奇異值趨勢分解在燃油泵性能指數(shù)預(yù)測中的應(yīng)用*

戴邵武，陳強(qiáng)強(qiáng)，戴浩然，孫玉玉

(1.海軍航空大學(xué) 岸防兵學(xué)院，山東 煙臺 264000；2.空軍95596部隊，河南 商丘 476000)

0 引 言

機(jī)載燃油泵在工作過程中為航空發(fā)動機(jī)提供規(guī)定的流量和壓力燃油，是飛機(jī)燃油系統(tǒng)的核心構(gòu)件之一[1]。機(jī)載燃油泵的工作狀態(tài)直接程度的影響著飛行安全，因此對燃油泵進(jìn)行可靠性分析及性能退化趨勢預(yù)測具有重要的意義[2]。

在針對航空發(fā)動機(jī)參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測的分析研究中，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的預(yù)測模型得到了充分的應(yīng)用與發(fā)展。李曉白等人[3]采用經(jīng)典的自回歸滑動平均模型應(yīng)用于航空發(fā)動機(jī)性能退化數(shù)據(jù)，并驗證了該模型對提高短期預(yù)測精度的有效性。經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撏茖?dǎo)，但針對復(fù)雜的時間序列存在著精度不足、模型不準(zhǔn)確等劣勢。劉永建[4]采用改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對發(fā)動機(jī)性能參數(shù)進(jìn)行了預(yù)測研究，實現(xiàn)了航空發(fā)動機(jī)性能監(jiān)控及趨勢預(yù)測。但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在使用過程中存在著參數(shù)選擇無依據(jù)、訓(xùn)練時間較長等缺點。張建采用支持向量機(jī)對發(fā)動機(jī)排氣溫度裕度進(jìn)行研究分析[5]，但支持向量機(jī)在使用過程中存在著易陷入局部極小化的缺陷。相比之下，最小二乘支持向量機(jī)(least square support vector machine，LSSVM)具有泛化能力強(qiáng)、精度高等優(yōu)點，在航空發(fā)動機(jī)時間序列預(yù)測中具有更高的精度優(yōu)勢[6]。

隨著航空發(fā)動機(jī)制造工藝趨于精密化、復(fù)雜化，同時工作環(huán)境也更加惡劣，航空發(fā)動機(jī)性能數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性、非平穩(wěn)特征[7]。此時，單一的預(yù)測模型不足以完整概括其性能變化特征。

本文在研究過程中，采用奇異值分解(singular value decomposition，SVD)方法對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理以降低時間序列的復(fù)雜程度；同時在構(gòu)建最小二乘支持向量回歸(least square support vector regression,LSSVR)回歸預(yù)測模型時，引入粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)算法進(jìn)行參數(shù)的自適應(yīng)選擇，增強(qiáng)了LSSVR預(yù)測模型的自適應(yīng)性。將SVD-LSSVR算法應(yīng)用于機(jī)載燃油泵性能指數(shù)退化數(shù)據(jù)，結(jié)果表明，該方法能夠建立準(zhǔn)確的預(yù)測模型并提高預(yù)測精度，是一種有效的預(yù)測方法。

1 基于SVD的趨勢分析

機(jī)載燃油泵工作過程中，受到制造工藝、工作環(huán)境等多方面復(fù)雜因素影響，所采集到的壓力信號具有多階段與非線性的特點。燃油泵退化數(shù)據(jù)的非線性非平穩(wěn)特征，體現(xiàn)了性能變化的實際情況[8]。如果對其性能退化數(shù)據(jù)進(jìn)行直接預(yù)測，存在著預(yù)測模型建立不準(zhǔn)確、預(yù)測精度不高等問題。因此可通過對原始性能退化數(shù)據(jù)進(jìn)行分解以降低其時間序列復(fù)雜性。

SVD通過從時間序列中優(yōu)化提取相關(guān)信息，從而實現(xiàn)原始數(shù)據(jù)的趨勢項和去趨勢項的分離[9]。SVD在使用過程中具有良好的數(shù)據(jù)穩(wěn)定性，在數(shù)據(jù)分離、去噪聲等方面具有廣泛應(yīng)用。設(shè)原始時間序列為

x=[x1,x2,…，xn]

(1)

步驟1對長度為n的時間序列x進(jìn)行相空間重構(gòu)，構(gòu)建時間序列參數(shù)矩陣

(2)

式中m=[(n+1)/2]，[?]為取整運算。N=n-m+1。

步驟2對參數(shù)矩陣X進(jìn)行奇異值分解

X=UΓVT

(3)

式中U∈RN×N,V∈Rm×m且均為正交矩陣。

(4)

式中Δq×q=diag(δ1,δ2,…,δq),δ1≥δ2≥…≥δq>0為矩陣Γ的奇異值，q≤min(N,m)。

在SVD中，奇異值的大小反映了矩陣的能量分布。奇異值越大，其對應(yīng)的信號占據(jù)矩陣的比重越大，越能夠反映出信號的主要信息。根據(jù)需求不同，定義不同的信號成分。例如在去噪應(yīng)用中，定義較大的奇異值對應(yīng)信號的主要成分，較小的奇異值對應(yīng)信號的噪聲部分[10]；在本文的趨勢分解中，定義較大的奇異值反映數(shù)據(jù)變化的主要成分(趨勢項)，較小的奇異值反映數(shù)據(jù)變化的波動成分(去趨勢項)。因此，通過確定趨勢項的奇異值閾值，即可實現(xiàn)趨勢項與去趨勢項的分離。

步驟3確定閾值。在閾值確定過程中，根據(jù)奇異值的大小關(guān)系對奇異值分組，通過尋找奇異值的突變點即奇異值分布曲線的"肘部"實現(xiàn)趨勢項分離[11]。取正整數(shù)為r，將取值較小的q-r個奇異值(對應(yīng)去趨勢項)置為0，則?？赊D(zhuǎn)換為

(5)

式中 Δr×r=diag(δ1,δ2,…,δr)。

步驟4輸出趨勢項與去趨勢項。重構(gòu)矩陣X′=U?！銿T，即可得到原始序列對應(yīng)的趨勢項與去趨勢項。

2 基于PSO算法的LSSVR

2.1 LSSVR

LSSVR是LSSVM的表現(xiàn)形式之一。LSSVR通過將二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組問題，提高了求解問題的速度和收斂精度[12]。

設(shè)訓(xùn)練樣本集為D={(xk,yk)|k=1,2,…,N}，其中xk∈Rn為輸入數(shù)據(jù)，yk為輸出數(shù)據(jù)。定義非線性回歸函數(shù)[13]

f(x)=(w·φ(xk))+b

(6)

式中w為權(quán)向量，b為偏差量?？蓪⒑瘮?shù)估計問題轉(zhuǎn)換為

(7)

式中ek為誤差變量；r>0為規(guī)則化參數(shù)。

LSSVR的約束條件為

yk=(w·φ(xk))+b+ek,k=1,2，…,N

(8)

式中φ(·):Rn→Rnh為將原始空間映射到一個高維Hilbert特征空間的核空間映射函數(shù)。

定義拉格朗日函數(shù)如下

L(w,b,e,a)=J(w,e)-

(9)

式中ak≥0為拉格朗日乘子。

分別對w,b,e,a求偏導(dǎo)數(shù)，簡化矩陣得到回歸函數(shù)為

(10)

其中，懲罰因子控制對超過誤差樣本數(shù)據(jù)的懲罰程度，其大小直接影響模型的復(fù)雜性和穩(wěn)定性；核函數(shù)參數(shù)反映了相關(guān)向量之間的相關(guān)程度，其大小與模型的精度和推廣能力直接相關(guān)。

2.2 PSO算法

在懲罰因子和核函數(shù)參數(shù)的選擇過程中，采用PSO算法完成其參數(shù)的自適應(yīng)優(yōu)化選擇。PSO算法是智能領(lǐng)域算法中的一種基于群體智能的優(yōu)化算法[14]。PSO算法于1995年由Kennedy和Eberhart提出，通過粒子在解空間追隨最優(yōu)粒子進(jìn)行搜索。

3 組合預(yù)測算法

綜上所述，本文提出的基于SVD和優(yōu)化LSSVR的機(jī)載燃油泵性能指數(shù)組合預(yù)測方法流程為：1)采用SVD趨勢分解方法，對采集到的機(jī)載燃油泵性能退化數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，得到趨勢項和去趨勢項；2)對步驟1中得到的趨勢項和去趨勢項序列分別構(gòu)建LSSVR的預(yù)測模型，實現(xiàn)對分解序列的預(yù)測分析；3)采用PSO算法對LSSVR預(yù)測模型進(jìn)行自適應(yīng)參數(shù)尋優(yōu)，以構(gòu)建更加準(zhǔn)確的預(yù)測模型；4)將趨勢項與去趨勢項的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行相加，得到最終預(yù)測結(jié)果。預(yù)測流程圖如圖1所示。

圖1 預(yù)測流程圖

4 實驗分析

在實驗室對某型機(jī)載燃油泵進(jìn)行循環(huán)電壓下的實驗，在實驗過程中，記錄機(jī)載燃油泵出口壓力傳感器的輸出值。選擇設(shè)備開始工作后的195個循環(huán)中的壓力值進(jìn)行采集。得到壓力信號隨時間的退化曲線如圖2所示。

圖2 機(jī)載燃油泵壓力退化曲線

由圖2可知，在觀測過程中，機(jī)載燃油泵的壓力信號呈現(xiàn)出多階段的退化模式，在第1階段平穩(wěn)退化，之后有下降退化趨勢，隨后又趨于平穩(wěn)狀態(tài)。

根據(jù)SVD原理，確定奇異值矩陣Γ中的奇異值階數(shù)如圖3所示。

圖3 確定SVD有效秩階次

確定在SVD步驟3中的正整數(shù)r=7，得到SVD的趨勢項和去趨勢項結(jié)果如圖4所示。

圖4 SVD結(jié)果

如圖4所示，經(jīng)過SVD后，所得趨勢項包含了原始時間序列的趨勢信息，同時趨勢項較為平穩(wěn)，相比圖4而言具有更小的非線性，因此可通過分解預(yù)測的思路提高預(yù)測精度。

為了驗證基于SVD-LSSVR預(yù)測模型的準(zhǔn)確性，選取樣本數(shù)據(jù)的70 %作為訓(xùn)練集(約為140個數(shù)據(jù))，余下30 %作為測試集(約為55個數(shù)據(jù))，以均方根誤差(root mean squared error，RMSE)和平均絕對誤差(mean absolute error，MAE)為指標(biāo)來衡量SVD-LSSVR算法對時間序列的預(yù)測能力，表達(dá)式如下[15]

(11)

(12)

式中Xreal,i為第i個數(shù)據(jù)的真實值，Xpre,i為第i個數(shù)據(jù)的預(yù)測值。

為了說明基于SVD的機(jī)載燃油泵趨勢分解對提高時間序列預(yù)測精度的影響，采用直接對原始時間序列構(gòu)造基于PSO參數(shù)優(yōu)化的LSSVR預(yù)測模型進(jìn)行對比驗證。所得結(jié)果如圖5所示。相比直接構(gòu)建LSSVR預(yù)測模型而言，經(jīng)過SVD后所構(gòu)建的LSSVR預(yù)測模型具有更高的預(yù)測精度，預(yù)測誤差更小，在預(yù)測結(jié)果上更接近于真實值。

圖5 預(yù)測結(jié)果對比

為了更直觀展示預(yù)測結(jié)果并證明基于SVD趨勢分解預(yù)測模型的優(yōu)勢，列出相應(yīng)算法的預(yù)測指標(biāo)如表1所示。

表1 預(yù)測誤差

如表1所示，通過對預(yù)測誤差進(jìn)行分析可知:1) 由于原始機(jī)載燃油泵性能指數(shù)退化序列具有較強(qiáng)的非線性和非平穩(wěn)性，直接構(gòu)建LSSVR模型時存在著模型不準(zhǔn)確、預(yù)測精度不足等缺點;2) 經(jīng)過SVD趨勢分解之后，所得趨勢項的時間序列復(fù)雜程度降低，有助于構(gòu)建準(zhǔn)確的預(yù)測模型;3) 采用SVD-LSSVR算法進(jìn)行預(yù)測，相比直接構(gòu)建LSSVR模型而言，RMSE與MAE均具有明顯的降低，證明了基于SVD-LSSVR算法的有效性。

5 結(jié) 論

本文采用趨勢分解—預(yù)測的思想，針對機(jī)載燃油泵數(shù)據(jù)較為復(fù)雜、難以構(gòu)建準(zhǔn)確的預(yù)測模型問題，采用SVD方法對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行分解以得到趨勢項及去趨勢項，然后采用粒子群優(yōu)化LSSVR的方法對分解得到的序列進(jìn)行預(yù)測，最后將趨勢項與去趨勢項的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行匯總以得到預(yù)測結(jié)果，有效提高了預(yù)測精度。實驗結(jié)果表明：1)采用SVD，能夠有效降低原始時間序列的復(fù)雜程度，相比對時間序列直接進(jìn)行分析，具有明顯的精度優(yōu)勢；2)采用粒子群算法優(yōu)化LSSVR模型，能夠自適應(yīng)的選擇核函數(shù)參數(shù)及懲罰因子，提高預(yù)測結(jié)果的穩(wěn)定性與精確性。