一類二自由度非線性能量阱系統(tǒng)的減振性能分析1)

楊一帆 王紅兵 李國(guó)芳 丁旺才

(蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，蘭州730070)

在工業(yè)生產(chǎn)中，振動(dòng)會(huì)引起多種不利影響，它可能會(huì)導(dǎo)致設(shè)備的精度下降，影響設(shè)備的正常工作，甚至導(dǎo)致設(shè)備結(jié)構(gòu)的疲勞破壞。近年來(lái)，一種吸振裝置非線性能量阱(nonlinear energy sink， NES) 引起了工程師和學(xué)者的關(guān)注。它具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可靠性高、不需要額外能源等優(yōu)點(diǎn)，在振動(dòng)抑制方面具有良好的應(yīng)用前景。

非線性能量阱具有可實(shí)現(xiàn)靶能量傳遞[1]的特性，可以將主結(jié)構(gòu)中的能量通過(guò)非線性剛度快速傳遞給附加結(jié)構(gòu)，附加結(jié)構(gòu)中阻尼將能量耗散，使其不會(huì)返還到主結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到吸振效果。熊懷等[2-3]研究了阻尼對(duì)耦合NES 系統(tǒng)影響，得出其具有吸振能力時(shí)線性振子阻尼的有效范圍。文獻(xiàn)[4]提出了沖擊吸振器在周期和瞬態(tài)激勵(lì)下的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。Javidialesaadi等[5]提出一種帶有慣容器的NES。二自由度的NES也有研究，孔憲仁等[6]推導(dǎo)了二自由度NES 系統(tǒng)在主共振附近的慢變模型，對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)類型進(jìn)行預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)二自由度NES 在強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)段的振動(dòng)抑制效果更好。Gendelman 等[7]研究發(fā)現(xiàn)二自由度NES 吸振效率更高。劉良坤等[8]運(yùn)用復(fù)變量平均法、多尺度分析法結(jié)合吸引點(diǎn)方程得到非線性能量阱在基底簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的最優(yōu)剛度。劉艮等[9]建立非線性能量阱與薄板的耦合動(dòng)力學(xué)模型，以研究NES 在懸臂結(jié)構(gòu)中的吸振性能，研究表明在位移響應(yīng)最大的位置處效果最佳。王菁菁等[10]提出一種單邊碰撞軌道的非線性能量阱，發(fā)現(xiàn)其有良好的吸振效果，且對(duì)NES 的剛度和阻尼都有較好的魯棒性。Tsiatas 等[11]研究了一種新型滯回非線性能量阱(hysteretic nonlinear energy sink， HNES)的吸振性能，其在較寬的初始能量范圍內(nèi)表現(xiàn)出良好的吸振性能。Zang 等[12]將杠桿原理與非線性能量阱結(jié)合，以減小系統(tǒng)的附加質(zhì)量，并將該NES 附加在簡(jiǎn)化的航天器二自由度模型上，運(yùn)用交流頻率與時(shí)間諧波平衡法預(yù)測(cè)了能量傳遞率隨激勵(lì)頻率變化趨勢(shì)。

本文闡述一類新型二自由度非線性減振器的構(gòu)造及動(dòng)力學(xué)方程、非線性實(shí)現(xiàn)原理；采用數(shù)值仿真對(duì)系統(tǒng)的減振效果進(jìn)行了分析，并與單自由度非線性能量阱進(jìn)行了比對(duì)。

1 系統(tǒng)模型

本文所研究的系統(tǒng)如圖1 所示。

圖1 新型NES 結(jié)構(gòu)模型

左側(cè)為系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)，質(zhì)量塊m0由彈簧k0和阻尼c0連接于固定面，右側(cè)為NES 吸振器，質(zhì)量塊m1由彈簧k1和阻尼c1連接于主結(jié)構(gòu)，質(zhì)量塊m2由彈簧k2和阻尼c2與m1相連。

圖1 中x0，x1和x2分別為主結(jié)構(gòu)的位移和NES方形結(jié)構(gòu)和小球的位移，其中主結(jié)構(gòu)受到外力為f，其值為F sin(wt)。

將圖1 中NES 部分單獨(dú)討論，不加載和加載狀態(tài)下的NES 如圖2(a) 和圖2(b) 所示。

圖2 加載和不加載狀態(tài)下的NES

平衡位置時(shí)，兩個(gè)彈簧豎直，且小球位于方形質(zhì)量塊的中心。此時(shí)，單個(gè)彈簧的長(zhǎng)度為L(zhǎng)0。

圖2(b)為加載狀態(tài)下的NES，彈簧的伸長(zhǎng)量為Δ。此時(shí)，小球所受到的力為Fnl，根據(jù)胡克定律結(jié)合泰勒級(jí)數(shù)可得

可得無(wú)量綱化的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

2 系統(tǒng)之間靶向能量傳遞現(xiàn)象

若式(2)滿足C0=C1=C2=0，且不考慮外激勵(lì)，則式(2) 變?yōu)橐粋€(gè)保守系統(tǒng)，滿足方程

對(duì)于式(3) 所示的保守系統(tǒng)，其能量分為兩個(gè)部分：動(dòng)能與勢(shì)能

將初始條件代入Etol，可得系統(tǒng)初始能量E0。用E表示主結(jié)構(gòu)的能量

保守系統(tǒng)，總能量守恒，則NES 中的能量可用E1來(lái)表示，E1=E0-E。

2.1 NES 非線性剛度對(duì)能量傳遞的影響

非線性剛度是系統(tǒng)發(fā)生靶向能量傳遞的一個(gè)必要條件，為研究其影響能量傳遞的機(jī)理，首先對(duì)式(3)這樣的保守系統(tǒng)，選取參數(shù)如表1 所示，選取初始條件x0=x1=x2= 0，˙x1= ˙x2= 0，˙x0= 0.5，對(duì)系統(tǒng)之間的能量轉(zhuǎn)換過(guò)程進(jìn)行數(shù)值仿真，得到主結(jié)構(gòu)和NES 之間的能量轉(zhuǎn)化曲線，如圖3 所示。

表1 參數(shù)取值表

圖3 保守系統(tǒng)能量傳遞圖

由圖3 可得線性主結(jié)構(gòu)和非線性結(jié)構(gòu)振子在保守系統(tǒng)(線性阻尼為零) 情況下的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系。由圖3(a) 和圖3(b) 可知，當(dāng)連接主結(jié)構(gòu)與NES 的彈簧剛度k1較小時(shí)，主結(jié)構(gòu)與NES 之間不發(fā)生能量傳遞；由圖3(a) 和圖3(d) 可知，能量可以在兩耦合振子之間完全傳遞，在0 和最大值之間變化，并且，在初始條件相同的情況下，增大非線性剛度k1，主結(jié)構(gòu)和非線性振子之間傳遞的能量減?。挥蓤D3(a)和圖3(c) 可知，當(dāng)NES 內(nèi)部彈簧剛度k2增大時(shí)，主結(jié)構(gòu)和非線性振子之間傳遞的能量也會(huì)減小。鑒于此，為了使NES 產(chǎn)生較好的吸振性能，非線性剛度k1和k2須在合適范圍內(nèi)選取。

2.2 NES 阻尼對(duì)能量傳遞的影響

NES 是一種利用靶向能量傳遞來(lái)實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制的非線性吸振器。靶向能量傳遞即能量的定向傳遞，主結(jié)構(gòu)中的能量通過(guò)非線性剛度單向傳遞給非線性振子，并通過(guò)非線性振子中的阻尼將能量耗散掉，從而達(dá)到對(duì)主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制效果。

考慮非保守系統(tǒng)， 當(dāng)主結(jié)構(gòu)阻尼C0為0 時(shí)，研究NES 中阻尼對(duì)能量耗散的影響，選取參數(shù)如表2所示。

表2 參數(shù)取值表

選取初始條件x0=x1=x2= 0，˙x1= ˙x2= 0，˙x0=0.5，運(yùn)用數(shù)值方法對(duì)式(3)所示系統(tǒng)進(jìn)行分析，能量耗散情況如圖4 所示。

由圖4(a) 可知，當(dāng)阻尼較小時(shí)，主結(jié)構(gòu)能量傳遞給NES 之后又返還到主結(jié)構(gòu)，這不是嚴(yán)格意義上的靶向能量傳遞，故阻尼C2取值不可過(guò)小；結(jié)合圖4(b)、圖4(c)，當(dāng)阻尼取值0.01 到0.02 左右時(shí)，發(fā)生靶向能量傳遞現(xiàn)象，主結(jié)構(gòu)能量迅速減小，并且?guī)缀醪粫?huì)再由NES 返還給主結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到振動(dòng)抑制的效果；由圖4(d) 可知，當(dāng)阻尼取值過(guò)大時(shí)，系統(tǒng)不發(fā)生靶向能量傳遞，主結(jié)構(gòu)能量緩慢減小，達(dá)不到減振效果。

圖4 非保守系統(tǒng)能量傳遞圖

2.3 NES 質(zhì)量對(duì)能量傳遞的影響

對(duì)于單自由度NES，其非線性振子質(zhì)量一般為主結(jié)構(gòu)質(zhì)量的10%，可以達(dá)到較好的吸振效果。本文研究的新型NES 為二自由度，其一級(jí)和二級(jí)振子質(zhì)量為主結(jié)構(gòu)的5%，目的是消除附加質(zhì)量不同對(duì)吸振效果的影響。本章分析NES 總質(zhì)量占主結(jié)構(gòu)質(zhì)量比以及一二級(jí)振子分別占主結(jié)構(gòu)質(zhì)量比對(duì)能量傳遞的影響。

首先考慮NES 總質(zhì)量對(duì)吸振性能的影響，對(duì)于式(3)所表示的保守系統(tǒng)，選取參數(shù)如表3 所示，對(duì)系統(tǒng)能量傳遞進(jìn)行數(shù)值模擬。在剛度和阻尼都不變的情況下，選取6 組參數(shù)如表3 所示，e1表示一級(jí)振子占主結(jié)構(gòu)質(zhì)量比，e2表示二級(jí)振子占主結(jié)構(gòu)質(zhì)量比。系統(tǒng)的初始能量全部來(lái)自于主結(jié)構(gòu)的動(dòng)能，主結(jié)構(gòu)的速度取0.5 m/s，對(duì)式(3) 所示系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果如圖5 所示。

由圖5(a) 可知，NES 總質(zhì)量比為0.04，此時(shí)主結(jié)構(gòu)與NES 之間幾乎不發(fā)生能量傳遞；由圖5(b)～圖5(d) 可知，NES 總質(zhì)量比分別為0.06，0.08，0.1，在這三種情況下，系統(tǒng)的能量耗散率都較高，其中當(dāng)質(zhì)量比為0.08 和0.1 時(shí)，靶向能量傳遞的效果尤為明顯，可以看見主結(jié)構(gòu)能量迅速下降，在20 s 之內(nèi)主結(jié)構(gòu)能量下降為0 (之后又有少量的返還)，而當(dāng)質(zhì)量比為0.08 時(shí)，能量耗散比最高；由圖5(e) 和圖5(f) 可知，當(dāng)NES 總質(zhì)量比逐漸增大，能量傳遞的效果也在減弱；當(dāng)NES 總質(zhì)量比達(dá)到0.14 時(shí)，主結(jié)構(gòu)與NES 之間幾乎不發(fā)生能量傳遞?？梢?，二自由度NES 振子總質(zhì)量達(dá)到主結(jié)構(gòu)的8%～10%時(shí)能夠達(dá)到較好的能量耗散效果，這個(gè)結(jié)果與單自由度最佳質(zhì)量比相近。

表3 參數(shù)取值表

本文所研究NES 為兩自由度，能量在兩級(jí)振子中傳遞和耗散，各級(jí)振子分別所占質(zhì)量比也會(huì)對(duì)吸振效果產(chǎn)生影響。選取NES 總質(zhì)量比為0.08，分析一二級(jí)振子質(zhì)量占比不同對(duì)其吸振效果的影響。選取參數(shù)如表4 所示。

一級(jí)振子和二級(jí)振子能量分別用E1和E2來(lái)表示。

圖5 不同NES 質(zhì)量下系統(tǒng)能量變化曲線

表4 參數(shù)取值表

選取主結(jié)構(gòu)初速度為0.5 m/s，對(duì)式(2) 所示非保守系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，得到主結(jié)構(gòu)、一級(jí)振子和二級(jí)振子的能量變化曲線，如圖6 所示。

由圖6 可得各級(jí)非線性振子不同配比下能量耗散情況。系統(tǒng)運(yùn)行40 s，在NES 總質(zhì)量比為0.08 時(shí)，各種質(zhì)量配比方案的能量耗散率均非常高，但是可以看出，當(dāng)二級(jí)振子質(zhì)量比較大時(shí)，能量耗散效果欠佳。

圖6 各級(jí)非線性振子不同質(zhì)量比下能量變化曲線

為了更加直觀地觀察NES 總質(zhì)量比以及各級(jí)非線性振子質(zhì)量配比對(duì)能量耗散率的影響，利用MATLAB，將一二級(jí)振子質(zhì)量比從0.01～0.1 進(jìn)行遍歷，觀察系統(tǒng)運(yùn)行40 s，50 s，60 s 后能量耗散率情況，其結(jié)果如圖7 所示。

圖7 不同NES 質(zhì)量比能量耗散率

圖7 不同NES 質(zhì)量比能量耗散率(續(xù))

由圖7(a) 可知，當(dāng)NES 總質(zhì)量比在0.08 左右時(shí)，系統(tǒng)最快完成能量耗散，僅需40 s 左右；運(yùn)行至50 s 到60 s 時(shí)，能量耗散基本完成，可以看出當(dāng)NES 總質(zhì)量比在0.08～0.1 時(shí)，系統(tǒng)有著良好的吸振效果，能量耗散率可達(dá)到95%以上，并且由圖7(c)可知二級(jí)NES 振子質(zhì)量比不能過(guò)大，需小于0.06。

2.4 初始能量對(duì)能量傳遞的影響

在單自由度NES 中，由于經(jīng)過(guò)阻尼耗散之后NES 中的能量不足以達(dá)到靶向能量傳遞的條件，其不再向主結(jié)構(gòu)返還能量，從而達(dá)到了吸振效果。而二自由度的NES 具有兩級(jí)振子，能量從主結(jié)構(gòu)傳遞到一級(jí)振子后又傳遞給二級(jí)振子，并在此過(guò)程中耗散。本節(jié)對(duì)式(2) 所示的非保守系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，研究初始能量對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)抑制的影響，并與單自由度NES 進(jìn)行比較。

單自由度NES 的運(yùn)動(dòng)微分方程為

該系統(tǒng)中NES 的能量耗散比為

二自由度系統(tǒng)中NES 的能量耗散比為

式中E0為系統(tǒng)的初始能量，假設(shè)系統(tǒng)的初始能量全部集中于主結(jié)構(gòu)，NES 中的初始能量為0 且系統(tǒng)運(yùn)行τ0后，能量耗散完畢，此時(shí)，Ediss1和Ediss2分別可以表示兩個(gè)系統(tǒng)中NES 的能量耗散效率。為了消除附加質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)的影響，令單自由度NES 質(zhì)量占主結(jié)構(gòu)之比e與二自由度NES 一二級(jí)振子質(zhì)量占比之和相等，即e=e1+e2。表5 為二自由度NES 系統(tǒng)的參數(shù)取值表，為了方便比較，單自由度NES 系統(tǒng)的參數(shù)均與二自由度NES 一級(jí)子參數(shù)相同。

系統(tǒng)的初始能量全部集中于主結(jié)構(gòu)，假設(shè)全部為動(dòng)能，主結(jié)構(gòu)的速度從0 m/s 增長(zhǎng)到3 m/s，對(duì)式(2)所示非保守系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，所得結(jié)果如圖8 所示。由圖8 可知，無(wú)論是單自由度還是二自由度NES，其初始能量都需滿足一定條件，系統(tǒng)才可以達(dá)到能量耗散的效果。本文采用的參數(shù)情況下，主結(jié)構(gòu)初始速度在0.5 m/s 左右時(shí)，兩類NES 對(duì)系統(tǒng)都有著較好的吸振效果。當(dāng)主結(jié)構(gòu)速度逐漸增大時(shí)，兩類NES 的耗散率均有所下降，但是單自由度NES 耗散率下降迅速，而二自由度NES 受初始能量的影響較小，當(dāng)初速度達(dá)到3 m/s，其能量耗散率仍然能達(dá)到80%左右。

表5 參數(shù)取值表

圖8 不同初始能量下單自由度和二自由度NES 能量耗散率

3 結(jié)論

建立了包含一種新型二自由度NES 的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)值模擬，對(duì)系統(tǒng)發(fā)生靶向能量傳遞現(xiàn)象進(jìn)行研究，并與單自由度的NES 進(jìn)行比較，得出如下結(jié)論：

(1)當(dāng)一級(jí)非線性振子剛度過(guò)大或過(guò)小時(shí)，主結(jié)構(gòu)與NES 之間不能發(fā)生良好的能量傳遞現(xiàn)象。NES中阻尼過(guò)小時(shí)，NES 中的能量有返還現(xiàn)象，而當(dāng)阻尼過(guò)大，系統(tǒng)不發(fā)生靶向能量傳遞。

(2)當(dāng)兩級(jí)非線性振子總質(zhì)量比為主結(jié)構(gòu)的8%～10%時(shí)，系統(tǒng)才能發(fā)生靶向能量傳遞現(xiàn)象，并且二級(jí)非線性振子質(zhì)量比不能過(guò)大，需不超過(guò)6%。

(3) 新型二自由度NES 相比于單自由度NES，能量吸收效率更高。