拓?fù)浜稍趫A盤(pán)狀向列相液晶薄膜中的尺寸效應(yīng)*

梁德山 黃厚兵 趙亞楠 柳祝紅 王浩宇 馬星橋?

1) (北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 北京 100083)

2) (北京理工大學(xué)前沿交叉科學(xué)研究院, 北京 100081)

拓?fù)洮F(xiàn)象對(duì)于病毒顆粒的空間分布、高分子聚合物納米囊泡的成型以及玻色-愛(ài)因斯坦凝聚物等方面都發(fā)揮著重要作用.本文利用Landau-de Gennes 理論, 構(gòu)建模型來(lái)模擬液晶中拓?fù)浜煞植技捌渌F(xiàn)象.通過(guò)對(duì)數(shù)值模型序參量場(chǎng)的演化, 以及模擬液晶薄膜中所生成的拓?fù)浜芍g的相互作用來(lái)分析液晶(Lqc)薄膜的尺寸對(duì)拓?fù)浜傻挠绊?研究結(jié)果表明,隨著液晶盤(pán)半徑增大, 拓?fù)浜砷g最優(yōu)距離與半徑之比漸增并趨于穩(wěn)定.此研究結(jié)論對(duì)利用拓?fù)浜赡垲w粒物效應(yīng)設(shè)計(jì)分離容器有指導(dǎo)意義, 有助于進(jìn)一步理解拓?fù)淠z體和液晶以及液晶共聚物等軟物質(zhì)中的拓?fù)洮F(xiàn)象.

1 引 言

拓?fù)浜墒怯行蚪橘|(zhì)中形成的拓?fù)淙毕? 在超流體、玻色-愛(ài)因斯坦凝聚物[1,2](Bose-Einstein condensate)以及卡拉比-丘流形[3](Calabi-Yau manifold)中都有出現(xiàn).它們影響病毒顆粒的分布[4?6]、影響液晶的光電性質(zhì)[7?10]、影響液晶共聚物納米囊泡的自組織成型[11?13].利用拓?fù)浜傻奶厥庑再|(zhì), 裝配[14]和分離微小顆粒[15]、預(yù)先設(shè)定人真皮纖維細(xì)胞的生長(zhǎng)紋理及方向[16].在向列相液晶(NLqc)中拓?fù)浜砷g有著類(lèi)電荷的相互作用[17].在科學(xué)研究中制造并控制拓?fù)浜? 以制作拓?fù)鋸?fù)合材料[18,19].拓?fù)浜墒俏锢韺W(xué)中應(yīng)用最廣泛的概念之一.液晶中的缺陷也可以用拓?fù)浜蓙?lái)描述.液晶及其聚合物等軟物質(zhì)體系中, 液晶分子在空間中占據(jù)位置, 而且其分子取向也有豐富多變的排布方式.其他體系中能夠出現(xiàn)的拓?fù)洮F(xiàn)象, 在液晶體系中都有存在, 而且由于液晶的光學(xué)特性, 拓?fù)洮F(xiàn)象在液晶體系中十分便于觀測(cè).因此液晶等軟材料是研究此類(lèi)拓?fù)洮F(xiàn)象的優(yōu)良研究對(duì)象.

本工作模擬拓?fù)浜稍诓煌叽绲膱A盤(pán)型向列相液晶薄膜中的空間分布[20,21], 模擬格點(diǎn)大小128 ×128 × 4, 格點(diǎn)尺寸與模擬圓盤(pán)的半徑相關(guān).并且模擬了液晶圓盤(pán)的偏光光學(xué)顯微鏡(polarizing optical microscope, POM)視圖.基于自由能最小化的數(shù)值模擬結(jié)果表明, 向列相液晶薄膜中的二維拓?fù)浜? 有近似固定的平衡位置, 平衡位置隨圓盤(pán)大小浮動(dòng), 并由自由能平面分布圖來(lái)解釋這一現(xiàn)象.

2 理論計(jì)算模型及方法

液晶中的缺陷可以用缺陷的拓?fù)浜蓙?lái)描述,Landau-de Gennes 模型[22]可以解釋在物理上觀察到的整數(shù)拓?fù)浜珊桶胝麛?shù)拓?fù)浜?在本研究采用Landau-de Gennes 模型, 通過(guò)相場(chǎng)方法模擬向列相液晶中的拓?fù)浜?

Landau-de Gennes 模型通過(guò)對(duì)稱(chēng)的無(wú)跡張量Qij,作為序參量[22]:

其中, S 是標(biāo)量序參量, 其范圍是 ? 1/2

圖1 (a) 液晶指向矢與空間坐標(biāo)軸之間夾角的示意圖;(b) 液晶圓盤(pán)直徑D0 和兩個(gè)大小為 + 1/2 拓?fù)浜芍g距離d 的示意圖, 紅色標(biāo)記表示 + 1/2 拓?fù)浜蒄ig.1.(a) Schematic of the angle between director of liquid crystal and the spatial axis; (b) schematic of the NLqc disc diameter D0 and d the distance between two topological charges, + 1/2 topological charges represented by red markers.

體積自由能密度表達(dá)式[22]為

其 中, a=(a*(T-T*)), T 是溫度, T*為相變點(diǎn), b,c1和c2與具體材料有關(guān)[23].彈性能表達(dá)式為

其中Landau-de Gennes 模型的彈性能系數(shù)[23]L1=4.20×10?12(N) , L2=5.51×10?12(N) ,L3=1.02×10?12(N) 它們的值和展曲彈性系數(shù)k11=6.7010?12(N) , 扭曲彈性系數(shù) k22=3.60×10?12(N) ,彎曲彈性系數(shù) k33=9.00×10?12(N)[24]以及 S 相關(guān)[25,26], (5CB(LC 1264)[27]的展曲、扭曲和彎曲彈性能系數(shù) ?ijk是列維-奇維塔符號(hào):

表面錨定能密度[28]為

其中 W1>0 (W1= 9.00 × 10–8(N))對(duì)應(yīng)錨定強(qiáng)度,有利于指向矢沿著邊界的切線方向, W2>0 保證了表面標(biāo)量參數(shù)的最小值.PijQklPlj, 其中是邊界切線方向的單位矢量.

系統(tǒng)總自由能為

在相場(chǎng)模擬中, 相場(chǎng)參數(shù)的演化是由含時(shí)Ginzburg-Landau 方程控制:

其中Γ 是向列相液晶的黏度系數(shù).數(shù)值方法求解方程(10), 得到向列相液晶的指向矢隨時(shí)間的空間分布, 從而得到向列相液晶中的缺陷的演化.模型所用參數(shù)如表1 所列.

表1 5CB(LC 1264)的彈性常數(shù)[27]Table 1.Elastic constants of 5CB (LC 1264).

3 結(jié)果與討論

對(duì)于不同半徑的液晶圓盤(pán), 使用128 × 128 ×4 的網(wǎng)格系統(tǒng), 計(jì)算不同指向矢分布的體系總自由能大小.如圖1 (b)所示, 液晶盤(pán)直徑為D0(取0.4—12 mm), 其中格點(diǎn)尺寸對(duì)應(yīng)為(0.0031, 0.0055,0.0078, 0.0102, 0.0141, 0.0234 0.0391, 0.0547,0.0703, 0.0938) mm, 在每個(gè)圓盤(pán)中對(duì)稱(chēng)分布有兩個(gè)值為 1/2 的拓?fù)浜? 兩個(gè)拓?fù)浜傻木嚯x為d, 計(jì)算總自由能, 得到不同尺寸圓盤(pán)狀液晶薄膜總自由能隨拓?fù)浜芍g的距離變化的彩色曲線如圖2 (a)所示, 其中曲線上標(biāo)注的自由能最小值點(diǎn)即為兩個(gè)拓?fù)浜傻淖顑?yōu)距離.其中, 在兩個(gè)拓?fù)浜砷g距 d/D0在0.542—0.559 時(shí), 為二者最優(yōu)距離, 此時(shí)自由能最小.

圖2 (a) 直徑分別為0.4?12 mm 圓盤(pán)中液晶薄膜自由能隨中心兩個(gè)拓?fù)浜傻拈g距變化曲線; (b) 兩個(gè)拓?fù)浜傻淖顑?yōu)位置隨液晶圓盤(pán)直徑變化的趨勢(shì)圖Fig.2.(a) The free energy of liquid crystal film in a disk with diameters ranging from 0.4 mm to 12 mm as a function of the distance between the two topological charges;(b) the trend of the optimal position of the two topological charges as a function of the diameter of the liquid crystal disk.

圖2 (b) 中曲線上的點(diǎn)是由圖2 (a)每條曲線上的自由能最小值點(diǎn)得到的.自由能最小值點(diǎn), 隨圓盤(pán)直徑變化, 其變化規(guī)律如圖2 (b)所示, 隨直徑 由0.4 mm 到12 mm 逐漸 增 大, 在0—5 mm段內(nèi), 兩個(gè)+1/2 缺陷平衡位置的距離與圓盤(pán)直徑的比值逐漸增大, 由0.542 增大到趨近于0.558,5—12 mm 段, 這一比值保持在0.559 附近.這種現(xiàn)象是因?yàn)? 邊界錨定能作用區(qū)域較小, 隨著圓盤(pán)直徑增大, 兩個(gè)拓?fù)浜删嚯x邊界越來(lái)越遠(yuǎn), 邊界對(duì)其排斥作用越來(lái)越小.

圖3 (a), 和圖3(b)分別為液晶圓盤(pán)直徑為0.4和12 mm 模擬超長(zhǎng)時(shí)間的POM 偏光顯微鏡下的顯影.可以看出, 直徑為0.4 mm 時(shí)兩個(gè)+1/2 的拓?fù)浜杀戎睆綖?2 mm 時(shí)更靠近圓心.圖3 (c), 和圖3(d) 是模擬過(guò)程中的POM 圖像, 模擬過(guò)程中兩個(gè)拓?fù)浜傻膴A角在非常長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)都在140°—180°之間不斷變化.

基于以上的結(jié)果, 固定一個(gè)+1/2 的拓?fù)浜稍诰嚯x圓心0.55 R0處, 另一個(gè)+1/2 的拓?fù)浜杀闅v整個(gè)圓面, 通過(guò)數(shù)值方法計(jì)算出體系的總自由能隨其位置變化的熱值圖, 如圖3 (e) 所示.在圖中左側(cè)藍(lán)色月牙狀區(qū)域體系自由能最小, 因此平衡時(shí)拓?fù)浜蓛?yōu)先占據(jù)此區(qū)域.這一結(jié)果與 Duclos 等[29]拍攝的486 個(gè)圓盤(pán)結(jié)果一致.圖3 (e) 中自由能較低的區(qū)域, 正是第二個(gè)拓?fù)浜沙霈F(xiàn)概率最大的區(qū)域.兩個(gè)拓?fù)浜傻膴A角在140°—180°之間.

圖3 (a)?(d)偏光鏡圖片 (a), (b) 圓盤(pán)直徑為0.4 和12 mm 時(shí)得到的平衡位置POM 圖; (c), (d)計(jì)算模擬的接近最終平衡位置的偏光顯微鏡圖片.(e) 自由能隨角度和位置變化的分布圖Fig.3.(a)?(d) are polarizing optical microscope images:(a), (b) are POM images of the optimal positions for disk diameters of 0.4 and 12 mm, respectively; (c), (d) POM images of a near-final optimal position obtained from computational simulation.(e) Free energy as a function of position.

演化過(guò)程中兩個(gè)拓?fù)浜傻奈恢貌粩嘧兓? 在統(tǒng)計(jì)路徑時(shí), 通過(guò)旋轉(zhuǎn)液晶圓盤(pán), 把其中一個(gè)拓?fù)浜晒潭ㄔ趫A心指向右側(cè)的半徑上, 它可以在此半徑上左右平移.模擬十種不同的相對(duì)位置, 得到十條曲線, 如圖4 所示.圖中黑色圓點(diǎn)表示軌跡的起點(diǎn),藍(lán)色圓點(diǎn)表示軌跡的終點(diǎn);每個(gè)彩色線代表一組拓?fù)浜傻南鄬?duì)運(yùn)動(dòng)軌跡, 紅色到藍(lán)色的變化表示時(shí)間.圖中拓?fù)浜傻倪\(yùn)動(dòng)軌跡最后都走向圖3 (e) 所示的藍(lán)色區(qū)域, 此區(qū)域是自由能較低的狀態(tài).

圖4 十個(gè)不同相對(duì)位置的拓?fù)浜裳莼^(guò)程的運(yùn)動(dòng)跡圖Fig.4.Motion traces of the topological charges evolution process for 10 different relative positions.

4 結(jié) 論

圓盤(pán)的尺寸對(duì)拓?fù)浜傻钠胶馕恢糜杏绊?拓?fù)浜傻南鄬?duì)平衡位置在0.542—0.558 之間, 其中0—5 mm 液晶圓盤(pán)中兩個(gè)+1/2 拓?fù)浜傻拈g距與圓盤(pán)直徑的比值由0.542 增大到0.558, 之后在5—12 mm 段這一比值基本穩(wěn)定在0.558.隨著圓盤(pán)尺寸的增大邊界錨定能的影響越小, 平衡位置即兩拓?fù)浜傻拈g距與圓盤(pán)直徑的比值趨近于恒定值.這一平衡位置是圓盤(pán)邊界對(duì)+1/2 拓?fù)浜傻某饬瓦@兩個(gè)拓?fù)浜芍g排斥力平衡的結(jié)果.液晶圓盤(pán)中兩個(gè)拓?fù)浜傻膴A角在140°—180°之間.拓?fù)浜傻倪\(yùn)動(dòng)軌跡, 是其尋找自由能最低點(diǎn)的過(guò)程, 軌跡的終點(diǎn)在自由能最小值區(qū)域.