基于5D超混沌的圖像加密算法*

伍朝陽(yáng),周 瑛

(福建技術(shù)師范學(xué)院，福建 福清 350300)

隨著通信技術(shù)和因特網(wǎng)的飛速發(fā)展，人們對(duì)信息安全的重要性越來(lái)越重視了.圖像是人們熟知的媒介并在網(wǎng)絡(luò)上廣泛的傳播.為了保護(hù)重要圖像和隱私圖像，人們提出了多種加密方法[1-3].混沌理論作為一種非線性科學(xué)，具有對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和初始條件高度敏感性、偽隨機(jī)性、各態(tài)遍歷性和可重復(fù)性等特點(diǎn)，非常適合用來(lái)加密.目前相關(guān)人員已經(jīng)提出了很多基于混沌理論的圖像加密方法[4-6].其中有許多加密算法是基于低維混沌映射[7-9].低維混沌映射簡(jiǎn)單方便，但是具有小的密鑰空間和系統(tǒng)參數(shù)，用來(lái)進(jìn)行圖像加密并不十分安全.采用高維混沌映射來(lái)產(chǎn)生隨機(jī)序列會(huì)使圖像加密系統(tǒng)更加安全.高維混沌系統(tǒng)有超過(guò)1個(gè)正的李雅普諾夫指數(shù).與低維混沌系統(tǒng)相比，高維混沌系統(tǒng)能夠產(chǎn)生更加復(fù)雜的動(dòng)態(tài)行為和更高的隨機(jī)性[10-15].筆者擬用5D超混沌系統(tǒng)產(chǎn)生偽隨機(jī)序列，并對(duì)序列進(jìn)行預(yù)處理，產(chǎn)生置亂矩陣，最后對(duì)圖像作擴(kuò)散操作，以進(jìn)一步增強(qiáng)圖像的安全性.

1 5-D超混沌系統(tǒng)

1.1 5-D 超混沌系統(tǒng)

5-D超混沌系統(tǒng)[16]定義如下：

(1)

其中a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7是系統(tǒng)參數(shù).當(dāng)a1=30，a2=10，a3=15.7，a4=5，a5=2.5，a6=4.45，a7=38.5時(shí)，5D超混沌系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)并生成5個(gè)隨機(jī)序列.混沌系統(tǒng)的序列分布如圖1所示.

圖1 混沌序列分布

1.2 隨機(jī)序列預(yù)處理

假設(shè)明文圖像P是大小M×N的灰度圖像，其中M和N分別是圖像的行和列.

隨機(jī)序列預(yù)處理步驟如下：

(ⅰ)根據(jù)密鑰計(jì)算系統(tǒng)(1)的迭代初始值，得到

(2)

(ⅱ)迭代系統(tǒng)(1)N0次去除暫態(tài)效應(yīng)，

其中floor(x)表示返回小于等于x的最大整數(shù).

(ⅲ)繼續(xù)迭代系統(tǒng)(1)MN/4次，產(chǎn)生5個(gè)隨機(jī)實(shí)數(shù)序列，即X=(x1,x2, …,xMN/4)，Y=(y1,y2, …,yMN/4)，Z=(z1,z2, …,zMN/4)，U=(u1,u2, …,uMN/4)，V=(v1,v2, …,vMN/4).

(ⅳ)從5個(gè)序列中選擇4個(gè)序列，并將它們組合成長(zhǎng)度為MN的新序列.根據(jù)排列組合理論，共有120 種組合方式.例如K1=(Y,Z,V,X)，K2=(X,V,Z,U)，K3=(V,X,Z,Y)，K4=(U,Y,Z,V).

[g,h]=sort(K4)，

其中：sort(x)表示對(duì)序列x按大小進(jìn)行排序；i=1, 2, …,MN；j=1, 2, 3；g為新的序列；h為序列g(shù)的索引.

2 置亂和擴(kuò)散方法

2.1 置亂方法

置亂方法具體如下：

(ⅱ)對(duì)矩陣S按列進(jìn)行排序得到索引矩陣C；

(ⅲ)對(duì)矩陣C進(jìn)行列擴(kuò)展得到矩陣CE.以矩陣C中的相應(yīng)元素作為行坐標(biāo)，以該元素所在的列作為列坐標(biāo).假設(shè)矩陣C中第e行元素為Ce,1,Ce,2,…,CeN，那么矩陣CE中第e行元素為(Ce,1,1),(Ce,2,2),…,(CeN,N).

(ⅳ)以CE中的元素對(duì)作為坐標(biāo)找到矩陣S中對(duì)應(yīng)的元素并按大小進(jìn)行排序，得到排序后的坐標(biāo)矩陣T.

(ⅴ)利用矩陣T對(duì)明文圖像P進(jìn)行置亂，得到置亂圖像P′.

為了更好地闡明置亂過(guò)程，現(xiàn)舉例說(shuō)明.假設(shè)明文圖像P和隨機(jī)矩陣S是4×4的矩陣，如圖2所示.接下來(lái)進(jìn)行以下操作：

圖2 置亂過(guò)程

(1)對(duì)隨機(jī)矩陣S按列進(jìn)行升序排序，得到索引矩陣C.

(2)以C中的元素作為行，以該元素所在的列作為列進(jìn)行擴(kuò)展，得到由序列對(duì)組成的擴(kuò)展矩陣CE.

(3)以CE中每一行的序列對(duì)作為坐標(biāo)，找到矩陣S中對(duì)應(yīng)元素并進(jìn)行升序排序，得到排序后的矩陣T.

如矩陣CE中第2行元素分別是(2,1)，(1,2)，(3,3)和(2,4).以這4個(gè)元素對(duì)作為坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的S中的元素分別為0.38，0.42，0.98和0.31，對(duì)它們按升序排序得到0.31，0.38，0.42和0.98，對(duì)應(yīng)的索引號(hào)為2，3，4，1.因此矩陣T中的第2行元素為(1,2)，(3,3)，(2,4)和(2,1).

(4)以矩陣T作為置亂矩陣對(duì)明文圖像P進(jìn)行置亂，得到置亂圖像P′.

2.2 擴(kuò)散方法

擴(kuò)散過(guò)程具體如下：

(ⅲ)通過(guò)如下公式得到序列Q：

其中：circshift[u,v,w]表示對(duì)二進(jìn)制序列u進(jìn)行w比特的循環(huán)移位操作；LSB(w)為向量w的最低有效位，二進(jìn)制值v決定循環(huán)移位的方向，v=1為右循環(huán)，v=0為左循環(huán).

(ⅳ)變換二進(jìn)制序列Q為十進(jìn)制形式.

(ⅴ)通過(guò)如下公式得到擴(kuò)散序列B：

(ⅵ)變換序列B到圖像矩陣P″，P″即為所求加密圖像.

解密過(guò)程是加密過(guò)程的逆運(yùn)算，這里就不再詳述.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖3 明文圖像及其加密圖像和解密圖像

3.2 密鑰空間分析

本研究的密鑰空間是由5D超混沌系統(tǒng)的5個(gè)初始值決定的.如果系統(tǒng)精度是10-15，那么系統(tǒng)的密鑰空間是(1015)5=1075≈2249.本研究設(shè)計(jì)的算法5DHS與2DDTM[17]，SFTS[18]，SPQCM[19]的密鑰空間比較結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 密鑰空間的比較

由表1可知，5DSH比2DDTM，SFTS，SPQCM具有更大的密鑰空間，能夠有效地抵御暴力攻擊.

3.3 密鑰敏感性分析

一個(gè)好的加密系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)對(duì)初始密鑰很敏感.當(dāng)其中的一個(gè)密鑰發(fā)生微小改變(10-15)而其余密鑰保持不變時(shí)，系統(tǒng)將會(huì)生成2個(gè)完全不同的加密圖像.同樣，當(dāng)僅有一個(gè)密鑰發(fā)生微小變化(10-15)時(shí)，系統(tǒng)也不能夠正確的解密圖像.密鑰敏感性測(cè)試結(jié)果如圖4所示，這4幅圖分別是只有x1，x2，x3，x4發(fā)生變化而其他值保持不變得到的圖像.不同加密和解密圖像之間的差異見(jiàn)表2.

圖4 密鑰敏感性測(cè)試結(jié)果

表2 密鑰發(fā)生微小變化時(shí)所獲得的加密與解密圖像

由圖4和表2可見(jiàn)：當(dāng)密鑰發(fā)生微小改變時(shí)，將會(huì)生成完全不同的加密圖像；將發(fā)生微小變化的密鑰用于解密，也不能獲得正確的解密圖像.這說(shuō)明系統(tǒng)對(duì)密鑰是敏感的.

3.4 直方圖分析

加密圖像的直方圖應(yīng)當(dāng)盡可能分布得比較均勻.3個(gè)明文圖像的直方圖及明文圖像的加密圖像的直方圖如圖5所示.

圖5 明文圖像的直方圖及明文圖像的加密圖像的直方圖

由圖5可見(jiàn)，明文圖像的像素值集中在某些區(qū)域，而加密圖像的直方圖分布更加均勻平滑.因此所提出的算法能夠抵御統(tǒng)計(jì)攻擊.

采用卡方測(cè)試[20-21]來(lái)衡量直方圖的均勻度χ2，

其中oi和ei分別為像素灰度級(jí)的實(shí)際分布和期望分布，

表3 直方圖的卡方測(cè)試

由表3可知，5DSH的測(cè)試值都小于理論值293.25，因此可以認(rèn)為5DSH的直方圖分布是均勻的并能夠通過(guò)卡方測(cè)試.

3.5 相關(guān)性分析

明文圖像的相鄰像素具有很大的相關(guān)性，而加密圖像相鄰像素的相關(guān)性應(yīng)該接近為0.像素x和y之間的相關(guān)性系數(shù)rxy定義為

其中

分別從明文圖像Peppers及其加密圖像中隨機(jī)選擇7 225對(duì)水平、垂直和對(duì)角方向的相鄰像素，圖6示出了明文圖像Peppers及其加密圖像在3個(gè)方向上的相關(guān)性結(jié)果.

圖6 明文圖像Peppers及其加密圖像的在3個(gè)方向上的相關(guān)性結(jié)果

由圖6可見(jiàn)，明文圖像之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，而加密圖像之間的相關(guān)性大大減小.

明文圖像Peppers及其加密圖像在3個(gè)方向上的相關(guān)性系數(shù)見(jiàn)表4.

表4 明文圖像Peppers及其加密圖像在3個(gè)方向上的相關(guān)性系數(shù)

由表4可知，明文圖像的像素之間相關(guān)性較大，而加密圖像像素之間的相關(guān)性較小.

3.6 信息熵分析

信息熵是衡量隨機(jī)性最重要的特征.令m是信息源，信息熵定義為

其中p(mi)為信號(hào)mi的頻率，L為mi的總和.加密圖像的信息熵見(jiàn)表5.

表5 信息熵的比較

由表5可知：加密圖像的信息熵接近于理想值8，因此5DSH能夠抵御熵攻擊；5DSH比2DDTM和SFTS方法具有更大的信息熵.

表6 局部熵

由表6可知，所有的局部熵都能夠通過(guò)置信度為0.001和0.01的測(cè)試，只有1個(gè)不能通過(guò)置信度為0.05的測(cè)試.由此可見(jiàn)，用5DSH得到的加密圖像具有很高的隨機(jī)性并能夠抵御熵分析攻擊.

3.7 差分攻擊分析

像素改變率(Number of Pixel Changing Rate，NPCR)和一致平均改變強(qiáng)度(Unified Average Changed Intensity，UACI)是衡量明文敏感性非常重要的2個(gè)指標(biāo).像素改變率和一致平均改變強(qiáng)度的計(jì)算公式分別為

其中：

C1和C2分別為明文圖像改變一個(gè)像素前后所得到的加密圖像.像素改變率和一致平均改變強(qiáng)度的計(jì)算見(jiàn)表7.

表7 加密圖像Peppers的像素改變率和一致平均改變強(qiáng)度

由表7可知，5DHS的像素改變率和一致平均改變強(qiáng)度結(jié)果比DKSM和SFTS的更好，說(shuō)明它能夠更有效抵御差分攻擊.

3.8 剪切和噪聲攻擊分析

一個(gè)好的加密系統(tǒng)應(yīng)該能夠抵御剪切和噪聲攻擊.以Peppers加密圖像(圖3(c)加密)為例，圖7示出了將其剪切1/8，1/4，1/2后的圖像及相應(yīng)的解密圖像.

圖7 Peppers加密圖像的剪切攻擊圖像及相應(yīng)的解密圖像

由圖7可見(jiàn)，加密圖像丟失1/8，1/4和1/2數(shù)據(jù)時(shí)，解密出的圖像雖然含有噪聲，但是圖像是可以辨認(rèn)的.

將常用的椒鹽噪聲和高斯白噪聲加到Peppers加密圖像(圖3(c)加密)，相應(yīng)的解密圖像如圖8所示.

圖8 Peppers加密圖像噪聲攻擊后的解密圖像

由圖8可見(jiàn)，當(dāng)高斯白噪聲的方差由0.001變到0.01時(shí)，解密圖像上會(huì)出現(xiàn)更多噪聲點(diǎn)，但是解密的圖像還是可辨認(rèn)的.受椒鹽噪聲攻擊的圖像具有類似的性質(zhì).

4 結(jié)語(yǔ)

本研究提出了一種基于5D超混沌的圖像加密算法.首先，根據(jù)給定的初始密鑰，產(chǎn)生5D超混沌系統(tǒng)的初始迭代值.然后混沌序列被預(yù)處理產(chǎn)生新的序列.基于列排序和行排序的二維置亂方法被提出，采用循環(huán)移位去增強(qiáng)系統(tǒng)的安全性，最后對(duì)圖像進(jìn)行擴(kuò)散處理，得到加密圖像.通過(guò)采用高維混沌系統(tǒng)，能夠產(chǎn)生隨機(jī)性更好的序列.實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析表明，作者提出的算法具有大的密鑰空間，能夠抵御差分攻擊、統(tǒng)計(jì)攻擊、暴力攻擊、剪切和噪聲攻擊等.未來(lái)會(huì)對(duì)系統(tǒng)的效率以及運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行進(jìn)一步的分析.