對(duì)于M個(gè)備件，建立備件期望費(fèi)用方程為

式中，假定備件需求分布函數(shù)F（n）滿(mǎn)足泊松分布，則F（n）和備件可用概率P（S）滿(mǎn)足下式關(guān)系

根據(jù)式（3）計(jì)算Q（S+1），有以下推導(dǎo)：

同理計(jì)算Q（S-1），可以得到：

當(dāng)備件處于最佳數(shù)量S0時(shí)，總費(fèi)用Q（S0）最小，有：

1.3 基于任務(wù)成功性的備件需求量計(jì)算模型

艦艇出海時(shí)，對(duì)于備件需求量的首要要求是能保證任務(wù)的成功性。因此對(duì)于一些不重要的、不涉及執(zhí)行任務(wù)的設(shè)備可以按照經(jīng)濟(jì)性原則來(lái)確定備件數(shù)量，但對(duì)于關(guān)重件設(shè)備或涉及任務(wù)的設(shè)備，必須從保證任務(wù)成功的角度來(lái)確定備件數(shù)量。

由于備件采購(gòu)和配置是間斷進(jìn)行的，在采購(gòu)間隔期內(nèi)，必須保證每次任務(wù)的成功，因此備件數(shù)量應(yīng)該滿(mǎn)足間隔期內(nèi)成功執(zhí)行k1次任務(wù)的需要。一般來(lái)講，對(duì)于艦艇，備件采購(gòu)間隔期可以按照1年確定，而執(zhí)行任務(wù)次數(shù)k1如果不易確定，可以間隔期最大可能值代替。

而備件可用概率可以用任務(wù)可靠度Rm來(lái)替代。任務(wù)可靠度在研制階段，通過(guò)可靠性建模、預(yù)計(jì)和分配，就已經(jīng)分解到設(shè)備層面了，其分配、預(yù)計(jì)方法詳見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)[8]，本文不加以冗述。

假定要求某艦艇執(zhí)行一項(xiàng)使命任務(wù)的成功度不低于Rm0，該任務(wù)在備件采購(gòu)或配置間隔期內(nèi)執(zhí)行k1次，則備件數(shù)量n應(yīng)滿(mǎn)足下式：

2 實(shí)例分析

已知某艦艇出海時(shí)間為30 d，執(zhí)行某項(xiàng)任務(wù)時(shí)要求可靠度不低于0.80，該任務(wù)共有7個(gè)設(shè)備以串聯(lián)關(guān)系參與，其中A設(shè)備的平均故障間隔時(shí)間（MTBF）是150 h，任務(wù)工作時(shí)間為20 h，備件成本為500元，損失費(fèi)用為10 000元，試計(jì)算船上A設(shè)備的備件數(shù)量。

3 結(jié)束語(yǔ)

1）對(duì)于新研裝備，由于缺乏大量使用數(shù)據(jù)，只能采用相似裝備的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如果新研裝備中存在較多新研設(shè)備或部件，則傳統(tǒng)的備件需求量模型不再適用，應(yīng)用本文的隨船備件需求量模型則可以相對(duì)準(zhǔn)確、合理地確定備件數(shù)量。

2）一般來(lái)講，從經(jīng)濟(jì)性原則出發(fā)確定的可用概率比任務(wù)成功性得到的要低，因此基于任務(wù)成功性的備件數(shù)量通常比經(jīng)濟(jì)角度的備件數(shù)量多。因此對(duì)于空間比較狹小的新研裝備，及不涉及任務(wù)的設(shè)備可以從經(jīng)濟(jì)性原則出發(fā)確定備件數(shù)量，在保證任務(wù)成功性的同時(shí)盡可能縮減備件數(shù)量。