三維自適應(yīng)有限時(shí)間超螺旋滑模制導(dǎo)律

李 軍,廖宇新,李 珺

(中南大學(xué)航空航天學(xué)院,湖南 長沙 410083)

0 引 言

隨著精確制導(dǎo)技術(shù)的不斷發(fā)展,制導(dǎo)律除了以零化脫靶量作為目標(biāo)外,往往還需要滿足終端攻擊角約束,才能充分發(fā)揮導(dǎo)彈的毀傷效果和殺傷效率。比例導(dǎo)引由于結(jié)構(gòu)簡單、所需的信息量少和易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域。雖然傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引能夠?qū)崿F(xiàn)終端零脫靶量,但對終端攻擊角約束卻很難達(dá)到滿意效果[1]。

隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展,為了解決終端攻擊角約束問題,在原有制導(dǎo)律設(shè)計(jì)思想的基礎(chǔ)上，進(jìn)行將先進(jìn)控制理論應(yīng)用于帶攻擊角約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的相關(guān)研究,如最優(yōu)制導(dǎo)律[2-4]和微分對策制導(dǎo)律[5-6]等。由于滑模控制能使系統(tǒng)快速趨于穩(wěn)定,且控制器具有形式簡單和對外界干擾強(qiáng)魯棒性等優(yōu)點(diǎn),因而廣泛應(yīng)用于帶攻擊角約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[7]針對具有終端攻擊角約束的導(dǎo)彈攔截問題,設(shè)計(jì)了一種基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器的快速終端滑模制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律使攔截彈道更優(yōu),同時(shí)解決了視線角速率只能漸進(jìn)收斂到零的問題,有效縮短了打擊時(shí)間。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了一種基于非線性干擾觀測器的快速終端滑模制導(dǎo)律,將目標(biāo)加速度視為未知的有界外部干擾,同時(shí)在滑模面中引入非線性干擾觀測器估計(jì)并補(bǔ)償實(shí)際的外部干擾；針對線性滑模制導(dǎo)律存在視線角收斂時(shí)間較長現(xiàn)象,通過快速終端滑?？刂撇呗赃M(jìn)行解決,但造成系統(tǒng)狀態(tài)在平衡點(diǎn)附近的奇異問題。文獻(xiàn)[9]針對導(dǎo)彈攔截存在攻擊角需求和非線性滑模制導(dǎo)律的系統(tǒng)奇異問題,利用動態(tài)面法,設(shè)計(jì)了一種考慮彈體動態(tài)特性的非奇異有限時(shí)間制導(dǎo)律,滿足了終端攻擊角約束和系統(tǒng)在有限時(shí)間的收斂,但目標(biāo)機(jī)動引起的未知干擾會造成制導(dǎo)指令較強(qiáng)的抖振。

抑制抖振現(xiàn)象,可在制導(dǎo)律的魯棒項(xiàng)中利用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)解決。文獻(xiàn)[10-11]針對攻擊角約束要求，分別提出了固定時(shí)間收斂制導(dǎo)律和有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律。由于滑模變結(jié)構(gòu)中含有開關(guān)函數(shù),控制量進(jìn)行高頻切換時(shí),會在實(shí)際系統(tǒng)中引起制導(dǎo)指令的抖振。因此文獻(xiàn)[10-11]通過飽和函數(shù)法減小制導(dǎo)指令抖振引起的彈體抖動，但這使系統(tǒng)軌跡穩(wěn)定在滑模面附近,從而削弱了制導(dǎo)律的魯棒性。為了提高系統(tǒng)控制精度,可以采用高階滑?？刂苼硪种贫墩?高階滑模在消除相對階限制的同時(shí)還增強(qiáng)了系統(tǒng)對干擾的魯棒性[12]。高階滑模控制方法中的超螺旋(super-twisting,ST)算法,具有特殊的嵌套結(jié)構(gòu),不需要滑模變量的一階導(dǎo)數(shù)信息。ST算法的實(shí)際控制變量在相對階為1的控制系統(tǒng)中,不存在高頻切換,因此減少了因控制量切換引起的抖振現(xiàn)象,多種利用ST算法抑制抖振的制導(dǎo)律相繼被提出[13-15]。然而,ST算法對系統(tǒng)的不確定性較為敏感,當(dāng)外部干擾上界未知時(shí),過高的估計(jì)干擾上界會導(dǎo)致過大的控制增益,使得系統(tǒng)不確定性增大,降低閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性。外部干擾參數(shù)的自適應(yīng)能夠?qū)崟r(shí)在線估計(jì)干擾上界,從而降低控制增益,減小系統(tǒng)抖振,保證系統(tǒng)具有良好的控制性能,因此多種自適應(yīng)制導(dǎo)律相繼被提出[16-18]。

由于導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的真實(shí)情形發(fā)生在三維空間,因此三維制導(dǎo)律相較于二維制導(dǎo)律更適合真實(shí)情形。同時(shí),導(dǎo)彈還必須具有攔截高速機(jī)動目標(biāo)的能力,才能滿足作戰(zhàn)節(jié)奏快速性和戰(zhàn)場復(fù)雜性的需要。針對導(dǎo)彈攔截的真實(shí)情形,文獻(xiàn)[19-21]分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的三維滑模制導(dǎo)律。為了達(dá)到更好的攔截毀傷效果,在進(jìn)行零化脫靶量精準(zhǔn)制導(dǎo)的同時(shí),制導(dǎo)律還需要滿足終端攻擊角約束。

針對終端攻擊角約束的導(dǎo)彈攔截機(jī)動目標(biāo)制導(dǎo)問題,本文在目標(biāo)加速度未知的前提下,建立了非解耦且在有限時(shí)間內(nèi)收斂的三維自適應(yīng)制導(dǎo)律,實(shí)現(xiàn)了以固定終端攻擊角的精準(zhǔn)攔截制導(dǎo),同時(shí)解決了目標(biāo)未知機(jī)動對制導(dǎo)精度的影響。首先，根據(jù)彈目三維相對運(yùn)動關(guān)系,建立了導(dǎo)彈-目標(biāo)相對運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)模型。然后,基于改進(jìn)ST算法和非奇異快速終端滑模,設(shè)計(jì)了有限時(shí)間ST滑模制導(dǎo)律(finite-time ST sliding mode guidance law,FSTSMGL)。此外,為了解決目標(biāo)機(jī)動加速度帶來的外部干擾上界未知問題,將FSTSMGL的干擾項(xiàng)進(jìn)行實(shí)時(shí)在線的參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)干擾上界,提出一種自適應(yīng)FSTSMGL(adaptive FSTSMGL,AFSTSMGL),實(shí)現(xiàn)了擾動上界的自適應(yīng)增益估計(jì)。同時(shí)，對閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間收斂進(jìn)行證明,并給出了系統(tǒng)的收斂時(shí)間。最后，為了驗(yàn)證AFSTSMGL制導(dǎo)性能的優(yōu)越性進(jìn)行了對比仿真。結(jié)果表明,AFSTSMGL具有更強(qiáng)的魯棒性、更快的收斂速度和更高的制導(dǎo)精度。

1 系統(tǒng)模型及相關(guān)引理

1.1 系統(tǒng)模型

為了研究三維空間中機(jī)動目標(biāo)的導(dǎo)彈攔截制導(dǎo)問題,在地面慣性參考坐標(biāo)系OIXIYIZI中,將導(dǎo)彈和目標(biāo)均視為質(zhì)點(diǎn),同時(shí)構(gòu)建目標(biāo)速度坐標(biāo)系OTXTYTZT、導(dǎo)彈速度坐標(biāo)系OMXMYMZM和視線坐標(biāo)系OMXLYLZL,則彈目三維相對運(yùn)動關(guān)系如圖1所示。

圖1 彈目三維相對運(yùn)動示意圖Fig.1 Three-dimensional relative motion diagram of missile and target

導(dǎo)彈速度關(guān)于OMXLYLZL坐標(biāo)系的速度傾角和速度偏角分別為θM和φM,目標(biāo)速度關(guān)于OMXLYLZL坐標(biāo)系的速度傾角和速度偏角分別為θT和φT,則根據(jù)圖1中坐標(biāo)系可將導(dǎo)彈-目標(biāo)相對運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)模型[22]描述為

(1)

導(dǎo)彈和目標(biāo)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動模型[22]分別可以描述為

(2)

(3)

根據(jù)式(1)～式(3),視線角的二階微分方程可描述為

(4)

當(dāng)導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對速度小于零時(shí),由式(4)可知合適的俯仰加速度aZM和偏航加速度aYM可以使視線角速率收斂至零。

基于上述耦合模型進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì),假設(shè)θM,φM≠±π/2,|aYT|≤a1,|aZT|≤a2。其中，?t≥0時(shí),a1和a2分別為目標(biāo)加速度在偏航和俯仰方向上的上界,令θLf和φLf分別為期望終端視線傾角和期望終端視線偏角,狀態(tài)變量x1=[x11,x12]T=[θL-θLf,φL-φLf]T,則基于視線角誤差的二階系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(5)

(6)

為保證導(dǎo)彈能以θLf和φLf精準(zhǔn)攔截目標(biāo),應(yīng)通過設(shè)計(jì)光滑的制導(dǎo)律u,讓系統(tǒng)在未知干擾M存在的情況下,滿足視線角速率和視線角誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。

1.2 相關(guān)引理

引理 1[23]如果存在一個(gè)連續(xù)正定的函數(shù)V(t):Rn→R,當(dāng)?t>t0時(shí)滿足不等式:

(7)

式中,t0為初始時(shí)間;α,β>0且0

(8)

引理 2[24]如果在區(qū)間Ω:0∈int(Ω)存在一個(gè)連續(xù)的函數(shù)V(x):Rn→R,且滿足不等式：

(9)

(10)

2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)及系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

2.1 AFSTSMGL設(shè)計(jì)

為了使導(dǎo)彈能以期望的攻擊角度成功攔截目標(biāo)的同時(shí)還可以避免系統(tǒng)奇異問題,在文獻(xiàn)[25]的啟發(fā)下,選取多變量非奇異快速終端滑模面如下:

S=[S1，S2]T=x1+K1|x1|αsign(x1)+
K2|x2|βsign(x2)

(11)

式中,K1和K2>0為正實(shí)數(shù);1<β<2,α>β,

式(11)對時(shí)間求導(dǎo),可得

(12)

快速趨近律由文獻(xiàn)[26]的改進(jìn)ST思路啟發(fā),表達(dá)式為

(13)

式中,實(shí)數(shù)矩陣K3,K4,K5均為2階正定對角陣。則式(5)、式(12)和式(13)聯(lián)立可得FSTSMGL表達(dá)式為

(14)

當(dāng)外部干擾上界未知時(shí),過高地估計(jì)干擾上界會導(dǎo)致過大的控制增益,使得系統(tǒng)的不確定性增大,閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性降低。為了解決目標(biāo)機(jī)動加速度帶來的外部干擾M上界未知的問題,利用參數(shù)自適應(yīng)增益實(shí)時(shí)在線估計(jì)干擾上界,可得AFSTSMGL的表達(dá)式為

(15)

式中,K3(t)和K4(t)為干擾項(xiàng)M的自適應(yīng)增益估計(jì);K6,K7,Ω1,η1,μ1均為正實(shí)數(shù)。

2.2 有限時(shí)間收斂性能分析

定理 1令M=[M1，M2]T,當(dāng)存在Mmax使Mi≤Mmax成立時(shí)(其中Mmax為正實(shí)數(shù),即干擾項(xiàng)M有界),若選用趨近律式(13)、滑模面式(11)和制導(dǎo)指令式(15),則

(2) 滑模變量S在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零；

(3) 系統(tǒng)的狀態(tài)變量x1，x2在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。

在式(5)中成立。

證明將式(5)和式(15)代入式(12)中可得

(16)

令Di=[di1,di2]T=[|Si|1/2sign(Si),Wi]T，定義一個(gè)子空間vi={(Si,Wi)∈R2|Si=0}，則在不包含vi的所有空間內(nèi)，Di的時(shí)間導(dǎo)數(shù)可表示為

(17)

式中，

Kj= diag{Kj1,Kj2}

趨近階段考慮如下Lyapunov函數(shù)

(18)

式(18)對時(shí)間求導(dǎo)，同時(shí)令Mi=r(t)sign(Si)，0≤r(t)≤Mmax，可得

(19)

式中，

將式(19)變換為

(20)

(21)

(22)

(23)

-K3i-2K3ir<0

(24)

2K5i(K3i+1)|di1|(K3i+2K3ir)-
(K3iK5i|di1|+(K4i+1)r)2>0

(25)

由式(22)和式(23)可得

(26)

(27)

式(24)顯然成立。令

(28)

因?yàn)閍1<0，所以r<-a2/2a1時(shí)，f(r)是單調(diào)遞增的，故當(dāng)-a2/2a1>0且f(0)≥0時(shí)，?r∈(0,-a2/2a1)使得f(r)>0成立，即Hi2為負(fù)定矩陣的充分條件為

(29)

(30)

式(29)顯然成立。由式(26)和式(29)可得

(31)

將式(19)變換為

(32)

(33)

因?yàn)?/p>

所以由式(32)可得

(34)

式中，λmin{·}和λmax{·}分別為矩陣的最小和最大特征值；‖·‖為歐式范數(shù)。

(35)

考慮如下Lyapunov函數(shù)

(36)

將式(36)對時(shí)間求導(dǎo)可得

(37)

(38)

由式(35)和不等式(|a|p+|b|p)1/p≤|a|+|b|,p>1可得

-(ρ1V1/2(D)+ρ2V(D))

(39)

式中,ρj=min{ξi j|i=1,2}。

根據(jù)引理1可知,滑模變量S在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)0,收斂時(shí)間TS為

(40)

式中,D0為零時(shí)刻D的初值。

由S=0可知:

x1+K1|x1|αsign(x1)+K2|x2|βsign(x2)=0

(41)

令Z[a]=|Z|asign(Z),則式(41)可化簡為

(42)

根據(jù)引理2可知,系統(tǒng)狀態(tài)變量x1和x2在有限時(shí)間內(nèi)可以收斂到平衡點(diǎn)零,即有限時(shí)間內(nèi)視線角誤差和視線角速率可以收斂到零。狀態(tài)變量收斂時(shí)間Tx和系統(tǒng)收斂時(shí)間T分別為

(43)

(44)

所以式(5)的狀態(tài)變量x1和x2將在T時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)0。

證畢

3 仿真分析

本節(jié)通過高速機(jī)動目標(biāo)彈道攔截仿真,驗(yàn)證制導(dǎo)律AFSTSMGL的有效性和優(yōu)越性。仿真參數(shù)設(shè)置為:初始彈目距離R(0)=6 000 m,初始視線傾角θL(0)=30°,初始視線偏角φL(0)=0°,導(dǎo)彈和目標(biāo)初始速度傾角θM=10°、θT=20°,導(dǎo)彈和目標(biāo)初始速度偏角φM=10°、φT=180°,目標(biāo)初始速度VT=300 m/s,導(dǎo)彈初始速度VM=600 m/s,導(dǎo)彈初始位置xM=[0,0,0]T,導(dǎo)彈最大過載aZM=aYM=25g,重力加速度g=9.8 m/s2,仿真步長為0.001 s,當(dāng)彈目相對距離|R|<1 m時(shí),仿真結(jié)束。

同時(shí)為了更全面地分析AFSTSMGL的制導(dǎo)性能,在仿真中與FSTSMGL和非奇異終端滑模制導(dǎo)律[22](non-singular terminal sliding mode guidance law,NTSMGL)展開不同期望終端視線角的制導(dǎo)對比。NTSMGL表達(dá)式為

(45)

由于制導(dǎo)律魯棒項(xiàng)的符號函數(shù)會引起抖振問題,所以根據(jù)飽和函數(shù)法緩解抖振,將式(45)中sgn(S)替換成如下函數(shù):

(46)

AFSTSMGL的參數(shù)設(shè)定為K1=0.05,K2=1,K5=diag{5,10},K6=18,K7=14.4,α=5,β=8/7,μ1=0.05,Ω1=0.01,η1=0.1;FSTSMGL的參數(shù)設(shè)定為K1=0.05,K2=1,K3=diag{0.37,0.46},K4=diag{0.01,0.02},K5=diag{10,10},α=5,β=8/7;NTSMGL參數(shù)設(shè)定為α=15/13,β=1.1,k=0.01,h=0.1,H=diag{0.3,1}。

考慮如下3種不同的期望終端視線角情形:

(1) (θLf,φLf)=(25°,5°)

(2) (θLf,φLf)=(35°,5°)

(3) (θLf,φLf)=(35°,10°)

圖2 三維攔截軌跡Fig.2 Three-dimensional interception trajectory

圖3 制導(dǎo)指令Fig.3 Guidance instruction

圖4 視線角Fig.4 Line-of-sight angle

圖5 視線角速率Fig.5 Line-of-sight angle rate

圖6 滑模面Fig.6 Sliding surface

表1 以期望終端視線角1攔截目標(biāo)的仿真結(jié)果Table 1 Simulation results of intercepting target with expected

表2 以期望終端視線角2攔截目標(biāo)的仿真結(jié)果Table 2 Simulation results of intercepting target with expected terminal line-of-sight angle 2

表3 以期望終端視線角3攔截目標(biāo)的仿真結(jié)果Table 3 Simulation results of intercepting target with expected terminal line-of-sight angle 3

綜上可知,目標(biāo)混合機(jī)動情形下,針對不同終端攻擊角需求,所設(shè)計(jì)的AFSTSMGL脫靶量較小,終端視線角誤差和系統(tǒng)收斂特性明顯優(yōu)于其他方法,具有良好的魯棒性、較廣的終端攻擊角適應(yīng)范圍和更高的攔截精度。

4 結(jié) 論

針對具有攻擊角約束的制導(dǎo)問題,基于非奇異快速終端滑模面和改進(jìn)ST算法,設(shè)計(jì)了一種FSTSMGL,既避免了抖振,又保證了系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)收斂。

針對外部干擾上界未知的情況,利用參數(shù)自適應(yīng)增益實(shí)時(shí)在線估計(jì)干擾上界,設(shè)計(jì)了一種AFSTSMGL,能夠滿足對機(jī)動目標(biāo)的精準(zhǔn)攔截和終端攻擊角約束要求。自適應(yīng)律的形式簡單,不影響系統(tǒng)有限時(shí)間內(nèi)的收斂性能,提高了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性。

通過與FSTSMGL和NTSMGL在3種不同期望終端視線角下的仿真對比,驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的AFSTSMGL制導(dǎo)性能的優(yōu)越性、有效性和魯棒性,提高了制導(dǎo)的打擊精度和終端攻擊角約束的控制精度。