HPM 視角下的中職數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)：以球體積為例

張小中

摘要：數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的研究是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要組成部分，以球體積為例設(shè)計(jì)說明HPM 視角下的中職數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)方法并在課堂實(shí)施，過程中體現(xiàn)“任務(wù)驅(qū)動，做學(xué)一體”教學(xué)理念，取得了理想的效果。呼吁更多的中職數(shù)學(xué)老師在課堂中講點(diǎn)數(shù)學(xué)史讓課堂“活”起來，期待更多的數(shù)學(xué)史融入中職數(shù)學(xué)教學(xué)的案例出現(xiàn)以供全體中職數(shù)學(xué)教師共享并選擇性地使用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;球體積;中職教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的研究是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要組成部分，是HPM領(lǐng)域的重要方向之一[1]。目前有關(guān)中職數(shù)學(xué)教材雖然有所涉及數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，但無外乎屬于課后閱讀材料;筆者在與外校的同行交流中得知有關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容融入課堂的教學(xué)也不是很理想。筆者作為一名中職數(shù)學(xué)教師，認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門對中職學(xué)生后續(xù)發(fā)展相當(dāng)重要的一門學(xué)科，探索有效的教學(xué)方式以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高課堂效率，改善目前中職數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀是每一個中職數(shù)學(xué)教師的責(zé)任。目前有關(guān)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用方式各學(xué)者提法不一，筆者認(rèn)為作為對教學(xué)方法的實(shí)踐者，應(yīng)綜合靈活運(yùn)用。下面以球體積的設(shè)計(jì)和實(shí)施為例，說明HPM視角下的中職數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)方法，拋磚引玉，期待有更多的案例開發(fā)為以后的數(shù)學(xué)課程建設(shè)提供借鑒。

在目前的大多數(shù)中職數(shù)學(xué)教材中僅對球的有關(guān)概念作簡單闡述后就直接給出球的體積公式，筆者認(rèn)為該知識點(diǎn)的給出忽視了古人推導(dǎo)其公式的思想和社會背景，對數(shù)學(xué)的文化功能（徐利治語）挖掘有失欠缺。

1.球體積推導(dǎo)歷史及其重構(gòu)

球的體積公式推導(dǎo)，這經(jīng)過了很長時間的探索。生活在古希臘的阿基米德，我國古代的劉徽、祖沖之，還有印度的婆什迦羅等對球體積的求法是不一樣的。在數(shù)學(xué)史上比較典型的有阿基米德用杠桿原理建立了球的體積與圓柱，圓錐之間的關(guān)系推導(dǎo)而出，之后他又用歸謬法證明了這一發(fā)現(xiàn)。為此，后人在他的墓碑上刻“一個球和外切圓柱”圖形，可見球的體積公式是阿基米德生前的得意之作。但其推導(dǎo)過程對于中職生來說略顯繁瑣，在課堂中對阿基米德的探索過程的話題作為激發(fā)學(xué)生探索新知的話題，課后跟有學(xué)習(xí)能力的學(xué)生繼續(xù)探討，以進(jìn)一步拓展他們的思維空間。在我國，對球體積公式的探索也很早，在東漢以前，人們實(shí)測變長為1寸的的黃金立方體和直徑為1寸的黃金球的重量，前者為16兩，后者為9兩。由此得出球近視體積公式： ，在我國《九章算術(shù)》中記載的也為該公式[2];之后魏晉時期我國杰出的數(shù)學(xué)家劉徽對該公式提出質(zhì)疑，并運(yùn)用自己的智慧提出了一個自然界不存在的“牟合方蓋”，證明上述公式的錯誤，劉徽試圖求出“牟合方蓋”體積以得到球積，但他沒有解決“牟合方蓋”的球積問題;過了兩百多年，祖沖之和他的兒子祖暅。祖氏父子繼承了劉徽的思路，即從計(jì)算“牟合方蓋”體積來突破，他們把眼光轉(zhuǎn)向立方體切除“牟合方蓋”之后的那部分的體積。但關(guān)于“牟合方蓋”以及祖暅構(gòu)造的“倒立陽馬”中職學(xué)生理解也有困難，所以本節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)鍵是利用祖暅原理構(gòu)造一個體積可求的符合原理的構(gòu)造體，此法雖然不是祖暅的的推證，但該法體現(xiàn)了他的推導(dǎo)思想，可看成“歷史的再現(xiàn)”。

2.球體積公式推導(dǎo)的教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1課題的引入

阿基米德生平簡介，其死后墓碑上刻有“圓柱容球”圖形，他得出：圓柱的體積與球體積之比、圓柱的表面積與球體的表面積之比都為 。[3]他對球體積的推導(dǎo)是怎樣的？激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣。

提問：古人為什么用不直接測量球的有關(guān)量來推導(dǎo)球體的公式呢？假如你不知道球的體積公式，你又有什么方法得出球的體積為多少呢？

以上設(shè)計(jì)意圖為教會學(xué)生分析問題需要分析當(dāng)時的時代背景，看待問題需客觀辯證，學(xué)生在以往的語文課本中學(xué)習(xí)過曹沖稱象的故事，簡接的化歸思維在生活中處理問題非常重要，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，由此引入球體積公式的推導(dǎo)。

2.2球體積公式推導(dǎo)

首先以實(shí)驗(yàn)來感性把握球的體積：取一個半徑為R的半球，再各取一個底面半徑與高都是R的圓柱桶和圓錐.先把圓錐放入圓柱桶內(nèi)，再將半球里面裝滿細(xì)沙，把這些細(xì)沙倒入圓柱桶內(nèi)，這時圓柱桶恰好裝滿.（見圖1），這個實(shí)驗(yàn)給我們什么啟示？

很明顯，學(xué)生能得出如上圓錐體積與半球體積之和為底面半徑與高都是R的圓柱體積。

以上的實(shí)驗(yàn)操作緊扣“任務(wù)驅(qū)動，做學(xué)一體”的教學(xué)理念，對中職學(xué)生尤其重要。數(shù)學(xué)知識來源于生活，應(yīng)用于生活，實(shí)踐操作不僅僅停留在工藝實(shí)習(xí)的操作中?，F(xiàn)代教學(xué)理論和實(shí)踐指出：教師應(yīng)該是教學(xué)過程的設(shè)計(jì)者、引導(dǎo)者、合作者、促進(jìn)者、評價者;教師的教學(xué)過程應(yīng)該是一種創(chuàng)造性的過程，學(xué)生應(yīng)該是在教師的引導(dǎo)下的積極參與者;課堂教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的參與度，培養(yǎng)其創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。中職學(xué)生主觀能動性的培養(yǎng)需全體教師群策群力，共同關(guān)注。

有以上感性認(rèn)識球的體積做鋪墊，我們以祖暅原理為預(yù)備知識定量推導(dǎo)球體積公式：冪勢既同，則積不容異?！皠荨奔词歉撸皟纭笔敲娣e。即夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。借助多媒體演示介紹祖暅原理，展示我國古代數(shù)學(xué)成績，可以激發(fā)學(xué)生民族自豪感。

其實(shí)該原理在初中階段已經(jīng)滲入，如圖2（1），若 ，則 。在幾何中“點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體”，兩個幾何體夾在兩平行平面中間，可以理解為這兩個幾何體平行面間的的高度相等。兩平行面之間的距離一定，若視距離為一條線段，那么這個距離上就有無數(shù)個點(diǎn)，過一個點(diǎn)，可以畫出一個平行于兩平行面的截面，若兩幾何體在被過每一點(diǎn)的平行截面截出的截面面積兩兩相等，則說明兩幾何體在同一高度下的每兩個截面上的點(diǎn)的數(shù)量相同。有無數(shù)個截面，同一高度每兩個幾何體的截面上的點(diǎn)的數(shù)量相同，則說明，這兩個幾何體所擁有的點(diǎn)數(shù)量相同，那么也就是說，它們的體積相同。如圖2（2）我們可知三柱體體積相等，對于中職學(xué)生盡量用通俗易懂符合他們原先認(rèn)知能力的語言來理解祖暅原理。

要利用祖暅原理推導(dǎo)球的體積，關(guān)鍵是尋求構(gòu)造一個體積可求的符合原理的條件參照體，這樣的參照幾何體好不好找呢？引導(dǎo)學(xué)生，祖暅原理為探求的過程提供了一個目標(biāo)：首先這個參照幾何體的體積是可求的，其次把該幾何體與半球在兩平行空間放置它在每個“高度”的的截面積與半球在每個“高度”的截面積應(yīng)該是相等的。那么，我們首先把半球水平放置，截一截面。（如圖3）

中職學(xué)生對抽象的字母比較難理解，在題目中字母出現(xiàn)一多，在運(yùn)算的過程中他們難免心浮氣躁，所以在此我們不妨把截面距水平的距離先設(shè)置為特殊的1，求截面的面積，我們首先需要求其半徑，由圖3可直觀得出： ，從而 ，該形式很容易使人想到外圓半徑為 ，內(nèi)圓半徑為1的圓環(huán)面積，由于有以上實(shí)驗(yàn)結(jié)論，我們很容易聯(lián)想到與半球在同一水平空間的半徑為 的圓柱體和倒置圓錐。（如圖4）

對于構(gòu)造參照幾何體的過程，可引導(dǎo)學(xué)生思考先尋求一個或多個與半球體積相等的已學(xué)的易求幾何體體積，這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)新精神。

由圖4可得在圓柱體中 ，所以 為等腰直角三角形，所以 ， ，對此，我們思考，假如截面距地面距離為 呢？是不是一樣成立呢？

答案是顯然的，由此我們根據(jù)祖暅原理得到半球的體積等于（如圖4）圓柱體積與倒立圓錐之差。

有特殊到一般有助于培養(yǎng)中職學(xué)生的自信心以及增強(qiáng)他們參與教學(xué)的興趣，在此過程中，引導(dǎo)學(xué)生的思維層層推進(jìn)，最終體現(xiàn)“歷史的再現(xiàn)”，他們能體會到成功的喜悅。

3.課堂實(shí)施及課后訪談

課堂中學(xué)生表現(xiàn)出很強(qiáng)的求知欲，課堂氣氛活躍，與未進(jìn)行該教學(xué)設(shè)計(jì)的班級相比課后作業(yè)完成情況明顯偏好。學(xué)生對公式的記憶非常熟練，有被問住一下答不上的同學(xué)也不慌不忙，能畫出一倒置圓錐于柱，然后大體積減小體積即為球體積的一半。對球體積公式的鞏固例題及練習(xí)如下：

例1.若機(jī)械加工車間要加工某個球體零件，現(xiàn)有一段長底半徑為5cm，側(cè)棱長10cm的實(shí)心圓柱鋼，試問怎么樣加工才使得加工鋼材料得到最大限度利用？需要廢棄掉多少鋼材？（鋼的密度為7.85 ）

解：該題要使得鋼材料最大限度利用加工完美的球體，即使得球內(nèi)切與圓柱體即可（如圖5）。

例題鞏固：若機(jī)械加工車間要利用現(xiàn)有的半徑為5cm球體加工某個圓柱體零件，試問怎么樣加工才使得加工鋼材料得到最大限度利用？需要廢棄掉多少鋼材？（鋼的密度為7.85 ）

數(shù)學(xué)史的融入喚醒了他們的應(yīng)用意識，課堂完成度較好。作為教師，選取符合學(xué)生認(rèn)知的數(shù)學(xué)史知識展示知識形成和發(fā)展過程，為學(xué)生提供了感受數(shù)學(xué)文化和體驗(yàn)學(xué)習(xí)過程的機(jī)會，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得新知，培養(yǎng)能力，發(fā)展情感是為新課程標(biāo)準(zhǔn)課程理念的要求[4]。課后還有些學(xué)生提出了球的表面積怎么求，是不是可以像前所學(xué)柱體等一樣展開，對此，教師設(shè)問球表面能展開成規(guī)則的平面圖形么？然后引導(dǎo)性地告訴他們球體表面積需要運(yùn)用到極限思想分割球體表面然后看成是錐體底面（如圖6），類比在求圓的面積公式中無限分割組成矩形求面積。大部分學(xué)生能理解且運(yùn)算得出球的表面積公式。學(xué)生通過學(xué)習(xí)球的體積公式能“數(shù)學(xué)式地思考”球表面積問題，體現(xiàn)了HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施中貫徹了“教”為“學(xué)”服務(wù)的原則。

至此，本節(jié)內(nèi)容把球的體積與表面積公式完美地聯(lián)系在了一起，從而能解釋本節(jié)內(nèi)容書本一開始就“莫名其妙”展示的阿基米德所發(fā)現(xiàn)的“圓柱容球”比例問題。

4.結(jié)論

從中職學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)現(xiàn)狀出發(fā)，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)動機(jī)。本節(jié)HPM視角下的球體積教學(xué)產(chǎn)生了理想的效果，受到了學(xué)生的喜愛。建議市教委在市級教研活動或市級培訓(xùn)中邀請數(shù)學(xué)史專家對中職數(shù)學(xué)教師進(jìn)行數(shù)學(xué)史教育培訓(xùn)，并把此作為一項(xiàng)常態(tài)化工作;呼吁更多的中職數(shù)學(xué)老師在課堂中講點(diǎn)數(shù)學(xué)史讓課堂“活”起來，期待更多的數(shù)學(xué)史融入中職數(shù)學(xué)教學(xué)的案例出現(xiàn)以供全體中職數(shù)學(xué)教師共享并選擇性地使用。

參考文獻(xiàn)：

[1]汪曉勤，張小明.HPM 的研究內(nèi)容與方法[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，15（1）.

[2]單墫.數(shù)學(xué)名詞詞典[M].南京：江蘇教育出版社，2002.

[3]康士凱、王海平主編.中等職業(yè)學(xué)校試用本數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2015.

[4]上海市教育委員會.上海市中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].華東師范大學(xué)出版社，2015.