深度學(xué)習(xí)視域下圓錐曲線單元教學(xué)研究

馬愛祥

引言：隨著課程改革的深入落實(shí)，素質(zhì)教育理念深入人心，為了提高課堂教學(xué)效果，需要從深度學(xué)習(xí)角度出發(fā)，運(yùn)用有效教學(xué)方法，革新教學(xué)模式。單元教學(xué)具有系統(tǒng)性、整體性等特點(diǎn)，可以讓學(xué)生從單元整體角度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)其深度思維。圓錐曲線在高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中十分重要，因此下文重點(diǎn)針對此部分教學(xué)內(nèi)容的單元教學(xué)實(shí)踐路徑深度分析。在深度學(xué)習(xí)理念的指導(dǎo)下，通過單元教學(xué)設(shè)計(jì)，用整體化方式幫助學(xué)生找到知識(shí)規(guī)律，形成創(chuàng)造思維，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，逐漸將單元教學(xué)實(shí)踐過程加以完善。圓錐曲線這一章節(jié)，主要是利用坐標(biāo)法找到數(shù)形關(guān)系，聯(lián)系代數(shù)、幾何問題，利用平面幾何思想解決問題，關(guān)系著學(xué)生核心素養(yǎng)的形成。因此，如何對本單元內(nèi)容進(jìn)行綜合設(shè)計(jì)，輔助學(xué)生深度學(xué)習(xí)為教師考慮的要點(diǎn)。

一、明確單元內(nèi)容

應(yīng)用深度學(xué)習(xí)理念，展開圓錐曲線的單元教學(xué)，教學(xué)內(nèi)容的明確為首要環(huán)節(jié)，也是單元教學(xué)起始工作，又是教學(xué)效果評價(jià)的落腳點(diǎn)。結(jié)合圓錐曲線部分內(nèi)容重點(diǎn)知識(shí)，梳理單元教學(xué)內(nèi)容，包括圓錐曲線來源、第一定義、第二定義、方程推導(dǎo)、相關(guān)性質(zhì)，還包括圓錐曲線、直線二者之間位置關(guān)系，最后還要求學(xué)生掌握圓錐曲線在生活當(dāng)中的應(yīng)用。

講授圓錐曲線、方程相關(guān)內(nèi)容時(shí)，在數(shù)學(xué)概念、模型的講解方面可以利用信息技術(shù)，將數(shù)學(xué)知識(shí)可視化。比如：當(dāng)學(xué)生通過推導(dǎo)過程，判斷兩點(diǎn)距離和是定值以后，點(diǎn)的軌跡就能利用幾何畫板繪制出來，讓學(xué)生形象記憶。同樣，在講授圓錐曲線的統(tǒng)一定義過程當(dāng)中，還可以創(chuàng)建情境，同樣利用信息技術(shù)，展示被切割的圓錐，之后對切割面曲線進(jìn)行觀察，使數(shù)學(xué)知識(shí)能夠可視化。除此之外，教師還可運(yùn)用信息技術(shù)講解本單元重點(diǎn)，幫助學(xué)生直觀展示模棱兩可的數(shù)學(xué)概念。

二、梳理單元要素

圓錐曲線這一單元的教學(xué)要素可以根據(jù)數(shù)學(xué)課標(biāo)中對核心素養(yǎng)方面的要求進(jìn)行設(shè)定，具體內(nèi)容如下：第一，數(shù)學(xué)要素，因?yàn)閳A錐曲線屬于二次曲線數(shù)學(xué)模型，此部分知識(shí)重要性可以通過物理學(xué)科行星運(yùn)動(dòng)軌跡的判斷或者光學(xué)儀器的制造等方面而判斷出來。與此同時(shí)，圓錐曲線也屬于解析幾何領(lǐng)域重要分支，無論是其數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，還是利用代數(shù)法求解具體問題都十分關(guān)鍵。

第二，課程標(biāo)準(zhǔn)要素分析，課標(biāo)要求學(xué)生掌握圓錐曲線在實(shí)際問題解決中的運(yùn)用，通過建立方程（包括直線、橢圓、圓、拋物線、雙曲線）的方式而呈現(xiàn)。在2017版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)當(dāng)中要求，學(xué)生需要掌握圓錐曲線背景知識(shí)，體會(huì)其對現(xiàn)實(shí)世界刻畫與解決問題環(huán)節(jié)作用。學(xué)習(xí)橢圓知識(shí)以后，可以從實(shí)際情境當(dāng)中理解橢圓定義，掌握標(biāo)準(zhǔn)方程，記憶簡單性質(zhì)。學(xué)習(xí)雙曲線以后，同樣應(yīng)該掌握其定義標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何圖像、性質(zhì)等。學(xué)習(xí)拋物線以后，需要了解其定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何圖像，可以應(yīng)用拋物線和橢圓知識(shí)解決實(shí)際問題，感受數(shù)形結(jié)合思想，能夠在坐標(biāo)系當(dāng)中建立方程，融合向量法和綜合法之間的關(guān)聯(lián)，將立體幾何相關(guān)問題解決。

第三，教材要素，因?yàn)榻滩氖菍W(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的重要載體。在教材當(dāng)中，存在“閱讀與思考”模塊。教師通過梳理教材內(nèi)容，可利用配方法，將二次函數(shù)變形，之后移項(xiàng)就可以獲得拋物線方程模型，學(xué)生能夠清晰地看到二次函數(shù)屬于一種拋物線，對于數(shù)學(xué)知識(shí)建立整體認(rèn)知。

三、設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)

在單元整體教學(xué)過程當(dāng)中，應(yīng)該統(tǒng)籌考慮單元教學(xué)目標(biāo)，并將教學(xué)目標(biāo)劃分層次，細(xì)化到每一節(jié)課，引領(lǐng)教學(xué)過程。首先，從課程目標(biāo)的設(shè)定角度分析，應(yīng)該保證目標(biāo)的設(shè)定能夠推動(dòng)學(xué)生思考，使其達(dá)到既定的預(yù)期目標(biāo)。課標(biāo)當(dāng)中對于圓錐曲線這部分內(nèi)容的目標(biāo)要求為“可以了解和圓錐曲線相關(guān)的知識(shí)，并且聯(lián)系生活，感受其應(yīng)用價(jià)值;能夠從實(shí)際情境當(dāng)中，將圓錐曲線的概念抽象出來，知曉其定義、性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程;可以利用代數(shù)法，借助平面坐標(biāo)系將幾何問題解決，通過代數(shù)方法求解幾何問題，了解數(shù)形結(jié)合思想和方法，掌握圓錐曲線定義的統(tǒng)一性”。

其次，從單元教學(xué)目標(biāo)角度分析，可以先將教學(xué)主題確認(rèn)，之后將單元具體教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行明確，教學(xué)目標(biāo)為教學(xué)過程涉及的決定性因素。同時(shí)，教學(xué)以后還需要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)評價(jià)教學(xué)成果。對于本單元內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合這一思想的滲透極為重要，但是也應(yīng)該關(guān)注核心素養(yǎng)的滲透。教學(xué)過程，要求學(xué)生能夠感受知識(shí)背景，通過作圖的方式，抽象出圓錐曲線定義，推導(dǎo)出其方程和幾何性質(zhì)和具體應(yīng)用。從數(shù)學(xué)知識(shí)目標(biāo)的設(shè)定分析，要求學(xué)生了解圓錐曲線背景知識(shí)，可以從情境當(dāng)中將其概念抽象出來，并且了解圓錐曲線定義、方程、簡單性質(zhì)，明確圓錐曲線之間的統(tǒng)一性。從數(shù)學(xué)思想角度分析，學(xué)生應(yīng)該通過直線、圓位置關(guān)系，類比并且解決直線、圓錐曲線之間位置關(guān)系;方程建立以后，應(yīng)該感受函數(shù)思想運(yùn)用方式，學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想，利用幾何直觀方式求解代數(shù)問題。從核心素養(yǎng)角度分析，學(xué)生應(yīng)該掌握邏輯推理、建模、抽象、運(yùn)算等能力。

最后，從課時(shí)教學(xué)的目標(biāo)設(shè)定分析，教師需要逐層分解，將具體目標(biāo)落實(shí)到每節(jié)課當(dāng)中，通過課堂延伸與拓展，升華主題，保證教學(xué)目標(biāo)設(shè)定的彈性。

四、完善教學(xué)流程

（一）情境設(shè)計(jì)

教學(xué)過程的情境化，主要指的是將教學(xué)情境貫穿于整個(gè)教學(xué)過程，并將單元所有重點(diǎn)知識(shí)融合于情境當(dāng)中，將教學(xué)情境作為切入點(diǎn)，逐漸引出圓錐曲線相關(guān)知識(shí)。可以從幾何體切割呈現(xiàn)出的圓錐曲線方面出發(fā)，來完成課堂情境的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生感受到圓錐曲線問題具有統(tǒng)一的來源，進(jìn)而引發(fā)其思考，產(chǎn)生探究欲望。教師在情境中提問“圓錐曲線擁有統(tǒng)一來源，那么其方程、定義等方面是否統(tǒng)一？”通過這一問題讓學(xué)生思考，在教學(xué)情境當(dāng)中描述問題本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已掌握的知識(shí)基礎(chǔ)，完成概念建構(gòu)，形成發(fā)散思維。

比如：課堂當(dāng)中，教師可以創(chuàng)設(shè)如下情境“怎樣使用同一個(gè)平面來截兩個(gè)大小相同、頂角相對組合圓錐結(jié)合體？”要求學(xué)生在問題指引之下，利用動(dòng)手操作或者用手切割橡皮泥的方式，組合幾何體。學(xué)生在隨意截取之后，對于截面圖形進(jìn)行觀察，之后小組合作解決問題，相互交流學(xué)習(xí)成果。部分學(xué)生截這個(gè)圓錐體之后，可能得到橢圓，也有可能得到圓、拋物線或者雙曲線。如果幾何體截取角度不同，那么就可切割成不同圖形。如果截面與圓錐底面相互平行，那么截面就是圓;如果截面、圓錐底面或者之間存在夾角，同時(shí)和圓錐相交時(shí)，截面即為橢圓;如果截面和兩個(gè)圓錐都相交，就有可能得到雙曲線、拋物線。教師可以通過信息技術(shù)，利用幾何畫板將具體的截取過程進(jìn)行演示，通過拖動(dòng)將平面、圓錐二者相交情況改變，使學(xué)生對圓錐曲線相關(guān)知識(shí)的統(tǒng)一性有真實(shí)的體會(huì)。展示以后教師還可以將數(shù)學(xué)文化滲透于課堂，利用數(shù)學(xué)家的故事激勵(lì)學(xué)生，使其了解圓錐曲線知識(shí)的起源，達(dá)到深層次學(xué)習(xí)目的。

（二）問題設(shè)計(jì)

在單元教學(xué)設(shè)計(jì)當(dāng)中，問題可謂是教學(xué)過程的要點(diǎn)所在，教師在情境當(dāng)中提問，讓問題能夠貫穿教學(xué)始末。需要注意，問題的設(shè)計(jì)并非單純指代某一句話，需要保證問題具備拓展性，這樣才可輔助學(xué)生解決問題。通過情境觀察，學(xué)生可能看到圓錐曲線這類問題可能存在統(tǒng)一性特點(diǎn)，因?yàn)閳D形的來源相同。對此，教師可以提問“同學(xué)們還知道圓錐曲線知識(shí)具有哪些統(tǒng)一性呢？”部分學(xué)生猜測“性質(zhì)統(tǒng)一”，還有的認(rèn)為“方程統(tǒng)一”或者“數(shù)形結(jié)合”思想統(tǒng)一，教師可以根據(jù)學(xué)生實(shí)際回答情況，給出評價(jià)，之后引導(dǎo)學(xué)生從性質(zhì)方面對于統(tǒng)一性進(jìn)行研究。之后拋出問題“同學(xué)們知道拋物線是怎樣定義的嗎？”學(xué)生根據(jù)原有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，回答“動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F（不在定直線L上）與到定直線L距離相等點(diǎn)軌跡即為拋物線”此時(shí)教師及時(shí)引導(dǎo)“到定點(diǎn)與到直線距離比等于1屬于特殊情況，還有大量不等于1的情況存在，如果使用比例關(guān)系的形式表示，若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)至定直線距離（e）不是1，那么點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)該是怎樣的？”之后要求學(xué)生分組討論，教師利用幾何畫板建立模型，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線距離的比值小于1的時(shí)候，學(xué)生可以看到圖形就是橢圓;如果比值和1相等，即為拋物線。上述知識(shí)學(xué)生已經(jīng)接觸過，基于此，教師可以繼續(xù)提問“同學(xué)們想一想，是否能夠通過點(diǎn)到點(diǎn)與到直線距離不屬于相同范圍這一現(xiàn)象，將圓錐曲線的定義推導(dǎo)出來？”指引學(xué)生通過解析式的方法進(jìn)行推導(dǎo)，保證問題設(shè)計(jì)和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律相符，引導(dǎo)其解決核心問題。課堂問題的設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)，在情境之下給出猜想，利用幾何畫板完成特殊曲線的繪制，學(xué)生通過直觀觀察，判斷點(diǎn)移動(dòng)過程，根據(jù)意e值情況進(jìn)行判斷，當(dāng)e>1時(shí)為拋雙曲線;當(dāng)e=1時(shí)為拋物線，當(dāng)0