基于GeoGebra對(duì)一種彈簧擺問題的可視化研究

陳林 桑芝芳

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇 蘇州 215000)

1 試題及解析

如圖1所示，一輕質(zhì)彈簧固定于C點(diǎn)，另一端固定一小球，將小球從與懸點(diǎn)C在同一水平面且彈簧保持原長(zhǎng)的A點(diǎn)無初速度釋放，讓其自由擺下，不計(jì)空氣阻力，在小球擺向最低點(diǎn)P的過程中，下列說法中正確的是( )

A.小球的重力勢(shì)能減少

B.小球的機(jī)械能減少

C.小球的重力勢(shì)能與彈簧的彈性勢(shì)能之和不變

D.小球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能減少

圖1 試題情境圖

解析：小球從A運(yùn)動(dòng)到P的過程中，以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，重力做正功，重力勢(shì)能減小，選項(xiàng)A正確；但是由于彈簧彈力做負(fù)功，將小球的一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，所以小球的機(jī)械能減少，選項(xiàng)B正確；此過程重力勢(shì)能減少，轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能和小球的動(dòng)能，所以小球的重力勢(shì)能與彈簧的彈性勢(shì)能之和減小，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；只有重力和彈簧彈力做功，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．本題答案為選項(xiàng)A，B．

以上分析是定性分析，縱使能把答案選出來，學(xué)生依然會(huì)有許多疑問：

(1)小球接下來的運(yùn)動(dòng)軌跡是怎么樣的？

(2)懸點(diǎn)正下方P點(diǎn)，小球速度的方向是水平嗎？

(3)小球的合速度大小是怎么變化的？能畫出速度圖像嗎？

(4)P點(diǎn)合力方向向上還是向下？

……

關(guān)于疑問(3)，文獻(xiàn)[1]作者通過MATHCAD給出結(jié)論：在一個(gè)周期內(nèi)小球合速度先變大再減小，然后變大最后減?。?/p>

關(guān)于疑問(4)，文獻(xiàn)[2]作者通過動(dòng)力學(xué)方程分析出P點(diǎn)合力方向向上．

通過查閱更多文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)對(duì)該彈簧擺研究?jī)?nèi)容不少，但大多是面對(duì)大學(xué)層次學(xué)生的教授，通過MATLAB，MATHEMATICA，MATHCAD等軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，或者是如文獻(xiàn)[2]通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行探究．但MATLAB，MATHEMATICA，MATHCAD等軟件對(duì)中學(xué)教師來說使用難度較大，GeoGebra軟件不僅使用簡(jiǎn)單，無需編程，而且同樣可以進(jìn)行數(shù)值模擬，對(duì)中學(xué)物理教學(xué)有很大幫助．

接下來，本文針對(duì)疑問(1)、(2)，借助GeoGebra軟件進(jìn)行探究．

2 建立模型

以彈簧懸掛點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖2所示的坐標(biāo)系，圖2所示為任意時(shí)刻小球所在的位置P(x,y)．開始時(shí)θ=90°，小球處于水平位置，彈簧處于原長(zhǎng)L0，設(shè)彈簧勁度系數(shù)為κ，小球質(zhì)量為m．

圖2 建立坐標(biāo)系

2.1 微分動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)小球分別進(jìn)行水平方向和豎直方向上的受力分析.

在水平方向上有

(1)

在豎直方向上有

(2)

其中

整理可得,水平方向

(3)

豎直方向

(4)

x(0)=L0y(0)=0

2.2 GeoGebra數(shù)值模擬

實(shí)際上，不同的初始擺角、勁度系數(shù)、小球的質(zhì)量、彈簧的原長(zhǎng)等都會(huì)影響彈簧擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律[3]．本文由題意知，小球是從水平位置下落，所以初始條件設(shè)為θ=90°．為方便起見，不妨設(shè)彈簧原長(zhǎng)

L0=20 mg=10 m/s2

κ=1 N/mm=0.01 kg

用GeoGebra描繪小球運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示，小球的速度與水平位移的關(guān)系圖如圖4所示，小球重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能、動(dòng)能與水平位移關(guān)系圖如圖5所示，B，D，C3條線分別代表重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能、動(dòng)能．圖6則是任意時(shí)刻小球的重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能與動(dòng)能具體數(shù)值，可以看出三者能量守恒，總和為零．

t=50 s；L0=20 m；

圖4 速度和水平位移的關(guān)系圖

圖5 小球重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能、動(dòng)能與水平位移關(guān)系圖

圖6 任意時(shí)刻小球的重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能與動(dòng)能

2.3 圖形分析

2.3.1 軌跡圖

在L0=20 m，κ=1 N/m，m=0.01 kg時(shí)，圖3是該彈簧擺的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，其軌跡近似是半個(gè)圓周，在懸點(diǎn)正下方小球的速度是水平的．

2.3.2 速度與水平位移關(guān)系圖

由圖4可知，從下落開始，小球的速度先增大后減小，最低點(diǎn)速度達(dá)到最大，且呈周期性變化．

2.3.3 重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能、動(dòng)能與水平位移關(guān)系圖

由圖5可以看出，小球從下落開始，在一個(gè)周期內(nèi)，重力勢(shì)能先變小后變大，彈性勢(shì)能先變大后變小，動(dòng)能先變大后變?。麄€(gè)系統(tǒng)能量守恒，不過彈性勢(shì)能對(duì)整個(gè)系統(tǒng)影響較?。?/p>

2.4 拓展分析

此外，在三維模型中，若給小球一個(gè)y軸方向的初速度，設(shè)

運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10所示.由圖可以看出，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡像一朵盛開的蓮花，從而更能體現(xiàn)出彈簧擺問題的復(fù)雜性與多樣性．

圖10 在三維模型中小球運(yùn)動(dòng)軌跡像蓮花

3 結(jié)論與反思