熱-力-粘彈耦合多孔FGVM梁的動(dòng)力學(xué)特性

周鳳璽，蒲 育,2

(1.蘭州理工大學(xué)土木工程學(xué)院，蘭州730050；2.蘭州工業(yè)學(xué)院土木工程學(xué)院，蘭州730050)

功能梯度材料(FGM)梁因其可設(shè)計(jì)性、具有良好的熱-機(jī)力學(xué)性能而被廣泛應(yīng)用于許多工程領(lǐng)域，如FGM 制備而成的梁式智能一體化傳感器具有高靈敏度感知、適應(yīng)環(huán)境強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)、FGM 梁式人造骨骼等器官，具有極好的生物相容性和良好的柔韌性、FGM支撐構(gòu)件用于核反應(yīng)堆第一壁結(jié)構(gòu)可以有效地克服高溫環(huán)境中的熱應(yīng)力集中等問題。分析FGM 梁服役于特定工況時(shí)的靜動(dòng)態(tài)力學(xué)特性關(guān)乎結(jié)構(gòu)的安全與設(shè)計(jì)、功能與優(yōu)化，因而一直備受學(xué)者們關(guān)注和重視，目前已取得了豐碩的研究成果。

例如，基于Euler 梁理論(CBT)，Pradhan 等[1]采用微分求積法(DQM)數(shù)值研究了雙參數(shù)Winkler-Pasternak 變彈性地基FGM 夾層梁的熱彈性自由振動(dòng)問題。趙鳳群和王忠民[2]應(yīng)用小波微分求積法(WDQ)數(shù)值研究了熱載荷和切向隨從力共同作用下FGM 梁的振動(dòng)特性及穩(wěn)定性。Mahi等[3]考慮了材料物性隨溫度變化的相關(guān)性，推導(dǎo)得出了材料物性關(guān)于幾何中面對(duì)稱FGM 梁自由振動(dòng)響應(yīng)的精確解。文獻(xiàn)[4]采用Reddy 三階剪切梁理論(TBT)，應(yīng)用Ritz 法分析了均勻升溫FGM 梁的熱振動(dòng)及熱屈曲問題。同樣采用TBT，Trinh 等[5]應(yīng)用狀態(tài)空間法(SSM)數(shù)值研究了熱載荷和初始軸向力共同作用下多因素對(duì)FGM 梁振動(dòng)及屈曲特性的影響。文獻(xiàn)[6-9]均考慮了幾何非線性因素，先后采用不同的數(shù)值分析方法研究了FGM梁的熱后屈曲以及非線性振動(dòng)問題。張靖華等[10]則應(yīng)用辛方法分析了FGM 梁受熱沖擊時(shí)的動(dòng)力屈曲特性。最近，蒲育和周鳳璽[11]采用n階廣義梁理論(GBT)并提出一種改進(jìn)型廣義微分求積法(MGDQ)數(shù)值研究了3種典型邊界FGM梁的熱-力耦合振動(dòng)特性和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[12- 14]則僅針對(duì)簡(jiǎn)支邊界梁采用Navier 法求解其靜動(dòng)態(tài)輸出響應(yīng)，Ebrahimi 等[12]分析了多孔FGM梁的熱-力耦合振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[13- 14]在兩類位移場(chǎng)描述法下基于GBT，探討了多因素對(duì)濕-熱-力耦合作用下FGM 梁振動(dòng)特性和穩(wěn)定性的影響。Zahedinejad[15]則分析了彈性地基FGM 梁在熱環(huán)境中的自由振動(dòng)特性。最近，蒲育等[16]基于二元耦聯(lián)性解耦并應(yīng)用MGDQ法數(shù)值研究了多孔FGM梁的熱-力耦合振動(dòng)和屈曲特性。文獻(xiàn)[17- 18]基于CBT 并采用復(fù)數(shù)解法分析了FGM微梁的熱彈性阻尼問題。綜上所述，目前針對(duì)多孔功能梯度粘彈性材料(FGVM)梁的力學(xué)行為，尤其是動(dòng)力學(xué)特性的研究鮮有文獻(xiàn)報(bào)道。

本文從能量耗散角度出發(fā)，采用Kelvin-Voigt模型描述多孔功能梯度材料的粘彈性，提出三參數(shù)Winkler-Pasternak 粘彈性地基上多孔FGVM 梁模型，采用GBT 并應(yīng)用Hamilton 原理建立熱-力-粘彈耦合作用下FGVM梁的動(dòng)力學(xué)控制方程，應(yīng)用廣義Navier 法求解該復(fù)雜耦合系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)。通過算例，著重分析了梁理論、邊界條件、熱-力耦合效應(yīng)、地基粘性外阻尼系數(shù)、地基彈性剛度、材料結(jié)構(gòu)的內(nèi)阻尼、孔隙率、梯度指標(biāo)、跨厚比、振型階次等諸多參數(shù)對(duì)多孔FGVM梁有阻尼自由振動(dòng)頻率特性的影響。

1 動(dòng)力學(xué)控制微分方程

1.1 多孔FGVM梁模型及材料屬性描述

如圖1所示為Winkler-Pasternak 三參數(shù)粘彈性地基上內(nèi)含均勻孔隙的功能梯度粘彈性材料(FGVM)梁，其幾何尺寸長(zhǎng)、寬、高分別為L(zhǎng)×b×h，xoy為幾何中面，梁的上表面為純陶瓷材料，下表面為純金屬材料。假設(shè)梁兩端受初始準(zhǔn)靜態(tài)軸向機(jī)械力為N(壓力為正)，橫向動(dòng)載荷為q，粘彈性Winkler 地基剛度為kw，Pasternak 地基剪切剛度為kp，粘性外阻尼系數(shù)為cd，溫度T沿梁厚度方向穩(wěn)態(tài)分布，材料的物性依賴于溫度變化且沿梁厚呈梯度連續(xù)分布。采用Kelvin-Voigt 模型表征功能梯度材料的粘彈性，設(shè)材料結(jié)構(gòu)的內(nèi)阻尼系數(shù)為cs，應(yīng)用含孔隙率 γ修正后的Voigt 混合冪律模型，各物性參數(shù)(彈性模量E，泊松比ν，熱膨脹系數(shù) α，熱傳導(dǎo)率κ，密度 ρ)與坐標(biāo)z及溫度T可采用統(tǒng)一式表示為[13]：

圖1 三參數(shù)粘彈性地基上多孔FGVM 梁Fig.1 porous FGVM beam resting on three-parameterviscoelastic foundation

金屬與陶瓷這兩種材料的某一物性參數(shù)X隨溫度T的變化可統(tǒng)一表述為[13]：式中：Pi(i=-1,0,1,2,3)為隨溫度變化的材料系數(shù)。表1給出了金屬(SUS 304)和陶瓷(Al2O3)這兩種材料相應(yīng)的溫度相關(guān)系數(shù)[13]。

基于一維穩(wěn)態(tài)熱(傳導(dǎo)方程：)

將式(3)與邊界條件式(4)聯(lián)立求解，溫度分布T(z)可由熱傳導(dǎo)微分方程邊值問題的定解給出[13]：

表1 金屬(SUS 304)和陶瓷(Al2O3)兩種材料隨溫度變化的物性系數(shù)[13]Table 1 Temperature-dependent coefficients for metal (SUS 304)and ceramic(Al2O3)

1.2 FGVM 梁的動(dòng)力學(xué)方程

將式(6)～式(11)代入式(12)進(jìn)行變分和積分運(yùn)算化簡(jiǎn)后可得熱-力-粘彈耦合多孔FGVM梁的動(dòng)力學(xué)控制方程：

顯然，動(dòng)力學(xué)式(13)中存在熱-力-黏彈載荷的耦合，彈性系數(shù)與慣性系數(shù)項(xiàng)中存在拉/壓-剪切-彎曲變形的耦合。此外，式(13)中令動(dòng)載荷q=0時(shí)，橫向動(dòng)載荷作用下結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫振動(dòng)方程則退化為有阻尼自由振動(dòng)控制方程，下文將著重分析熱-力-粘彈耦合作用下多孔FGVM 梁的自由振動(dòng)問題。

1.3 多孔FGVM梁的有阻尼自由振動(dòng)控制方程

考慮梁結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)，位移分量可設(shè)為：

令動(dòng)載荷q=0時(shí)，將式(14)代入式(13)化簡(jiǎn)后可得熱-力-粘彈耦合多孔FGVM 梁的有阻尼自由振動(dòng)控制微分方程：

2 廣義Navier 解析法

考慮以下3種典型梁邊界：

(ⅰ)兩端固支(C-C)

顯然，控制方程式(15)與邊界條件式(16)～式(18)聯(lián)立后便描述了不同典型邊界多孔FGVM梁在熱-力-粘彈耦合作用下的自由振動(dòng)問題。

2004 年，Elishakoff[19]，Reddy[20]在他們的著作中提出一種非平凡解析解用于典型邊界復(fù)合材料梁板結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)態(tài)響應(yīng)求解，該方法類似于Navier 法求解簡(jiǎn)支邊界梁板結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)態(tài)響應(yīng)，其實(shí)質(zhì)仍是位移級(jí)數(shù)法求解，但它擴(kuò)大了典型邊界下獲得梁板結(jié)構(gòu)靜動(dòng)態(tài)響應(yīng)解析解的使用范圍，因此稱其為廣義Navier 法。

應(yīng)用廣義Navier 法[19-20]，梁軸線上任意一點(diǎn)的位移分量可由級(jí)數(shù)表示為：

顯然，求解式(24)可獲得熱-力-粘彈耦合多孔FGVM梁的有阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)。

不失一般性，各參數(shù)采用如下的無(wú)量綱化形式：

式中：Cd為無(wú)量綱粘性外阻尼系數(shù)；Cs為材料結(jié)構(gòu)的無(wú)量綱內(nèi)阻尼系數(shù)；Np為無(wú)量綱軸向機(jī)械力； Ω為無(wú)阻尼自振的無(wú)量綱頻率；ωˉ為無(wú)量綱特征復(fù)頻率， ΩR和 ΩI分別為ωˉ的實(shí)部和虛部； ζ為阻尼比；λ為梁的跨厚比；I為慣性矩。

根據(jù)以上所采用的無(wú)量綱頻率定義式(25)，不難看出：無(wú)量綱特征復(fù)頻率的實(shí)部 ΩR為負(fù)數(shù)，它反映了阻尼對(duì)位移輸出響應(yīng)衰減特性的影響。當(dāng)0 ＜ζ ＜1時(shí)，復(fù)頻率的虛部 ΩI表示欠阻尼自振頻率；ζ =1則為臨界阻尼；ζ ＞1則為過阻尼的情況。

3 算例與討論

3.1 n階GBT對(duì)FGVM梁欠阻尼振動(dòng)特性的影響

本小節(jié)主要探討GBT 階數(shù)n對(duì)多孔FGVM 梁欠阻尼自由振動(dòng)特性的影響。顯然，GBT 可退化為常見的3種梁理論：取n=1，GBT 退化為Euler梁理論(CBT)；取n=3，退化為Reddy 三階剪切梁理論(TBT)；取n=∞，則退化為Timoshenko一階剪切梁理論(FSBT)。

圖2 多孔FGVM 固支梁的無(wú)量綱基頻及阻尼比隨GBT階數(shù)n的變化關(guān)系曲線Fig.2 The dimensionless fundamental frequency and damping ratio of C-Cporous FGVM beam versusorder n for GBT

圖2(a)～圖2(c)分別給出了多孔FGVM固支短梁在熱-粘彈耦合作用下其欠阻尼振動(dòng)的無(wú)量綱特征基頻虛部ΩI、實(shí)部ΩR及阻尼比 ζ隨GBT 階數(shù)n變化的關(guān)系曲線，其中取參數(shù)：p=1,λ=5,ΔT=200 K,γ=0.1,Kw=50,Kp=5,Cd=10,Cs=0.01。計(jì)算結(jié)果表明：n=1時(shí)，ΩI=15.944 13，ΩR=-3.589 03，ζ=0.219 60；n=2 時(shí)，ΩI=15.996 91，ΩR=-4.433 52，ζ=0.267 08；n=3 時(shí)，ΩI=15.422 80，ΩR=-4.352 11，ζ=0.271 58。由圖2(a)來(lái)看：ΩI隨正整數(shù)n的增大其變化波動(dòng)較小且逐漸趨于穩(wěn)定，直至趨于FSBT的預(yù)測(cè)值，且無(wú)需引入剪切修正系數(shù)。取n=2預(yù)測(cè)的ΩI值為最大，取n=3預(yù)測(cè)的ΩI值為最小，其極差為0.574 11。此外，CBT 相比于其它剪切梁理論(除n=2外)，CBT 預(yù)測(cè)的ΩI值偏高，與TBT 相比，其相對(duì)誤差達(dá)3.38%。由圖2(b)～圖2(c)來(lái)看：除n=1以外，階數(shù)n對(duì)ΩR和 ζ預(yù)測(cè)值的變化波動(dòng)極小，相差無(wú)幾，但CBT明顯高估了ΩR，低估了 ζ值；CBT與TBT相比，其預(yù)測(cè)的ΩR和ζ值的相對(duì)誤差分別可達(dá)17.53%和19.14%，其不容小覷。

綜上所述，注意到算例中λ=5為短梁，CBT與TBT 及FSBT 相比，由于CBT忽略了剪切變形的作用影響，進(jìn)而高估了短梁結(jié)構(gòu)的剛度，因而CBT 高估了FGVM 短梁欠阻尼振動(dòng)的頻率ΩI值，即低估了衰減振動(dòng)的周期；明顯高估了ΩR值，進(jìn)而明顯高估了衰減振動(dòng)的振幅；明顯低估了阻尼比ζ值，進(jìn)而明顯高估了欠阻尼自振基頻ΩI值。

3.2 其它因素對(duì)多孔FGVM 梁動(dòng)力學(xué)特性的影響

本節(jié)均采用TBT，著重探討熱-力-粘彈耦合作用下多因素對(duì)多孔FGVM梁動(dòng)力學(xué)特性的影響。

圖3(a)～ 圖3(c)分別反映了3種邊界下多孔FGVM梁在熱-粘彈耦合作用下其無(wú)量綱特征基頻虛部ΩI、實(shí)部ΩR及阻尼比 ζ隨無(wú)量綱外阻尼系數(shù)Cd變化的關(guān)系曲線，其中參數(shù)p=1,λ=20,ΔT=200 K,γ=0.1,Kw=25,Kp=5,Cs=0.01。由圖3(a)可見：在欠阻尼狀態(tài)，C-C、C-S和S-S這3種邊界對(duì)應(yīng)的各ΩI曲線值均隨Cd的增大而單調(diào)減小，直至當(dāng)Cd=Ccr達(dá)到各自臨界阻尼狀態(tài)時(shí)ΩI剛好為0，之后隨著Cd的繼續(xù)增加，F(xiàn)GVM 梁將進(jìn)入過阻尼，此時(shí)ΩI保持不變恒為0，梁將不發(fā)生振動(dòng)而變?yōu)榧兯p的運(yùn)動(dòng)，直至停止運(yùn)動(dòng)。此外，取相同的Cd值，邊界約束越強(qiáng)，F(xiàn)GVM梁欠阻尼自振的頻率越大，進(jìn)而衰減振動(dòng)的周期越小；達(dá)到各自臨界阻尼狀態(tài)時(shí)，C-C梁對(duì)應(yīng)的Ccr=46.20為最大，S-S梁對(duì)應(yīng)的Ccr=28.24為最小，C-S梁對(duì)應(yīng)的Ccr=35.82則介于其間。

由圖3(b)可見：當(dāng)Cd＜Ccr在欠阻尼范圍，3種邊界梁的ΩR值均隨Cd的增加而呈線性減?。煌瑫r(shí)注意到ΩR為一負(fù)值，這表明FGVM梁的欠阻尼振動(dòng)為振幅減小的衰減運(yùn)動(dòng)；取相同的Cd值，S-S邊界對(duì)應(yīng)的ΩR值略微偏高，直線部分比較密集，這表明邊界條件對(duì)振幅響應(yīng)的影響較小。當(dāng)Cd=Ccr達(dá)到各自的臨界阻尼時(shí)，此時(shí)ΩI剛好為0，特征頻率方程有2個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，即3種邊界FGVM梁對(duì)應(yīng)的臨界阻尼Ccr為各自欠阻尼ΩR-Cd直線部分和相應(yīng)過阻尼ΩR-Cd曲線部分交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值。當(dāng)Cd＞Ccr在過阻尼范圍內(nèi)，ΩI≡0，特征頻率方程有2個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，此時(shí)振動(dòng)特性消失而變?yōu)榧兯p運(yùn)動(dòng)，ΩRCd為開口向右的關(guān)系曲線，且C-C邊界開口較小、S-S邊界開口較大，同時(shí)注意到3種邊界對(duì)應(yīng)的ΩR-Cd曲線明顯疏離，這表明過阻尼時(shí)梁邊界對(duì)位移輸出響應(yīng)影響十分顯著。

圖3 無(wú)量綱基頻和阻尼比隨外阻尼系數(shù)的變化關(guān)系曲線Fig.3 Curves of dimensionlessfundamental frequency and damping ratio versus external damping coefficient

由圖3(c)來(lái)看：3種邊界FGVM 梁的阻尼比ζ隨外阻尼系數(shù)Cd的增加而單調(diào)增大；當(dāng)Cd＜5，邊界條件對(duì) ζ影響十分有限；當(dāng)Cd＞10，取相同的Cd值，S-S邊界對(duì)應(yīng)的 ζ值明顯偏高，C-C邊界對(duì)應(yīng)的 ζ值反而明顯偏低，即簡(jiǎn)支梁具有高阻尼比，固支梁具有低阻尼比，C-S 梁則介于其間。

考慮了熱-力-粘彈耦合作用，圖4(a)～圖4(c)分別刻畫了多孔FGVM 固支梁的無(wú)量綱基頻虛部ΩI、實(shí)部ΩR及阻尼比 ζ隨外阻尼系數(shù)Cd變化的關(guān)系曲線，其中取參數(shù)p=1,λ=20,γ=0.1,Kw=20,Kp=2,Cs=0.01。由圖4(a)來(lái)看：在欠阻尼范圍內(nèi)，取相同的Cd值，升溫ΔT和初始軸向機(jī)械靜載荷Np值越大，ΩI值反而越小，即頻率ΩI隨著熱-力耦合效應(yīng)的加劇而降低了；此外，當(dāng)達(dá)到各自臨界阻尼狀態(tài)時(shí)，熱-力耦合值越大，其臨界阻尼Ccr值越小。這是由于升溫ΔT值越高，熱軸力就越大，且熱軸力和初始軸向機(jī)械載荷均為壓力，進(jìn)而這兩類載荷增大均削弱了FGVM梁結(jié)構(gòu)的整體剛度。

由圖4(b)來(lái)看：在Cd＜Ccr欠阻尼范圍，ΩRCd直線部分十分密集，幾乎重合，這表明熱-力耦合效應(yīng)對(duì)ΩR影響極其有限，即熱-力耦合效應(yīng)對(duì)FGVM梁欠阻尼振幅響應(yīng)的影響幾乎可以忽略；在Cd＞Ccr過阻尼的初始階段，ΩR-Cd曲線部分明顯疏離，這表明熱-力耦合效應(yīng)對(duì)純衰減位移輸出響應(yīng)的影響十分顯著，但隨著Cd的持續(xù)增加(如Cd＞50)，ΩR-Cd曲線部分變的愈加密集，這表明熱-力耦合效應(yīng)在該階段對(duì)位移響應(yīng)的影響減弱，此時(shí)外阻尼對(duì)位移響應(yīng)起主導(dǎo)影響因素。

由圖4(c)來(lái)看：阻尼比 ζ隨著Cd的增加而線性增大。當(dāng)Cd＜ 5對(duì)于小阻尼， ζ-Cd關(guān)系曲線十分密集，表明熱-力耦合效應(yīng)對(duì)阻尼比影響極其有限；隨著Cd的逐漸增大，取相同的Cd值，升溫ΔT和機(jī)械力Np越大， ζ也越大，即阻尼比 ζ隨著熱-力耦合效應(yīng)的加劇而增大。

結(jié)合圖4(a)～圖4(c)整體來(lái)看：對(duì)某一特定取值的熱-力耦合載荷，3個(gè)子圖均得出了與之對(duì)應(yīng)相同的臨界阻尼Ccr值。同時(shí)該算例也表明：對(duì)于小阻尼(如Cd＜5)，此時(shí)Cd對(duì)梁結(jié)構(gòu)欠阻尼自振頻率的影響甚微，在一般計(jì)算中，雖說是結(jié)構(gòu)的有阻尼振動(dòng)，但可以忽略阻尼對(duì)自振頻率的影響，因而仍可使用無(wú)阻尼自振頻率，與此同時(shí)，阻尼對(duì)振幅的影響則不容小覷，由于振幅按指數(shù)變化而迅速衰減，不久之后振幅將趨于零，使振動(dòng)停止。

圖4 熱-力耦合載荷和外阻尼系數(shù)共同對(duì)多孔FGVM 固支梁無(wú)量綱基頻和阻尼比的影響Fig.4 Effects of thermal-mechanical loads and external damping coefficient on dimensionless fundamental frequency and damping ratio of porous C-CFGVM beam

圖5(a)～圖5(b)分別反映了孔隙率和升溫共同對(duì)FGVM固支梁的無(wú)量綱基頻虛部ΩI和實(shí)部ΩR的影響關(guān)系曲線，其中取參數(shù)p=1,λ=20,Kw=50,Kp=5,Cd=10,Cs=0.01。由圖5(a)可見：ΩI隨著孔隙率γ 的增加而單調(diào)增大，即熱環(huán)境中FGVM梁欠阻尼衰減振動(dòng)的周期隨著孔隙率的增加反而減小；取相同的γ 值，升溫ΔT值越大，ΩI值反而越小，進(jìn)而衰減振動(dòng)的周期隨ΔT的增加而增大。由圖5(b)可見：ΩR隨著孔隙率γ 的增加而單調(diào)減小，即振幅隨著孔隙率的增加而顯著衰減；由于5種升溫取值所對(duì)應(yīng)的各ΩR-γ 關(guān)系曲線十分密集，這表明升溫ΔT對(duì)ΩR影響極小，即熱效應(yīng)對(duì)振幅衰減的影響十分有限。

圖5 孔隙率和升溫共同對(duì)FGVM 固支梁無(wú)量綱基頻虛部和實(shí)部的影響Fig.5 Effects of porosity and temperature rise on imaginary part and real part of dimensionless fundamental frequency for C-CFGVM beam

圖6(a)～圖6(b)分別反映了材料梯度指標(biāo)p和結(jié)構(gòu)的內(nèi)阻尼系數(shù)Cs共同對(duì)多孔FGVM固支-簡(jiǎn)支(C-S)梁的無(wú)量綱基頻虛部ΩI和實(shí)部ΩR的影響關(guān)系曲線，其中取參數(shù)λ=20,ΔT=200 K,γ=0.1,Kw=100,Kp=10,Cd=10。由圖6(a)來(lái)看：基頻ΩI隨著p的增加而減小，在p=[0,2]范圍內(nèi)由于陶瓷材料Al2O3的組分體積含量驟減，梁結(jié)構(gòu)的整體剛度顯著降低，故而在此范圍內(nèi)ΩI減小最為明顯，當(dāng)p＞2以后，ΩI減小趨于緩慢；取相同的p值，F(xiàn)GVM梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)阻尼系數(shù)Cs越大，ΩI反而越小，即ΩI隨著Cs的增加而減小，其欠阻尼衰減振動(dòng)的周期則隨之而增大。由圖6(b)來(lái)看：ΩR隨著p的增加起先明顯增大，當(dāng)p＞2以后，ΩR增加趨于緩慢，換言之，欠阻尼振動(dòng)的振幅隨著金屬材料SUS 304組份的逐漸增加起先明顯增大，之后趨于緩慢；取相同的p值，Cs越大，ΩR值反而越小，進(jìn)而欠阻尼振動(dòng)的振幅隨Cs的增加而迅速衰減，直至振幅減小為零而停止振動(dòng)。

圖6 材料梯度指標(biāo)和內(nèi)阻尼系數(shù)共同對(duì)多孔FGVM C-S梁無(wú)量綱基頻虛部和實(shí)部的影響Fig.6 Effects of material graded index and internal damping coefficient on imaginary part and real part of dimensionless fundamental frequency for C-SFGVM beam

圖7(a)～圖7(b)分別反映了跨厚比λ和內(nèi)外阻尼系數(shù)共同對(duì)多孔FGVM固支梁的無(wú)量綱基頻虛部ΩI和實(shí)部ΩR的影響關(guān)系曲線，其中參數(shù)p=1,ΔT=300 K,γ=0.1,Kw=50,Kp=5。由圖7(a)可見：基頻虛部ΩI隨著跨厚比λ的增加起先明顯增大，之后隨之而逐漸減小，特別地，當(dāng)λ=[5,10]在短梁范圍內(nèi)，ΩI隨著跨厚比λ的增加顯著增大，進(jìn)而衰減振動(dòng)的周期隨之而減??；取相同的λ值，內(nèi)外阻尼系數(shù)越大，ΩI越小，即衰減振動(dòng)周期隨內(nèi)外阻尼值的增加而增大。由圖7(b)可見：基頻實(shí)部ΩR隨著λ的增加起先略有減小，當(dāng)λ＞10以后，增加跨厚比λ對(duì)ΩR影響甚微，幾乎無(wú)影響，換言之，F(xiàn)GVM長(zhǎng)梁的跨厚比對(duì)欠阻尼振動(dòng)振幅響應(yīng)的影響可以忽略不計(jì)。

圖7 跨厚比和阻尼系數(shù)共同對(duì)多孔FGVM 固支梁無(wú)量綱基頻虛部和實(shí)部的影響Fig.7 Effectsof length-to-thicknessratio and damping coefficient on imaginary part and real part of dimensionless fundamental frequency for C-C FGVM beam

圖8(a)～圖8(b)分別刻畫了Winkler 地基彈性剛度Kw以及Pasternak 地基剪切剛度Kp與內(nèi)外阻尼系數(shù)共同對(duì)多孔FGVM固支-簡(jiǎn)支(C-S)梁的無(wú)量綱基頻虛部ΩI的影響關(guān)系曲線，其中取參數(shù)p=1,λ=20,ΔT=200 K,γ=0.1，算例圖8(a)中取Kp=5，圖8(b)中取Kw=50。由圖8(a)～圖8(b)這2個(gè)子圖總的來(lái)看：當(dāng)內(nèi)外阻尼不致于使FGVM梁越過臨界阻尼狀態(tài)時(shí)，欠阻尼自振基頻ΩI都隨Kw的增加而增大，ΩI也都隨Kp的增加而增大，進(jìn)而衰減振動(dòng)的周期隨地基彈性剛度的增加反而減??；特別地，當(dāng)內(nèi)外阻尼較大以致梁結(jié)構(gòu)達(dá)到過阻尼而使ΩI≡0，如圖8(a)～圖8(b)中Cd=30，Cs=0.05所對(duì)應(yīng)ΩI曲線的水平起始部分，但隨著地基剛度的逐漸增加，F(xiàn)GVM梁之后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可由過阻尼轉(zhuǎn)化為臨界阻尼，直至達(dá)到欠阻尼。

圖9(a)～圖9(c)分別給出了C-C、C-S和S-S這3種邊界下多孔FGVM 梁的前三階無(wú)量綱頻率虛部ΩI隨內(nèi)阻尼系數(shù)Cs變化的關(guān)系曲線，其中參數(shù)p=1,λ=20,γ=0.1,ΔT=200 K,Kw=50,Kp=5,Cd=10?？偟膩?lái)看：3種邊界FGVM 梁的2階和3階頻率ΩI均隨結(jié)構(gòu)內(nèi)阻尼系數(shù)Cs的增加而明顯單調(diào)減小，直至達(dá)到各自階次的臨界阻尼而使ΩI=0，隨后進(jìn)入過阻尼而使得ΩI≡0，且振動(dòng)階次越高，臨界阻尼值越小，進(jìn)而梁更易達(dá)到過阻尼而使位移輸出響應(yīng)迅速衰減。此外，邊界約束越強(qiáng)，同一高階次對(duì)應(yīng)的臨界阻尼值反而越小。特別注意到，3種邊界FGVM 梁的基頻ΩI均隨著Cs的增加而略有減小。

圖8 地基彈性剛度和阻尼系數(shù)共同對(duì)多孔FGVM C-S梁無(wú)量綱基頻虛部的影響Fig.8 Effects of foundation elastic parameters and damping coefficient on imaginary part of dimensionless fundamental frequency for C-SFGVM beam

圖9 前三階無(wú)量綱頻率虛部ΩI 與內(nèi)阻尼系數(shù)C s 關(guān)系曲線Fig.9 Curves of imaginary parts of the first three dimensionless frequency ΩI versus internal damping coefficient C s

綜上可知，結(jié)構(gòu)內(nèi)阻尼使得FGVM 梁高階次的振動(dòng)頻率ΩI迅速減小，但對(duì)基頻Ω1的影響較小，且振動(dòng)階次越高，梁結(jié)構(gòu)更易達(dá)到過阻尼而使高階次位移輸出響應(yīng)迅速衰減，換言之，高階次的位移輸出響應(yīng)這時(shí)可忽略不計(jì)。

4 結(jié)論

采用n階GBT，應(yīng)用Hamilton 原理建立了3參數(shù)粘彈性地基上多孔FGVM 梁的動(dòng)力學(xué)模型，應(yīng)用廣義Navier 法分析了熱-力-粘彈耦合多孔FGVM梁的自由振動(dòng)特性。結(jié)果表明：

(1)與TBT 和FSBT相比，CBT 低估了欠阻尼自振的周期；明顯高估了衰減振動(dòng)的振幅；明顯低估了阻尼比。

(2)隨著外阻尼的逐漸增大，F(xiàn)GVM梁經(jīng)歷欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼，其特征頻率方程具有不同形式的復(fù)數(shù)根；C-C梁具有低阻尼比、高臨界阻尼，S-S梁具有高阻尼比、低臨界阻尼，C-S梁則介于其間。

(3)熱-力-粘彈耦合FGVM 梁的欠阻尼自振頻率隨外阻尼、內(nèi)阻尼、升溫、熱-力耦合載荷、梯度指標(biāo)的增加而減?。坏S孔隙率、粘彈性地基剛度的增加而增大；隨跨厚比起先明顯增大，之后單調(diào)減小。振幅隨外阻尼、內(nèi)阻尼、孔隙率的增加明顯衰減；隨梯度指標(biāo)的增加起先明顯增大，之后趨于緩慢；邊界條件、升溫、熱-力耦合載荷、跨厚比對(duì)振幅響應(yīng)的影響則比較有限。

(4)對(duì)于小阻尼，在一般計(jì)算中，可以忽略阻尼對(duì)自振頻率的影響，與此同時(shí)，阻尼對(duì)振幅的影響則不容小覷，由于振幅按指數(shù)變化而迅速衰減，不久之后振幅將趨于零，使振動(dòng)停止。

(5)當(dāng)內(nèi)外阻尼較大以致FGVM 梁結(jié)構(gòu)進(jìn)入過阻尼，這時(shí)可通過逐漸增加地基彈性剛度，可實(shí)現(xiàn)過阻尼到臨界阻尼，直至欠阻尼之間的轉(zhuǎn)化。

(6)振動(dòng)階次越高，F(xiàn)GVM 梁結(jié)構(gòu)更易達(dá)到過阻尼而使高階次位移輸出響應(yīng)迅速衰減，即高階次的位移輸出響應(yīng)這時(shí)可忽略不計(jì)。