基于距離較差法控制點(diǎn)穩(wěn)定性分析

李秉乾，邸國輝，褚成鳳，郭際明，萬年鋒

（1.湖北省水利水電規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)院，湖北 武漢 430064；2.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢 430079）

鄂北地區(qū)水資源配置工程是為解決鄂北地區(qū)干旱缺水問題的一項(xiàng)大型水資源配置工程，由于工程建設(shè)周期較長，施工區(qū)域條件復(fù)雜，GNSS 控制網(wǎng)容易發(fā)生點(diǎn)位移動(dòng)，需要定期復(fù)測(cè)控制點(diǎn)，以判斷其是否穩(wěn)定。

常用的控制點(diǎn)單點(diǎn)穩(wěn)定性分析方法有坐標(biāo)較差法、距離較差法、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)法、變形誤差橢圓法[1]。在已有的方法中，沒有考慮同一個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)分量的協(xié)方差以及不同控制點(diǎn)之間的協(xié)方差[2-7]。本文在三維無約束平差的基礎(chǔ)上，顧及控制點(diǎn)坐標(biāo)分量間方差和協(xié)方差進(jìn)行分析計(jì)算，進(jìn)而對(duì)控制點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

1 固定一點(diǎn)一方向平差

GNSS 網(wǎng)的約束平差中所采用的觀測(cè)量為GNSS基線向量，同時(shí)引入了會(huì)使GNSS 網(wǎng)的尺度和方位發(fā)生變化的外部起算數(shù)據(jù)。引入邊長、方向或兩個(gè)及兩個(gè)以上的起算點(diǎn)坐標(biāo)，可能會(huì)使GNSS 控制網(wǎng)的尺度或方位發(fā)生變化。GNSS 網(wǎng)的約束平差常被用于實(shí)現(xiàn)GNSS 控制網(wǎng)由基線解算時(shí)所用的特定參考系的轉(zhuǎn)換。

固定一點(diǎn)一方向平差，即在二維投影面上，引入一個(gè)起算點(diǎn)的坐標(biāo)和一條基線的方位角，進(jìn)行約束平差。采用兩期觀測(cè)的同名基線求差，根據(jù)相對(duì)中誤差最小準(zhǔn)則，確定平差基準(zhǔn)。GNSS 三維基線向量在WGS-84 坐標(biāo)系下經(jīng)三維無約束平差后，將GNSS 點(diǎn)的三維坐標(biāo)投影到工程橢球所對(duì)應(yīng)高斯平面上。設(shè)地面固定點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系下的平面坐標(biāo)為(x0′ ,y0′)，此點(diǎn)對(duì)應(yīng)高斯投影后的平面坐標(biāo)為(x0,y0)，特定方向方位角為α0′1，其對(duì)應(yīng)由高斯投影后平面坐標(biāo)反算的方位角為α01，那么各GNSS 點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系下的平面坐標(biāo)為：

式中，xi′、yi′為GNSS 點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系中的平面坐標(biāo)；xi、yi為三維無約束平差后轉(zhuǎn)換得到的工程橢球所對(duì)應(yīng)高斯平面直角坐標(biāo)。上式即為工程GNSS 網(wǎng)固定一點(diǎn)一方向平差的函數(shù)模型。

由協(xié)方差傳播定律可知，將WGS84 空間直角坐標(biāo)系下的GNSS 三維基線向量協(xié)方差陣的隨機(jī)信息傳遞到工程獨(dú)立平面坐標(biāo)系的過程如下：

1）經(jīng)三維無約束平差后，將GNSS 三維基線向量的協(xié)方差矩陣DΔXΔYΔZ轉(zhuǎn)化為大地坐標(biāo)的協(xié)方差矩陣DBLH；

2）經(jīng)高斯正算得到各GNSS 點(diǎn)在工程橢球所對(duì)應(yīng)的高斯平面坐標(biāo)，大地坐標(biāo)的協(xié)方差矩陣DBLH也轉(zhuǎn)化為高斯平面坐標(biāo)的協(xié)方差矩陣Dxy；

3）高斯平面坐標(biāo)向工程獨(dú)立坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，得到工程獨(dú)立坐標(biāo)系下坐標(biāo)的協(xié)方差矩陣Dxy′ ；

4）工程獨(dú)立坐標(biāo)系下，坐標(biāo)的協(xié)方差矩陣Dxy′ 轉(zhuǎn)換為獨(dú)立坐標(biāo)系下二維基線向量的協(xié)方差矩陣DΔ′xΔy。

綜上，獨(dú)立平面坐標(biāo)系下二維基線向量的協(xié)方差的獲得過程即為：DΔXΔYΔZ→ DBLH→ Dxy→ Dx′y→ DΔ′xΔy，則有：

式中，Ra、RG、R 分別為大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、高斯投影、平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換對(duì)應(yīng)的參數(shù)矩陣。在獨(dú)立坐標(biāo)系下，GNSS 二維基線向量參與最小二乘平差，其隨機(jī)模型DΔxΔ′y′也同時(shí)按照協(xié)方差傳播定律來進(jìn)行變換，并由此可對(duì)GNSS網(wǎng)一點(diǎn)一方向平差結(jié)果的精度進(jìn)行評(píng)定。

2 距離較差法

2.1 經(jīng)典的距離較差法

對(duì)于某一平差網(wǎng)中的2 個(gè)控制點(diǎn)A、B，假設(shè)A點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn)，B 點(diǎn)為待定點(diǎn)，兩期邊長觀測(cè)值之差：，ΔSAB的中誤差為：實(shí)際測(cè)量中常以儀器標(biāo)稱精度mD為中誤差，即：mD=a+b×S，其中a 為固定誤差，b 為比例誤差，S為基線長度。

該方法適用于控制點(diǎn)單點(diǎn)穩(wěn)定性分析。

2.2 平面方向穩(wěn)定性分析新方法

對(duì)于某一平差網(wǎng)中的2 個(gè)控制點(diǎn)A、B，其坐標(biāo)分別為（XA,YA）和（XB,YB），這2 個(gè)控制點(diǎn)之間的方差協(xié)方差矩陣為：

此處控制點(diǎn)的協(xié)方差矩陣由COSAGPS 定制版軟件輸出，具體實(shí)現(xiàn)如下：

用戶自定義輸入點(diǎn)對(duì)信息文件：

文件名稱：項(xiàng)目名.GNSS2dPointPairInFile1

文件結(jié)構(gòu)：每行輸入一對(duì)點(diǎn)，以空格分隔。

進(jìn)行固定一點(diǎn)一方向平差，得到輸入點(diǎn)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的方差-協(xié)方差輸出結(jié)果文件：

文件名稱：項(xiàng)目名.GNSS2dPointPairCovOutFile1

文件結(jié)構(gòu)：一對(duì)點(diǎn)的名稱占一行，后續(xù)4 行是這2 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的4×4 的方差協(xié)方差矩陣（單位：mm）。

控制點(diǎn)A、B 之間的距離如下：

對(duì)函數(shù)式求全微分得：

將微分關(guān)系式寫成矩陣形式：dSAB=KdL

其中，

應(yīng)用協(xié)方差傳播律，即可求得：

當(dāng)A 為固定一點(diǎn)一方向平差中的固定點(diǎn)時(shí)，與A 相關(guān)的方差協(xié)方差均為零，此時(shí)上式可化簡(jiǎn)為：

式中，σXYBB為控制點(diǎn)B 的X、Y 坐標(biāo)分量之間的協(xié)方差。

對(duì)于GNSS 控制網(wǎng)中的兩個(gè)同名控制點(diǎn)A、B，其第一期觀測(cè)平差后坐標(biāo)為和，這2 個(gè)控制點(diǎn)之間的方差協(xié)方差矩陣為：

因此有第一期觀測(cè)得到的AB 邊的方差：

式中，

第二期觀測(cè)得到AB 邊的方差：

式中，

兩期觀測(cè)的邊長觀測(cè)值之差：

3 具體算例

鄂北地區(qū)水資源配置工程的某段帶狀控制網(wǎng)，長度約16 km，建網(wǎng)于2015 年12 月間觀測(cè)了67 個(gè)控制點(diǎn)；2016 年復(fù)測(cè)了65 個(gè)控制點(diǎn)，其中58 個(gè)控制點(diǎn)是建網(wǎng)時(shí)觀測(cè)的控制點(diǎn)，7 個(gè)控制點(diǎn)為新增觀測(cè)點(diǎn)。

對(duì)于控制點(diǎn)在平面方向上的穩(wěn)定性，此處利用整個(gè)廣水段的58 個(gè)同名控制點(diǎn)進(jìn)行研究。采用兩期觀測(cè)的同名基線求差，根據(jù)相對(duì)中誤差最小準(zhǔn)則，以3 550 點(diǎn)作為固定點(diǎn)，基線3 550-129 的方向作為固定方向，對(duì)GNSS 衛(wèi)星觀測(cè)的基線數(shù)據(jù)進(jìn)行固定一點(diǎn)一方向平差，得到2016 年觀測(cè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)和2015 年建網(wǎng)觀測(cè)坐標(biāo)。

計(jì)算兩期基線之差，分別采用同時(shí)顧及方差和協(xié)方差的全協(xié)方差陣法、只考慮方差的距離較差法和經(jīng)典的距離較差法對(duì)控制點(diǎn)的點(diǎn)位位移作穩(wěn)定性分析，經(jīng)典的距離較差法的基線中誤差為5 mm+1 ppm，不同距離較差法的△S 中誤差見圖1，距離較差法的穩(wěn)定性分析結(jié)果見表1。

圖1 不同距離較差法的△S 中誤差分布圖

表1 距離較差法的穩(wěn)定性分析結(jié)果

基于全協(xié)方差新方法和不考慮協(xié)方差的方法計(jì)算得到的△S 中誤差相差不多，不穩(wěn)定點(diǎn)均為2 383、131、134 和3 556。用經(jīng)典的距離較差法與基于全協(xié)方差新方法得到的△S 中誤差相差90%，不穩(wěn)定點(diǎn)僅有3 556。

4 結(jié) 語

本文對(duì)鄂北地區(qū)水資源配置工程的某段帶狀控制網(wǎng)兩期觀測(cè)的GNSS 數(shù)據(jù)進(jìn)行解算，并利用COSAGPS軟件進(jìn)行固定一點(diǎn)一方向平差，根據(jù)兩期平差結(jié)果對(duì)同名控制點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，結(jié)果表明控制網(wǎng)中控制點(diǎn)2383、131、134 和3556 不穩(wěn)定，其他點(diǎn)穩(wěn)定。

針對(duì)基于協(xié)方差陣、不考慮協(xié)方差的距離較差法與經(jīng)典方法對(duì)比，發(fā)現(xiàn)前2 種方法得到的中誤差、限差相差不大，但均明顯小于經(jīng)典方法，基于全協(xié)方差陣的距離較差法可以減小將不穩(wěn)定點(diǎn)誤判為穩(wěn)定點(diǎn)的可能性。