一類條件極值問(wèn)題的求解與研究

鮑 勇

(北京科技大學(xué) 天津?qū)W院，天津 301830)

0 引言

對(duì)于條件極值而言，一般的求解思路是化有條件極值為無(wú)條件極值。常見(jiàn)的解決方法有兩種[1]：一是代入法，二是拉格朗日乘數(shù)法。第一種方法存在很大缺陷，若約束條件是隱式的，則代入法很難進(jìn)行，而第二種方法則是通用的。本研究分析了求解條件極值的若干方法[2-3]，以此對(duì)高等數(shù)學(xué)教材中的一類條件極值問(wèn)題進(jìn)行求解[4]，并對(duì)此類問(wèn)題展開(kāi)進(jìn)一步研究。

1 問(wèn)題及其解法

條件極值問(wèn)題模型：求函數(shù)z=f(x,y)在條件φ(x,y)=0下的極值。

問(wèn)題1：求拋物線y2=4x上距離直線x-y+4=0最近的點(diǎn)，并求其最短距離。

下面將利用三種方法求解問(wèn)題1：

方法1：代入法。

從約束條件φ(x,y)=0中解出y=ψ(x)或x=φ(y)，并將結(jié)果代入目標(biāo)函數(shù)z=f(x,y)，從而將二元函數(shù)的條件極值問(wèn)題化為一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題。

方法2：拉格朗日乘數(shù)法。

引入待定乘子λ，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，將有條件極值問(wèn)題化為無(wú)條件極值問(wèn)題。

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

方法3：幾何法。

為研究平面直角坐標(biāo)系中曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離問(wèn)題[5]，可先將其具體到平面直角坐標(biāo)系中拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離問(wèn)題，得到了以下兩個(gè)結(jié)論：

定理1：設(shè)拋物線C∶y2=2px(p>0)到直線l∶y=kx+b(k>0)的距離為d，則：①若拋物線C與直線l相交，則最短距離dmin=0；②若拋物線C與直線l不相交，則最短距離dmin>0。

證明：將拋物線C與直線l的方程聯(lián)立，有k2x2+2(kb-p)x+b2=0，①當(dāng)4(kb-p)2-4k2b2≥0，即p≥2kb時(shí)，拋物線C與直線l相交，此時(shí)最短距離為交點(diǎn)到自身的距離，即dmin=0。②當(dāng)4(kb-p)2-4k2b2<0，即p<2kb時(shí)，拋物線C與直線l不相交．此時(shí)

(1)

定理2：若拋物線C∶y2=2px(p>0)與直線l∶y=kx+b(k>0)不相交，點(diǎn)P為拋物線C上到直線l最短距離的點(diǎn)，則拋物線C上在點(diǎn)P處的切線必與直線l平行。

在定理1及定理2中，僅研究了拋物線C∶y2=2px與直線l∶y=kx+b方程中的參數(shù)p>0，k>0的情形。由(1)式可知，以下兩種情形也是成立的：①若p>0，當(dāng)p<2kb，即k,b同號(hào)時(shí)，dmin>0。②若p<0，當(dāng)p>2kb，即k,b異號(hào)時(shí)，dmin>0。

2 問(wèn)題的推廣

在問(wèn)題1中利用了幾何法求解平面直角坐標(biāo)系中曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離問(wèn)題，下面將作進(jìn)一步的推廣研究，即利用幾何法來(lái)探討空間直角坐標(biāo)系中曲面上的點(diǎn)到平面的最短距離問(wèn)題。

問(wèn)題2：求曲面4z=3x2+3y2-2xy上的點(diǎn)到平面x-y-z=1的最短距離。

定理3：若曲面∑:z=f(x,y)與平面∏:Ax+By+Cz+D=0不相交，點(diǎn)P為曲面∑上到平面∏最短距離的點(diǎn)，則曲面∑上在點(diǎn)P處的切平面必與平面∏平行。

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L=(Ax+By+Cz+D)2+λ(f(x,y)-z)，解方程組

可得

(2)

由問(wèn)題的實(shí)際意義可知，點(diǎn)P(x0,y0,z0)必滿足(2)式。曲面∑上在點(diǎn)P處的法向量為n=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),-1)，則由(2)式可知n//(A,B,C)，證畢。

下面將利用幾何法和拉格朗日乘數(shù)法來(lái)求解問(wèn)題2。

方法1：幾何法。

方法2：拉格朗日乘數(shù)法

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

L=(x-y-z-1)2+λ(3x2+3y2-2xy-4z)，解方程組

3 結(jié)語(yǔ)

條件極值問(wèn)題有很多不同的解法，但除了拉格朗日乘數(shù)法外，其余條件極值問(wèn)題的解法往往具有局限性。通過(guò)問(wèn)題1和問(wèn)題2的求解方法可以看出，幾何法在處理此類條件極值問(wèn)題時(shí)，從理解角度、計(jì)算層面來(lái)說(shuō)都是簡(jiǎn)單易懂的。在遇到平面直角坐標(biāo)系或空間直角坐標(biāo)系中的最短距離問(wèn)題時(shí)，幾何法是一種可選擇的計(jì)算方法，但應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，把握正確的解題方向。