基于勢能顯式基面力元法的再生混凝土細觀裂縫研究1)

王 耀 劉 娟 吳春楊， 胥民堯

**(鹽城工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院建筑工程學院， 江蘇鹽城224005)

?(北京工業(yè)大學建筑工程學院， 北京100124)

再生混凝土是利用再生骨料部分或全部替代天然骨料拌制的混凝土，可再次應用于建筑結(jié)構(gòu)或者市政工程，實現(xiàn)資源的可持續(xù)利用，同時可有效解決廢棄建筑垃圾造成的環(huán)境污染及資源浪費等問題，實現(xiàn)建筑垃圾的重復利用。雖然再生混凝土的力學性能低于普通混凝土，但研究證明，其仍然有應用于建筑結(jié)構(gòu)的價值[1]。

基于斷裂理論，材料力學研究分為宏觀、細觀、微觀及納觀四個層次[2]。宏觀層次上，再生混凝土的非均質(zhì)性較普通混凝土更為復雜，通常被認為由再生粗骨料、新硬化水泥砂漿、老硬化水泥砂漿、老粘結(jié)帶、新粘結(jié)帶五相材料組成。各國學者對再生混凝土的基本力學性能或鋼組合構(gòu)件性能進行了大量研究，取得了豐富的成果[3-6]。但由于材料來源不確定性、骨料形狀及宏觀試驗環(huán)境等隨機因素的影響，針對同一問題，不同學者基于不同試驗目的結(jié)論離散程度較高[1]?；诩氂^層次理論的混凝土數(shù)值模擬方法，可以有效避免宏觀試驗各因素的不利影響，同時可彌補宏觀試驗時觀察混凝土內(nèi)部微裂紋開展及演變過程較為困難的不足，為混凝土等材料性能的研究提供了新思路。

基于數(shù)值混凝土的概念[2]，細觀模型的提出及發(fā)展為混凝土力學性能的數(shù)值模擬研究提供了理論基礎(chǔ)，較成熟的有隨機顆粒模型[7]、微平面模型[8]、微觀模型[9]、格點模型[10]及束粒子模型[11]。Xiao等[12-13]通過規(guī)則分布的圓形骨料模型研究再生混凝土材料的力學性能。研究發(fā)現(xiàn)內(nèi)部微裂紋首先出現(xiàn)在粘結(jié)帶區(qū)域，且粘結(jié)帶區(qū)域存在拉伸應力及剪切應力集中現(xiàn)象，并研究了各項材料對應力集中程度的影響。Jayasuriya 等[14]通過建立老砂漿含量為2%，10%，20% 及50% 的細觀數(shù)值模型，研究老砂漿含量對再生混凝土力學性能的研究。數(shù)值模擬結(jié)果表明隨著老砂漿含量的遞增，再生混凝土彈性模量及抗壓強度逐漸遞減，而極限壓應變逐漸遞增。Wang等[15]和Peng 等[16-17]通過再生骨料含量100% 的圓形隨機骨料模型研究了再生混凝土的單軸拉伸強度及單軸壓縮強度。研究表明再生混凝土的強度低于普通混凝土，且內(nèi)部微裂紋首先出現(xiàn)在老粘結(jié)帶。

本文基于勢能原理的基面力元法[18-19]，以單元邊界長度與單元的外法向量的乘積為基本元素，通過利用連續(xù)介質(zhì)學理論推導四邊形單元應變及剛度矩陣顯式表達式，可解決ANSYS，ABAQUS 等常規(guī)有限元軟件需要構(gòu)造位移插值函數(shù)及借助高斯積分才能求解剛度矩陣等限制，適用于任意坐標系任意平面及空間單元靜力及動力分析[20-21]。

本文根據(jù)再生混凝土的細觀結(jié)構(gòu)特征，建立五種不同再生骨料取代率(0%，30%，50%，70%及100%)的二維圓形及任意凸多邊形隨機骨料模型，基于基面力元法研究單軸載荷作用時混凝土內(nèi)部微裂紋的演變過程、斷面破壞形態(tài)與再生骨料取代率、分布及形狀的關(guān)系。

1 基面力

對于任意二維彈性體區(qū)域，P 和Q 表示物質(zhì)點變形前和變形后的徑矢。xα(α=1，2) 為物質(zhì)點Lagrange 坐標，物質(zhì)點位移為

物質(zhì)點變形前和變形后的坐標標架分別為

物質(zhì)點位移梯度為

假定物質(zhì)點為小變形，Green 應變張量ε 為

如圖1 所示，為描述Q 點的應力狀態(tài)，在向量dxQ1，dxQ2上作四邊形微元，dT1， dT2表示對應邊上的力，約定：2+1=1，1-1=2。則定義

圖1 基面力

則Tα(α = 1，2) 為Lagrange 坐標系xα(α =1，2) 中Q 點的基面力。

基于“基面力” 概念，Cauchy 應力張量可通過式(6) 表達

則基面力可以表示為

式中，ρ 和ρ0為物質(zhì)點變形前后的物質(zhì)密度，W 為物質(zhì)點應變能密度。

由式(7) 可知，位移梯度uα為基面力Tα的共軛變量。因此，由uα與Tα可以描述所有力學問題。

2 四邊形基面力模型

假定任意xα(α=1，2)坐標系中，任意一個考慮邊界位移協(xié)調(diào)問題的四邊形單元，I，J，K，L 表示單元節(jié)點編碼，uI，uJ，uK，uL表示單元節(jié)點位移，如圖2 所示。

2.1 單元應變

假定四邊形單元為小變形，則單元平均應變?yōu)?/p>

式中，A 為四邊形單元面積。

圖2 四邊形單元

將Green 應變張量ε 代入單元平均應變，則單元平均應變?yōu)?/p>

根據(jù)Gauss 定理，單元平均應變可表示為

式中，S 為四邊形單元邊界，n 為外法線矢量。

當四邊形單元面積足夠小時，單元平均應變可表示為

式中，Li(i=1，2，3，4) 為邊界長度，ni(i=1，2，3，4)為邊界線外法線向量，ui(i=1，2，3，4) 為邊界線幾何中心點位移向量。

假定變形過程中，邊界線始終保持直線狀態(tài)，則邊界線幾何中心點的位移向量ui為

式中，uI，uJ表示邊界線節(jié)點I，J 位移向量。單元應變可表示為

式中，mI為

式中，LIJ，LIK為邊界長度；nIJ，nIK為邊界外法線向量。

2.2 單元剛度矩陣

非均質(zhì)各向同性材料單元應變能為

式中，ν為泊松比，E為彈性模量。將單元應變代入應變能公式(15)，得

式中，mIJ=mI·mJ。則作用在單元I節(jié)點的力為

式中KIJ為由基面力表達的單元剛度矩陣

3 再生混凝土二維隨機骨料模型

3.1 骨料顆粒數(shù)

根據(jù)瓦拉文公式[22]，試件內(nèi)骨料粒徑D ＜D0的累積分布概率為

式中，Pc為粒徑小于D0的骨料累積分布概率；Pk為骨料與試件面積比，取0.75；Dmax為最大骨料直徑。

基于瓦拉文級配曲線，確定100 mm×100 mm，150 mm×150 mm 及300 mm×300 mm 試件內(nèi)隨機骨料等效粒徑及顆粒數(shù)，如表1 所示。

表1 骨料等效粒徑及骨料顆粒數(shù)

3.2 網(wǎng)格映射

根據(jù)瓦拉文公式獲得各粒徑骨料顆粒數(shù)后，建立骨料儲存庫，通過逐粒提取、逐粒投放方法將骨料庫內(nèi)的骨料投放到指定斷面內(nèi)，建立隨機骨料分布模型。隨后，建立四邊形背景網(wǎng)格，并映射到隨機骨料分布模型。根據(jù)四邊形節(jié)點與骨料圓心或形心的相對位置判別該四邊形的屬性，判別規(guī)則及步驟如下：

(1) 所有單元屬性賦值為新砂漿單元；

(2)四邊形的四個節(jié)點全部位于骨料內(nèi)部，則該單元為骨料；

(3)剩余的新砂漿單元中，若四邊形的四個節(jié)點中至少存在1 個節(jié)點，且至多存在3 個節(jié)點位于骨料內(nèi)部，則該單元為老粘結(jié)帶；

(4)剩余的新砂漿單元中，若四邊形的四個節(jié)點全部位于附著砂漿內(nèi)部，則該單元為附著砂漿單元；

(5)剩余的新砂漿單元中，若四邊形的四個節(jié)點至少存在1 個節(jié)點，且至多存在3 個節(jié)點位于附著砂漿內(nèi)部，則該單元為新粘結(jié)帶單元。

以取代率為50% 的凸多邊形骨料模型為例，網(wǎng)格映射過程如圖3 所示。

再生混凝土有限元模型中各項介質(zhì)的分布如圖4 所示。圖4 清晰地描述再生混凝土有限元模型中各項介質(zhì)的分布，表明本文采用的骨料投放技術(shù)及網(wǎng)格映射技術(shù)可以用來建立和表征再生混凝土內(nèi)部復雜的非均質(zhì)復合材料的特性。

圖3 網(wǎng)格映射方法

圖3 網(wǎng)格映射方法(續(xù))

圖4 介質(zhì)分布圖

3.3 圓形隨機骨料模型

基于蒙特卡洛隨機算法，生成兩個偽隨機數(shù)Rn，En(0 ＜Rn，En＜1) 確定骨料圓心坐標(xn，yn)。

通過Fortran 語言編寫的二維圓形隨機骨料生成軟件，生成100 mm×100 mm，150 mm×150 mm及300 mm×300 mm 的再生混凝土細觀模型，如圖5 所示。

3.4 凸多邊形隨機骨料模型

基于圓形隨機骨料模型，根據(jù)最小基框架長度限定條件及面積等值規(guī)則，在圓形骨料圓周上生成基框架并向外部延伸，建立任意凸多邊形隨機骨料模型。

為避免基框架延伸后形成凹型骨料， 基框架延伸點 Pj(x，y) 與延伸直徑兩節(jié)點 Ai(xi，yi)，Ai+1(xi+1，yi+1) 組成三角形PjAiAi+1的面積應滿足SPj＜0。

為避免新骨料侵入已投放骨料，基框架延伸點Pj(x，y) 與延伸直徑相鄰基框架節(jié)點組成的三角形PjAi-1Ai、PjAi+1Ai+2的面積應滿足SPj＞0。

為避免骨料相互侵入，運用式(21) 對新插入延伸點 Pj(x，y) 與已投放凸多邊形骨料各邊組成的三角形面積進行判斷，至少存在一個三角形面積PjAnAn+1＜0。

通過Fortran 語言編寫的二維任意凸多邊形隨機骨料生成軟件，生成100 mm × 100 mm，150 mm× 150 mm 及300 mm×300 mm 的再生混凝土細觀模型，如圖6 所示。

圖6 二維凸形隨機骨料模型

3.5 不同取代率隨機骨料模型

根據(jù)150 mm×150 mm 再生混凝土細觀結(jié)構(gòu)特征，建立骨料取代率為0%，25%，50%，70%及100%的二維圓形及任意凸多邊形隨機骨料模型，如圖7所示。

4 再生混凝土單軸受壓數(shù)值模擬

4.1 材料損傷模型

細觀數(shù)值模擬過程中，材料的損傷本構(gòu)模型對材料的載荷響應行為具有重要的影響。作為非均質(zhì)復合材料，沒有統(tǒng)一且特定的損傷本構(gòu)模型來描述再生混凝土在載荷作用下的損傷行為?；谠囼灱袄碚撗芯?，彈塑性模型[23]、非均勻強化塑性模型[24]、塑性模型[25]、塑性斷裂模型[26]、Ottosen 模型[27]、Darwin-Pecknold 模型[28]、Stankow-Gerstle 模型[29]及過-徐模型[30]等一系列數(shù)學模型被提出以描述混凝土的細觀力學行為。本文基于最大拉應力強度準則，通過多折線損傷模型[20]表征五相介質(zhì)在位移載荷作用下的力學行為，如圖8 所示。

圖7 不同再生骨料取代率模型

圖7 不同再生骨料取代率模型(續(xù))

圖8 多折線損傷本構(gòu)模型

材料的彈性模量為

式中，E為當前狀態(tài)下的彈性模量，E0為初始彈性模量，D為材料損傷因子，表達式為

式中，εt0為峰值應變；ft為抗拉強度；λ，η，ξ分別為彈性應變、殘余應變及極限應變系數(shù)；α為強度系數(shù)，如表2 所示。

細觀層次上，再生混凝土的結(jié)構(gòu)特征可通過五相介質(zhì)描述。因此，其力學性能受到五相介質(zhì)基本力學參數(shù)的影響。Xiao 等[13]研究發(fā)現(xiàn)，骨料的彈性模量介于40～100 GPa，新砂漿及附著砂漿彈性模型介于17.5～40 GPa，新舊粘結(jié)帶的彈性模量介于9.2～25.0 GPa。同時，試驗表明[13，31-33]，新粘結(jié)帶及舊粘結(jié)帶的彈性模量為新砂漿及附著砂漿彈性模量的50%～80%。而粘結(jié)帶作為骨料與砂漿之間的薄弱傳力層，力學性能及粘結(jié)性能較差，因此本文取50%。結(jié)合文獻[13， 31-33]，本文數(shù)值模擬時，五相介質(zhì)的力學參數(shù)取值如表2 所示。

4.2 內(nèi)部破壞裂紋

為了研究載荷作用下，試件內(nèi)部裂紋的萌生及延伸，本文建立試件尺寸為150 mm×150 mm 的隨機骨料模型，將圓形及任意凸多邊形隨機骨料模型映射到四邊形網(wǎng)格背景，單元尺寸為1.0 mm，運用基于基面力概念不同取代率的再生混凝土損傷程序，采用位移控制模式進行單軸加載，步長為0.005 mm/步。

圓形隨機骨料斷面內(nèi)微裂紋產(chǎn)生及延伸過程如圖9 所示。可以看出，圓形隨機骨料模型在加載過程中，內(nèi)部微裂紋首先出現(xiàn)在粘結(jié)帶區(qū)域，且裂紋較離散。隨著位移載荷逐漸增加，新老粘結(jié)帶裂紋之間的老砂漿應力增大，隨后發(fā)生破壞，在骨料周圍形成局部破壞裂縫，此時試件達到峰值應力。載荷繼續(xù)增加，骨料之間的新砂漿應力逐漸增大，隨后發(fā)生破壞，骨料之間形成斜向45°的連續(xù)破壞裂縫。

表2 材料基本參數(shù)

圖9 不同取代率的圓形再生混凝土單軸壓縮裂縫開展過程

隨著再生骨料取代率的增加，內(nèi)部微裂紋的首次出現(xiàn)位置逐漸由新粘結(jié)帶向舊粘結(jié)帶轉(zhuǎn)移。當再生骨料取代率低于50% 時，試件內(nèi)部沿斜向45°形成1 ～2 條連續(xù)破壞裂縫，且裂縫寬度較小。當再生骨料取代率超過50% 時，試件內(nèi)部沿雙向45°形成多條V 型連續(xù)破壞裂縫，且裂縫寬度逐漸增加。

骨料密集區(qū)域新砂漿含量低于其他區(qū)域，骨料周圍形成局部破壞裂縫后，骨料之間傳遞應力的新砂漿含量較少，局部應力遠高于其他區(qū)域，因此試件內(nèi)部連續(xù)破壞裂縫主要集中在骨料密集區(qū)域。隨著骨料取代率的增加，斷面內(nèi)薄弱區(qū)域增多，連續(xù)破壞裂縫向再生骨料密集區(qū)域過渡，且裂縫路徑容易受到骨料分布的影響。

任意凸多邊形隨機骨料試件內(nèi)部微裂紋產(chǎn)生及延伸過程如圖10 所示?？梢钥闯觯我馔剐碗S機骨料模型在加載過程中，內(nèi)部微裂紋首先出現(xiàn)位置、骨料周圍局部裂縫與圓形隨機骨料模型類似。但是加載過程中任意凸型骨料尖端位置存在應力集中現(xiàn)象，因此局部裂縫首先沿骨料各邊發(fā)展，隨后與其他骨料的局部裂縫貫通形成連續(xù)破壞裂縫。由于受到骨料形狀的影響，試件內(nèi)部局部裂縫更離散，連續(xù)破壞裂縫數(shù)量多于圓形隨機骨料模型。

4.3 單軸抗壓強度

試件尺寸為100 mm 及150 mm 的圓形骨料及任意凸型骨料再生混凝土單軸抗壓強度如表3 所示。

圖10 不同取代率的凸型再生混凝土單軸壓縮裂縫開展過程

表3 不同取代率再生混凝土單軸抗壓強度(單位：MPa)

由表3 可知，隨著再生骨料取代率的增加，再生混凝土的峰值應力逐漸遞減。當再生骨料取代率低于50% 時，峰值應力下降速率較大，當再生骨料取代率超過50% 時，再生混凝土抗壓強度下降速率逐漸減小，最終趨于穩(wěn)定。由于凸型骨料內(nèi)部較圓形骨料內(nèi)部分布更多的離散裂縫，儲存了更多的應變能，因此凸型骨料再生混凝土強度略高于普通混凝土。

4.4 網(wǎng)格尺寸的影響

基于勢能原理的位移有限元法，在計算內(nèi)部各點的位移時，需要構(gòu)造單元的位移插值函數(shù)，位移插值函數(shù)雖然是連續(xù)的，但卻是近似的。通過位移插值函數(shù)用有限自由度來描述具有無限自由度的體系，從而限制了單元的變形，其獲得的位移近似解要小于精確解。同時，勢能原理位移有限元的計算精度受到單元網(wǎng)格尺寸的影響，單元尺寸越小，位移的近似解越收斂于精確解。多數(shù)學者在進行混凝土材料的數(shù)值模擬時，單元尺寸通常選取為0.5～2.0 mm[14-16，20，34-35]。為了研究基于基面力概念的勢能有限元方法對網(wǎng)格尺寸的依賴性，本文借助凸型骨料模型研究有限元網(wǎng)格大小對計算結(jié)果的影響，試件尺寸為100 mm×100 mm，以再生取代率為50% 為例，單元網(wǎng)格尺寸由2.0 mm 逐漸減小到0.5 mm，數(shù)值模擬結(jié)果如表4 所示。

表4 網(wǎng)格尺寸對抗壓強度的影響

由表4 可知，隨著單元網(wǎng)格尺寸由2.0 mm 逐漸降低至0.5 mm，抗壓強度略微增加，但增幅較小，可以忽略。結(jié)果表明，單軸壓縮載荷作用下，基于基面力元法的再生混凝土數(shù)值模擬對網(wǎng)格的依賴性較小。

5 結(jié)論

本文基于基面力概念及基面力元法，建立適用任意坐標系、任意形狀的四邊形單元勢能基面力元模型，基于“瓦拉文公式” 及“蒙特卡洛隨機抽樣算法” 建立0%，30%，50%，70% 及100% 的二維圓形及任意凸多邊形隨機骨料模型，通過位移控制模式模擬單軸壓縮試驗，研究內(nèi)部裂紋的萌生、擴展及基面力對單元網(wǎng)格尺寸的依賴性，結(jié)論如下：

(1)基于勢能原理的基面力元法表達的剛度矩陣及節(jié)點位移具有顯式的表達形式，求解過程中無需高斯積分且無精度損傷，具有精度高、計算速度快的優(yōu)點。在數(shù)值模擬過程中，網(wǎng)格尺寸對數(shù)值模擬結(jié)果的影響可以忽略不計，表明基面力元模型對網(wǎng)格尺寸的依賴性較弱。

(2)單軸受壓時內(nèi)部微裂紋首先出現(xiàn)在新舊粘結(jié)帶位置，裂紋較離散，隨后貫穿新舊砂漿發(fā)展為斜向45°連續(xù)破壞裂縫；再生骨料取代率較低時，試件內(nèi)部形成1～2 條斜向連續(xù)裂縫，隨著再生骨料取代率的增加，斜向連續(xù)破壞裂縫數(shù)量增多、寬度增加并出現(xiàn)裂縫分叉現(xiàn)象，最終在骨料密集區(qū)域形成多條V型連續(xù)破壞裂縫。

(3) 骨料形狀對內(nèi)部微裂紋發(fā)展路徑影響較大，圓形骨料模型內(nèi)部微裂紋沿切向方向發(fā)展為與骨料直徑呈垂直狀態(tài)的斜向連續(xù)裂縫；凸型骨料模型內(nèi)部微裂紋沿骨料外輪廓線向骨料尖端發(fā)展為與骨料輪廓線呈平行狀態(tài)的斜向連續(xù)裂縫，試件內(nèi)部裂縫更離散。

(4)當再生骨料取代率較低時，再生混凝土的抗壓強度下降速率較大，隨著取代率的增加，抗壓強度下降速率減小，最終趨于穩(wěn)定。由于凸型骨料較圓形骨料能夠吸收更多的應變能，因此凸型骨料再生混凝土強度略高于圓形骨料再生混凝土。