基于主成分分析與因子分析的開放式公募基金評(píng)價(jià)模型

潘佳祥 董傲坤 鮑一丹

（天津科技大學(xué)，天津 300450）

基金投資在近些年來(lái)是一個(gè)熱門話題，越來(lái)越多的投資者將購(gòu)買基金作為投資方式，截至2020年第四季度末，我國(guó)的基金數(shù)量已多達(dá)7000多只。同時(shí)我國(guó)的開放式公募基金經(jīng)過(guò)了20多年的發(fā)展，截至2020年年底，其規(guī)模已經(jīng)躍居亞太地區(qū)第一，全球第五。并且，隨著開放式公募基金的發(fā)展，出現(xiàn)了越來(lái)越多的基金經(jīng)理，其管理的基金規(guī)模也在逐步擴(kuò)大。但是，由于基金經(jīng)理的水平差異較大，基金之間的業(yè)績(jī)也各不相同，基金投資領(lǐng)域出現(xiàn)分化的現(xiàn)象。許多投資者面對(duì)如此眾多的開放式公募基金與基金經(jīng)理，很難作出最優(yōu)選擇。

面對(duì)數(shù)量眾多的基金與投資者難以選擇的局面，開放式公募基金的業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)和推薦模型對(duì)基金銷售機(jī)構(gòu)和廣大投資者都具有重要意義。

一、模型的建立與分析

1.數(shù)據(jù)來(lái)源

本文利用基于Python的開源金融數(shù)據(jù)接口庫(kù)收集2008年至2020年所有開放式公募基金從成立以來(lái)的所有歷史凈值數(shù)據(jù)，包括每日凈值、累計(jì)凈值和收益率，并進(jìn)行數(shù)據(jù)清洗，得到有效數(shù)據(jù)。

2.主成分分析與因子分析概述

主成分分析與因子分析的主要思想類似，二者都是利用了“降維”思想，利用若干主成分或者公因子來(lái)代表原始變量。

主成分分析是利用線性的變換方法，把高維的問(wèn)題向低維的問(wèn)題轉(zhuǎn)化，把研究變量通過(guò)降維處理，轉(zhuǎn)變成新的變量，同時(shí)按照方差降序排列。主成分分析的方法可以將很多變量通過(guò)降維處理，轉(zhuǎn)化成少數(shù)互不相關(guān)的新變量。所形成的新變量能夠解釋原有數(shù)據(jù)的絕大多數(shù)變量，即原有變量的主要成分，并且能夠解釋數(shù)據(jù)的綜合指標(biāo)。因子分析同樣運(yùn)用了“降維”理念，結(jié)合原有變量的相關(guān)矩陣內(nèi)部關(guān)系，將關(guān)系復(fù)雜變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)公共因子和特殊因子線性組合。相比較于主成分分析法，因子分析則側(cè)重于描述原始變量之間的相關(guān)關(guān)系。

3.模型的建立

（1）收益率指標(biāo)

基金的收益水平是基金的業(yè)績(jī)的重要組成部分。本文選取日均收益率、超額收益率兩個(gè)收益評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)對(duì)基金收益情況進(jìn)行衡量。首先建立基金業(yè)績(jī)與收益水平的關(guān)系函數(shù)。設(shè)第i只基金的收益率為ri，第i只基金的單位凈值為pi，基金份額為X，P0，P1分別為0時(shí)刻與1時(shí)刻基金單位凈值，

超額收益率：Rit=ri-rm

（2）風(fēng)險(xiǎn)衡量指標(biāo)

投資中的風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題也不容忽視，主要是基金投資收益的不確定性，基金經(jīng)理一般會(huì)結(jié)合自己獨(dú)有的投資經(jīng)驗(yàn)與操作風(fēng)格，通過(guò)各種方式來(lái)達(dá)到規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的目的，可是基金的收益波動(dòng)不能被完全消除。本文選用基金收益率的標(biāo)準(zhǔn)差、最大回撤值這兩個(gè)指標(biāo)衡量基金的風(fēng)險(xiǎn)情況。

（3）夏普比率

基金投資中，風(fēng)險(xiǎn)的差異往往意味著收益的差異。夏普比率同時(shí)將風(fēng)險(xiǎn)因素與收益因素綜合考慮，能夠減少因考慮單一風(fēng)險(xiǎn)或收益因素來(lái)評(píng)價(jià)投資的誤差，提高評(píng)價(jià)的準(zhǔn)確性與客觀性。因此，本文選取夏普比率作為綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)。

由于我國(guó)國(guó)債市場(chǎng)流動(dòng)性較弱，利率市場(chǎng)化較弱，不適合直接選取國(guó)債利率。因此本文綜合考慮后，決定選用中國(guó)銀行2021年度的一年期定期存款利率1.75%為投資無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，即rf=1.75%。

（4）綜合評(píng)價(jià)

最后運(yùn)用SPSS軟件對(duì)得到的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析找出兩個(gè)主成分，通過(guò)因子分析得到旋轉(zhuǎn)后的方差貢獻(xiàn)率作為因子權(quán)重。將因子權(quán)重與對(duì)應(yīng)成分構(gòu)建線性方程，得出綜合得分并排序，從中選擇前10的基金作為推薦基金。然后把這10只基金2015年每日收益率賦予相等的權(quán)重并求和，作為組合的收益率，在此基礎(chǔ)上對(duì)所推薦基金未來(lái)一年，即2016年的日收益進(jìn)行預(yù)測(cè)。

4.模型的分析

本文對(duì)2008年至2020年中每一年已成立的基金分別進(jìn)行分析，在該年尚未成立的基金不予考慮。接下來(lái)從基金的收益水平和風(fēng)險(xiǎn)程度兩方面進(jìn)行綜合分析。一方面，通過(guò)計(jì)算基金的日均收益率、超額收益率和夏普比率判斷基金的收益水平；另一方面，通過(guò)計(jì)算基金的最大回撤值、標(biāo)準(zhǔn)差作為基金的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)。綜合從以上五個(gè)角度進(jìn)行分析。本文選取2016年基金的發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行展示分析。

（1）分析一：相關(guān)性分析

對(duì)每年各只基金的日均收益率、超額收益率、夏普比率、最大回撤值、標(biāo)準(zhǔn)差這些指標(biāo)進(jìn)行相關(guān)性分析。使用SPSS，對(duì)所選取指標(biāo)進(jìn)行相關(guān)性分析，繪制相關(guān)性熱力圖表示不同指標(biāo)之間的相關(guān)程度，如圖1所示。

圖1 相關(guān)系數(shù)矩陣熱力圖

從圖1可得，由于收益率和夏普比率的相關(guān)系數(shù)為1，說(shuō)明這兩個(gè)指標(biāo)完全正相關(guān)。超額收益率與標(biāo)準(zhǔn)差、夏普比率、收益率有著較弱的正相關(guān)性，與最大回撤值有著較低的負(fù)相關(guān)性；夏普指數(shù)和收益率與最大回撤值有著較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)性。因此，收益率和夏普比率可以作為一個(gè)指標(biāo)，其他指標(biāo)均具有一定的可解釋性，可作為衡量基金收益或風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)。

（2）分析二：日均收益率

日均收益率，代表著基金成立以來(lái)的收益狀況的一般水平，以基金代碼為160918為例計(jì)算日均收益率約為0.3657。同理可得該年其他基金日均收益率。通過(guò)Python編程篩選出2015年初已成立的基金，在2015年每天的收益率數(shù)據(jù)，計(jì)算各基金的日均收益率。

（3）分析三：超額收益率

超額收益率Rit=ri-rm，反映一只基金的收益情況高出整個(gè)市場(chǎng)平均水平的程度。超額收益率越高就說(shuō)明基金的收益情況越好。運(yùn)用Python編程篩選出2015年年初已成立的基金，在2015年每天的超額收益率數(shù)據(jù)，進(jìn)行求解。以160918的超額收益率計(jì)算為例：即Rit=ri-rm=0.3675-0.1216=0.2459，同理得出各基金2015年1整年的超額收益率

（4）分析四：標(biāo)準(zhǔn)差

基金收益率的標(biāo)準(zhǔn)差代表基金收益的波動(dòng)情況，標(biāo)準(zhǔn)差越大意味著基金收益情況越不穩(wěn)定。運(yùn)用Python編程篩選出2015年已成立基金在2015年1整年每天的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)，得出各基金2015年1整年的標(biāo)準(zhǔn)差，以編號(hào)為166016的基金收益標(biāo)準(zhǔn)差為例進(jìn)行計(jì)算。結(jié)果如下：

（5）分析五：夏普比率

夏普比率表示投資者每多承擔(dān)一單位風(fēng)險(xiǎn)，能夠獲得超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率的報(bào)酬。在夏普比率大于零的情況下，說(shuō)明在衡量期內(nèi)基金的平均凈值增長(zhǎng)率超過(guò)了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，夏普比率越大，表示投資該基金承擔(dān)單位風(fēng)險(xiǎn)能夠獲得的收益越高。以代碼為160918的基金夏普比率為例計(jì)算。結(jié)果如下：

同理可得其他基金夏普比率。以根據(jù)Python編程所篩選出2015年初之前成立的所有基金的2015年1整年夏普比率。

（6）分析六：最大回撤值

最大回撤值是衡量在投資某一產(chǎn)品之后，可能會(huì)出現(xiàn)最大程度虧損的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)。最大回撤值越小說(shuō)明基金的風(fēng)險(xiǎn)越低。以基金代碼為160918的基金為例計(jì)算最大回撤值：即將該基金2016年每一天的當(dāng)天單位凈值與后一天的單位凈值作差，再除以當(dāng)天單位凈值求出回撤值，然后求出一年中最大回撤值約為-0.0036，同理可得其他基金最大回撤值。

二、模型的求解

1.求解一：推薦合適的基金

為保證模型準(zhǔn)確性，需保證使用至少一整年的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析，以2016年推薦基金為例，那么只需考慮截至2015年1月1日已成立的223只基金，在此范圍中進(jìn)行基金推薦。

考慮評(píng)價(jià)模型的客觀性、有效性，本文使用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中主成分分析法、因子分析法結(jié)合SPSS軟件，分別對(duì)兩類（風(fēng)險(xiǎn)與收益）的五個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行了綜合的測(cè)評(píng)與排序。因?yàn)橹鞒煞?、2特征值都大于1，而且能夠解釋原數(shù)據(jù)89.42%的方差，即涵蓋了大部分信息，這表明前兩個(gè)主成分能夠代表最初的5個(gè)指標(biāo)，所以本文選取前兩個(gè)主成分的方式具有一定可取性。

表1和表2分別給出了2016年基金主成分、特征值、方差貢百分比與累計(jì)獻(xiàn)率和經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)之后的成分矩陣。

表1 總方差解釋

表2 旋轉(zhuǎn)后的成分矩陣a

從旋轉(zhuǎn)之后的成分矩陣可以看出，收益率、夏普比率和超額收益率和主成分1具有較大相關(guān)性，將其歸納整理，作為評(píng)價(jià)基金收益情況的相關(guān)指標(biāo)，主要表示開放式公募基金的收益水平和業(yè)績(jī)情況。最大回撤值和標(biāo)準(zhǔn)差與主成分2具有較大相關(guān)性，可以將其歸納總結(jié)為開放式公募基金的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)控的相關(guān)能力指標(biāo)。分別用Y1和Y2代表主成分1和主成分2。

利用SPSS軟件，將所求得的因子載荷矩陣中的數(shù)值與對(duì)其應(yīng)特征根的算術(shù)平方根作商，求得主成分的線性組合系數(shù)，將所得系數(shù)代入模型，求解出主成分的表達(dá)式。然后利用成分矩陣旋轉(zhuǎn)之前的方差貢獻(xiàn)率求得各自的權(quán)重，再將每一項(xiàng)的權(quán)重與所對(duì)應(yīng)的主成分值相乘，計(jì)算結(jié)果作為綜合得分。即：

Score=0.61449×Y1+0.2797×Y2（Y1，Y2∈R）

最終得出2016年初推薦的十只基金依次為：大成中小盤混合A、國(guó)泰估值優(yōu)勢(shì)混合、國(guó)泰中小盤成長(zhǎng)混合、興全輕資產(chǎn)混合、銀華內(nèi)需精選混合、申萬(wàn)菱信量化小盤股票、興全合潤(rùn)混合、東方紅睿豐混合、融通領(lǐng)先成長(zhǎng)混合、萬(wàn)家行業(yè)優(yōu)選混合A。以排名第一的基金大成中小盤混合A綜合得分為例，Y1為2.8660，Y2為0.4569，得分為1.89。

將主成分綜合評(píng)價(jià)結(jié)果與單一的收益水平和風(fēng)險(xiǎn)程度的評(píng)價(jià)結(jié)果進(jìn)行Pearson相關(guān)性分析，結(jié)果顯示可以通過(guò)相關(guān)性檢驗(yàn)，說(shuō)明主成分綜合評(píng)價(jià)與所選取的單一指標(biāo)具有較強(qiáng)相關(guān)性，因此能夠使用主成分綜合評(píng)價(jià)法進(jìn)行基金的業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)。

2.求解二：預(yù)測(cè)等權(quán)重組合基金未來(lái)一年的表現(xiàn)

在得出2016年年初推薦的10只優(yōu)秀的基金后，還需要給出這10只基金等權(quán)重組合在2016一整年的的表現(xiàn)情況。所以將2015年中排名前10的每只基金的日收益率分別乘以10%的權(quán)重，再將其加總作為當(dāng)日的組合收益率，最終得出基金等權(quán)重組合2015年整年間的每日組合收益率。

此外，由于基金市場(chǎng)節(jié)假日休市，所以一年中每只基金有效交易天數(shù)為244天。因此可以將2015年的有效交易日期用序號(hào)1-244表示，2016年的有效交易日期則可用245-494表示。這樣就把2015年和2016年的日期放于同一坐標(biāo)軸，以2015年基金的每日組合收益為基準(zhǔn)，運(yùn)用matlab工具箱反三角函數(shù)擬合方法，得到函數(shù)f（x），對(duì)2016年的日收益進(jìn)行預(yù)測(cè)。函數(shù)f（x）的系數(shù)和變量的擬合程度分別如表3和圖2所示。

表4 模型系數(shù)

圖2 模型擬合程度

通過(guò)計(jì)算結(jié)果以及擬合模型圖所示，函數(shù)f（x）具有較高的擬合程度，說(shuō)明模型較為準(zhǔn)確。因此，本文將運(yùn)用該模型預(yù)測(cè)每年年初所推薦的十只開放式公募基金等權(quán)重基金組合在未來(lái)一整年的發(fā)展趨勢(shì)。

三、結(jié)語(yǔ)

關(guān)于基金的評(píng)價(jià)，目前有很多學(xué)者從不同的角度建立模型，并進(jìn)行分析求解，可是截止目前仍沒(méi)有全面準(zhǔn)確的基金評(píng)價(jià)模型，可見(jiàn)這一問(wèn)題十分復(fù)雜。

本文對(duì)開放式公募基金評(píng)價(jià)這一問(wèn)題進(jìn)行探索，建立基于主成分分析與因子分析的開放式公募基金的評(píng)價(jià)模型。首先查閱大量參考文獻(xiàn)，對(duì)影響基金發(fā)展的因素進(jìn)行收集與分析后，選用基金的日均收益率、超額收益率和夏普比率、最大回撤值和標(biāo)準(zhǔn)差等5個(gè)重要指標(biāo)。通過(guò)SPSS軟件做相關(guān)性分析得到這些指標(biāo)間具有一定的相關(guān)性后，基于各個(gè)基金的單位凈值和日增長(zhǎng)率建立5個(gè)指標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式。

以2016年為例，通過(guò)python編程分別篩選出2015年年初之前成立的所有基金2015年1整年內(nèi)5個(gè)指標(biāo)的相關(guān)數(shù)據(jù)。然后進(jìn)行主成分分析、因子分析，得出旋轉(zhuǎn)后的成分矩陣，將日均收益率、夏普比率和超額收益率劃入收益型指標(biāo)，將標(biāo)準(zhǔn)差和最大回撤值劃入風(fēng)險(xiǎn)型指標(biāo)。利用SPSS軟件得到主成分的線性組合系數(shù)，由此得到主成分的表達(dá)式。再求得權(quán)重，再將每一項(xiàng)的權(quán)重與所對(duì)應(yīng)的主成分值相乘，計(jì)算結(jié)果作為綜合得分。取前10名作為2016年年初的推薦基金。在假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率是定值、忽略現(xiàn)金分紅的情況下，分別求解目標(biāo)函數(shù)，得出各基金2015年1整年的5個(gè)指標(biāo)的值，并根據(jù)5個(gè)指標(biāo)分別排名，作為2016年年初基金的前十名。

最后將所推薦的十只基金等權(quán)重組合，對(duì)未來(lái)一年，即2016年的日收益進(jìn)行預(yù)測(cè)。同時(shí)，模型還可以進(jìn)行調(diào)整與推廣，例如可以將開放式公募基金按照風(fēng)險(xiǎn)成分或收益成分的得分進(jìn)行排名，根據(jù)投資者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的承受能力與偏好程度，細(xì)分為保守型、激進(jìn)型等多種類型投資者，為不同類型的投資者推薦合適基金。

所建立的基于主成分分析與因子分析的開放式公募基金評(píng)價(jià)模型能夠?yàn)榛鹜顿Y者提供一定參考，能夠幫助基金投資者在眾多基金中綜合分析，選擇最優(yōu)基金。