基于橢圓結(jié)構(gòu)元素的自適應(yīng)形態(tài)學(xué)運(yùn)算方法*

文昊天，王小鵬，楊文婷，王 偉

(蘭州交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

如何構(gòu)造合適的結(jié)構(gòu)元素是自適應(yīng)形態(tài)學(xué)運(yùn)算方法中的關(guān)鍵[1～5]。文獻(xiàn)[6]提出了一種利用自適應(yīng)形態(tài)學(xué)濾波和融合輔助彩色圖像結(jié)構(gòu)信息的HSI恢復(fù)方法，通過圖像信息構(gòu)造每個(gè)像素形態(tài)特征的自適應(yīng)結(jié)構(gòu)元素，同時(shí)去除混合噪聲，保持良好的空間結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)[7]提出了一種自適應(yīng)形態(tài)學(xué)閉運(yùn)算，利用慣性張量估計(jì)圖像局部結(jié)構(gòu)幾何特征，之后根據(jù)幾何特征構(gòu)造結(jié)構(gòu)元素；文獻(xiàn)[8]提出了基于形態(tài)學(xué)多結(jié)構(gòu)元邊緣提取算子,既有良好的邊緣提取特性,又可很好地解決了噪聲抑制和保持圖像邊緣細(xì)節(jié)之間的矛盾,通過灰度加權(quán)平均值作為閾值進(jìn)行二值化,更加突出了邊緣效果；文獻(xiàn)[9]提出一種計(jì)算中心像素與鄰域像素均方差的方法對(duì)形態(tài)學(xué)邊緣檢測算子進(jìn)行改進(jìn),有效減少噪聲；文獻(xiàn)[10]利用圖空間提出了相似權(quán)概念，定義了自適應(yīng)結(jié)構(gòu)元素并提出了一種自適應(yīng)形態(tài)學(xué)算子；文獻(xiàn)[11]提出了一種利用結(jié)構(gòu)紋理模型與自適應(yīng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)相結(jié)合的織物瑕疵檢測算法。但固定結(jié)構(gòu)元素在對(duì)圖像做形態(tài)學(xué)運(yùn)算時(shí)容易產(chǎn)生新的人為目標(biāo)、改變目標(biāo)的邊緣位置、破壞原有目標(biāo)間的過渡區(qū)邊界和丟失小目標(biāo)等。

本文在線性結(jié)構(gòu)張量[12]的基礎(chǔ)上提出了橢圓結(jié)構(gòu)元素。因?yàn)闄E圓結(jié)構(gòu)元素介于線形和圓形之間，所以這種自適應(yīng)形態(tài)學(xué)膨脹和腐蝕可以在不產(chǎn)生人為邊緣的情況下丟失較少的圖像暗細(xì)節(jié)和亮細(xì)節(jié)，而相應(yīng)的開閉運(yùn)算可以增強(qiáng)和連接圖像暗細(xì)節(jié)和亮細(xì)節(jié)特征，并且不會(huì)對(duì)圖像邊緣過度拉伸，有較好的邊緣保持和抗噪能力。

1 方法實(shí)現(xiàn)

如圖1所示，首先構(gòu)造圖像線性結(jié)構(gòu)張量；然后計(jì)算其特征值和特征向量，因?yàn)榫€性結(jié)構(gòu)張量為正定矩陣，所以必有兩個(gè)不為零的特征值和特征向量，利用該特征屬性構(gòu)造橢圓的長短半軸和橢圓與x軸的夾角；最后定義基于橢圓結(jié)構(gòu)元素的膨脹和腐蝕運(yùn)算，組合出自適應(yīng)形態(tài)學(xué)開閉運(yùn)算。

圖1 橢圓結(jié)構(gòu)元素的自適應(yīng)形態(tài)學(xué)運(yùn)算方法流程圖

1.1 線性結(jié)構(gòu)張量

對(duì)于圖像f，任意像素點(diǎn)(i,j)的x方向和y方向梯度值表示為Ix(i,j)和Iy(i,j)，則結(jié)構(gòu)張量T(structure tensor)可定義為

(1)

由于T特征值有一個(gè)為0，結(jié)構(gòu)張量只能得到一維的圖像結(jié)構(gòu)信息，因此采用線性結(jié)構(gòu)張量代替結(jié)構(gòu)張量來描述圖像結(jié)構(gòu)信息，線性結(jié)構(gòu)張量(linear structure tensor)LS定義為

(2)

式中Gσ為方差σ的高斯函數(shù)，*為卷積，LS(i,j)的特征值和特征向量分別記為λ1,λ2(λ1>λ2)和v1,v2。如果圖像f中像素點(diǎn)(i,j)處λ1>λ2≈0，則v1方向灰度變化強(qiáng)度大于v2方向，即為邊緣區(qū)域；如果λ1≈λ2>0，則v1方向上灰度變化強(qiáng)度等于v2方向，即為角點(diǎn)；如果λ1≈λ2≈0，則v1方向和v2方向灰度強(qiáng)度變化不大，即為平坦區(qū)域。

1.2 自適應(yīng)橢圓結(jié)構(gòu)元素

假設(shè)橢圓結(jié)構(gòu)元素E(a,b,φ)最大長半軸為M，其中a為橢圓長半軸，b為橢圓短半軸，φ為橢圓長半軸與x軸的夾角，如圖2所示，a,b,φ分別定義為

圖2 橢圓結(jié)構(gòu)元素

(3)

式中v1,x1，v1,x2為v1的分量。

1.3 自適應(yīng)形態(tài)學(xué)運(yùn)算

自適應(yīng)形態(tài)學(xué)膨脹腐蝕所采用的結(jié)構(gòu)元素隨圖像內(nèi)容自適應(yīng)改變其大小和形狀，而經(jīng)典形態(tài)學(xué)結(jié)構(gòu)元素則是固定不變。對(duì)于橢圓結(jié)構(gòu)元素自適應(yīng)形態(tài)學(xué)膨脹而言，當(dāng)結(jié)構(gòu)元素在圖像弱邊緣時(shí)，此時(shí)以長半軸為a，短半軸為b的橢圓結(jié)構(gòu)元素為窗取像素最大值；當(dāng)結(jié)構(gòu)元素在圖像強(qiáng)邊緣時(shí)，λ1?λ2≈0，此時(shí)以長半軸為a≈M，短半軸為b≈0的橢圓結(jié)構(gòu)元素為窗取像素最大值；當(dāng)結(jié)構(gòu)元素在圖像角點(diǎn)時(shí)，λ1≈λ2?0，此時(shí)以長短半軸為a≈b≈M/2的橢圓結(jié)構(gòu)元素為窗取像素最大值；當(dāng)結(jié)構(gòu)元素在圖像平坦區(qū)域時(shí)，λ1≈λ2≈0,以長短半軸a≈b≈M為的橢圓結(jié)構(gòu)元素為窗取像素最大值。腐蝕與膨脹相反，在上述情況中取像素最小值。因?yàn)樵趫D像強(qiáng)邊緣時(shí)橢圓結(jié)構(gòu)元素短半軸很小，類似于線形結(jié)構(gòu)元素，因此相比圓形結(jié)構(gòu)元素，橢圓結(jié)構(gòu)元素自適應(yīng)形態(tài)學(xué)膨脹和腐蝕不會(huì)丟失過多的圖像暗細(xì)節(jié)和亮細(xì)節(jié)，在圖像平坦區(qū)域橢圓結(jié)構(gòu)元素長半軸約等于短半軸，類似于圓形結(jié)構(gòu)元素，所以相比線形結(jié)構(gòu)元素不會(huì)形成過多的人為邊緣。

橢圓結(jié)構(gòu)元素自適應(yīng)形態(tài)學(xué)膨脹α和腐蝕β運(yùn)算為

(4)

式中E為橢圓結(jié)構(gòu)元素，f為圖像，∨和∧分別為定義域E中取最大像素值與最小像素值運(yùn)算。開閉運(yùn)算是膨脹和腐蝕的組合，衍生的形態(tài)學(xué)自適應(yīng)開閉定義為

γE(f)=(α°β)(f),ψE(f)=(β°α)(f)

(5)

2 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

在MATLAB R2017平臺(tái)下進(jìn)行了仿真。圖3分別對(duì)方向自適應(yīng)線形結(jié)構(gòu)元素、圓形結(jié)構(gòu)元素和橢圓結(jié)構(gòu)元素做對(duì)比，選取386×386大小的星形圓環(huán)圖像做M=3,M=4和M=5(從左到右)膨脹(b,c,d)和腐蝕(e,f,g)仿真實(shí)驗(yàn)。在膨脹圖像中，方向自適應(yīng)線形結(jié)構(gòu)元素膨脹使星形邊緣區(qū)域變形，如圖3(b)中第三幅圖星形邊緣變形較大；圓形結(jié)構(gòu)元素膨脹使圖像暗細(xì)節(jié)消減過多，可以看出圖3(c)中第三幅圖暗細(xì)節(jié)幾乎消失；自適應(yīng)橢圓結(jié)構(gòu)元素膨脹運(yùn)算未丟失過多暗細(xì)節(jié)，雖然圖3(d)中角點(diǎn)區(qū)域有瑕疵，這主要是由于結(jié)構(gòu)元素較大導(dǎo)致的，但其他兩種結(jié)構(gòu)元素膨脹運(yùn)算使圖像特征惡化更為嚴(yán)重。在腐蝕圖像中，方向自適應(yīng)線形結(jié)構(gòu)元素腐蝕使圓環(huán)邊緣有撕裂現(xiàn)象，圖3(e)中第一幅圖第二環(huán)和第三環(huán)較為明顯；圓形結(jié)構(gòu)元素腐蝕運(yùn)算亮細(xì)節(jié)丟失較多，圖3(f)中第三幅圖像亮細(xì)節(jié)消減過多；圖3(g)中自適應(yīng)橢圓結(jié)構(gòu)元素腐蝕運(yùn)算保留了更多亮細(xì)節(jié)。

圖3 膨脹腐蝕圖像對(duì)比

圖4為Lena圖像(512×512)開閉運(yùn)算仿真實(shí)驗(yàn)(M=5)。在開運(yùn)算圖4(b)～(d)中可以看出，自適應(yīng)線形結(jié)構(gòu)元素導(dǎo)致圖像有部分撕裂，如右上方白色條帶，并且改變了圖像部分特征；圓形結(jié)構(gòu)元素雖然沒有導(dǎo)致圖像變形，但是圖像特征被破壞，如羽毛細(xì)節(jié)模糊；橢圓結(jié)構(gòu)元素增強(qiáng)和連接了圖像暗細(xì)節(jié)特征，帽子頂部和羽毛部分較明顯。在閉運(yùn)算圖4(e)～(g)中，自適應(yīng)線形結(jié)構(gòu)元素改變了圖像邊緣特征，如帽子整體被拉長，這是因?yàn)榫€形結(jié)構(gòu)元素形狀極端，在邊緣區(qū)域引入平坦區(qū)域像素值，在平坦區(qū)域引入邊緣區(qū)域像素值導(dǎo)致的；圓形結(jié)構(gòu)元素丟失過多圖像細(xì)節(jié)，如帽子紋理細(xì)節(jié)丟失；橢圓結(jié)構(gòu)元素增強(qiáng)和連接了圖像亮細(xì)節(jié)特征，如帽子上的紋理細(xì)節(jié)，并且開閉運(yùn)算都不會(huì)對(duì)圖像邊緣過度拉伸。

圖4 Lena開閉運(yùn)算圖像比較

為了定量分析本文方法的邊緣保持性能，計(jì)算原圖像與形態(tài)學(xué)運(yùn)算后的梯度幅值相似性偏差。梯度幅值[13]能夠反映圖像結(jié)構(gòu)信息，生成準(zhǔn)確度較高的圖像質(zhì)量預(yù)測分?jǐn)?shù)，當(dāng)圖像失真時(shí)會(huì)有不同程度的梯度幅值退化，因此可以計(jì)算梯度幅值相似性衡量圖像質(zhì)量。

表1給出了Lena分別用M=3,M=4,M=5的開閉運(yùn)算梯度幅值相似性偏差，可以看出，橢圓結(jié)構(gòu)元素自適應(yīng)形態(tài)學(xué)運(yùn)算梯度幅值偏差較小，形態(tài)學(xué)運(yùn)算后圖像失真較小。

表1 Lena開/閉運(yùn)算梯度幅值相似性偏差 10-5

為了驗(yàn)證橢圓結(jié)構(gòu)元素自適應(yīng)運(yùn)算的抗噪性能，對(duì)大小為512×512的Cameraman圖像(圖5)加入均值為0，方差為0.01的高斯白噪聲并做自適應(yīng)形態(tài)學(xué)開運(yùn)算(M=5)，并對(duì)比三種結(jié)構(gòu)元素梯度幅值相似性偏差，繪出了高斯白噪聲方差從0到0.2的方向自適應(yīng)線形結(jié)構(gòu)元素、圓形結(jié)構(gòu)元素和自適應(yīng)橢圓結(jié)構(gòu)元素的梯度幅值相似性偏差。圖5中，方向自適應(yīng)線形結(jié)構(gòu)元素開運(yùn)算使人物臉部變形且形成了過多的人為邊緣，圓形結(jié)構(gòu)元素開運(yùn)算雖然濾出了大部分噪聲，但是圖像細(xì)節(jié)丟失過多，而橢圓結(jié)構(gòu)元素開運(yùn)算抗噪性能較好，保留了大部分圖像細(xì)節(jié)。在圖5(e)中，當(dāng)高斯白噪聲方差為0時(shí)，方向自適應(yīng)線形結(jié)構(gòu)元素開運(yùn)算失真程度最大，隨著噪聲方差逐漸變大，開運(yùn)算后的圖像失真程度成下降趨勢，這是因?yàn)閷?duì)于每個(gè)像素值而言，由于在做形態(tài)學(xué)開運(yùn)算時(shí)方向自適應(yīng)線形結(jié)構(gòu)元素定義域中包含的像素值相對(duì)圓形結(jié)構(gòu)元素和橢圓結(jié)構(gòu)元素較少，所以對(duì)鄰域影響較低，而失真程度較高是因?yàn)樵肼晥D像中鄰域像素值與中心像素值相差可能較大，這會(huì)導(dǎo)致用其做開運(yùn)算時(shí)使中心像素引入大量噪聲，形成大量的人為邊緣，圓形結(jié)構(gòu)元素開運(yùn)算雖然不會(huì)形成大量人為邊緣，但會(huì)丟失圖像邊緣細(xì)節(jié)，橢圓結(jié)構(gòu)元素自適應(yīng)形態(tài)學(xué)開運(yùn)算在抑制噪聲的同時(shí)盡量保持圖像邊緣，失真程度最小。

圖5 高斯白噪聲開運(yùn)算仿真實(shí)驗(yàn)

圖6是一幅帶有周期噪聲大小為256×256的遙感圖像(M=4)，對(duì)其做閉運(yùn)算，與開運(yùn)算一樣，方向自適應(yīng)線形結(jié)構(gòu)元素閉運(yùn)算使圖像邊緣變形并且產(chǎn)生了大量人為邊緣；圓形結(jié)構(gòu)元素閉運(yùn)算雖然抑制了周期噪聲，但圖像細(xì)節(jié)屬性丟失過多；橢圓結(jié)構(gòu)元素閉運(yùn)算抑制了噪聲，在產(chǎn)生少量人為邊緣情況下邊緣保持效果較好。

圖6 周期噪聲閉運(yùn)算仿真實(shí)驗(yàn)

3 結(jié) 論

為了抑制圖像做形態(tài)學(xué)運(yùn)算導(dǎo)致邊緣屬性改變的情況，提出了一種介于線形(方向自適應(yīng))和圓形之間的橢圓結(jié)構(gòu)元素，由于橢圓結(jié)構(gòu)元素隨著目標(biāo)的改變而自適應(yīng)改變，連接圖像明暗特征屬性的同時(shí)盡可能適應(yīng)目標(biāo)邊緣，因此本文方法對(duì)圖像做自適應(yīng)形態(tài)學(xué)運(yùn)算時(shí)梯度幅值偏差較小，抗噪性能較好，圖像失真較低。