等離子體湍流能量傳輸?shù)某叨认嚓P(guān)性

楊 艷, 萬敏平, Valentini Francesco, Matthaeus William H, 史一蓬, 陳十一

(1. 南方科技大學(xué), 廣東深圳 518055; 2. 卡拉布里亞大學(xué)物理系, 意大利科森扎 87036; 3. 特拉華大學(xué)物理與天文系, 美國特拉華州紐瓦克 19716; 4. 北京大學(xué), 北京 100871)

引 言

湍流普遍存在于空間等離子體中, 如太陽日冕不斷向外膨脹從而形成的等離子體流——太陽風(fēng), 就呈現(xiàn)出湍流特征[1-4]. 等離子體湍流的高度非線性, 使其包含多尺度 (含能尺度區(qū)、慣性尺度區(qū)、耗散尺度區(qū)、離子尺度、電子尺度、Debye長度等)及多過程相互作用. 尺度間的能量級串是湍流研究中一個(gè)十分重要的概念, 能量從大尺度逐級向小尺度傳遞, 直至達(dá)到某一足夠小的尺度, 能量通過黏性、電阻作用耗散成熱. 基于以上物理圖像, 學(xué)者們提出利用能量級串建立太陽風(fēng)加熱與太陽風(fēng)湍流發(fā)展之間的關(guān)系[5]. 衛(wèi)星觀測發(fā)現(xiàn)太陽風(fēng)從日冕向行星際空間膨脹的過程不是絕熱膨脹冷卻的過程[6], 高溫太陽風(fēng)加熱機(jī)制是空間物理學(xué)的關(guān)鍵前沿課題之一. 此外, 恒星際、星系際間存在有超高能的粒子(宇宙線), 而關(guān)于粒子如何加速至高能是長期未得到解決的問題之一. 等離子體湍流耗散作為一種引起粒子加熱加速的機(jī)制, 具有重要作用. 顯然, 對等離子體湍流能量傳輸和耗散過程的研究有助于理解空間中的許多物理現(xiàn)象.

通過尺度l的能流率是能量傳輸過程中最基本的量, 能量在無窮大Reynolds數(shù)下的慣性區(qū)的傳輸是守恒的, 這意味著能流是常數(shù). 值得注意的是, 這里的能流率指的是凈能量傳遞, 即全場平均, 但局部的能量傳輸很有可能是間歇過程, 那么局部的能量傳輸可能與平均值有很大偏離. 為了給出局部的能量傳輸率, 采用濾波的方法[7]可以得到通過尺度l的亞格子能流Πl(fā)(x). 在中性流體湍流中, 局部亞格子能流的空間分布具有間歇性[8-9], 并且可正可負(fù), 可以理解為從局部來看能量可能從大尺度傳向小尺度, 亦可從小尺度傳向大尺度. 對于等離子體湍流局部的亞格子能流的研究, 在近幾年才引起關(guān)注, 如Yang等[10-12]采用可壓縮磁流體動力學(xué)(magnetohydrodynamic, MHD)湍流數(shù)值模擬以及全粒子(particle-in-cell, PIC)模擬討論局部亞格子能流的間歇性, Camporeale等[13]的研究表明, Hall磁流體(Hall magnetohydrodynmic, HMHD)湍流中, 大的局部亞格子能流傾向于在流場的相干結(jié)構(gòu)處發(fā)生.

級串的能量被耗散成熱最直接的方式是通過磁流體湍流的黏性耗散和電阻耗散, 然而在空間環(huán)境中, 帶電粒子的平均自由程往往遠(yuǎn)大于研究對象的特征尺度, 于是一般認(rèn)為空間等離子體是無碰撞的. 對于無碰撞等離子體湍流, 能量的耗散不能簡單地由磁流體湍流模型的黏性、電阻耗散實(shí)現(xiàn), 耗散區(qū)如何把擾動的能量傳給無碰撞等離子體, 一直是學(xué)術(shù)界的爭論焦點(diǎn). 基于太陽風(fēng)湍流的波動性, 太陽風(fēng)加熱所需的能量可能來自波動-粒子相互作用的波動能量[14-16], 如離子回旋波或動理學(xué)Alfvén波(kinetic Alfvén wave, KAW)的回旋共振耗散或Landau阻尼耗散. 此外, 數(shù)值模擬和衛(wèi)星觀測數(shù)據(jù)表明, 能量耗散主要在局部發(fā)生, 對應(yīng)有相干結(jié)構(gòu)(如電流片)[17-19]或磁重聯(lián)[20-21]. 對于無碰撞等離子體能量耗散而言, 哪種機(jī)制起主要作用, 甚至哪種波動和粒子的相互作用起主要作用, 仍然是研究的熱點(diǎn).

1 能量傳輸通道的理論推導(dǎo)

對無碰撞等離子體, 可采用Vlasov方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述,

式中,fα(x,v,t)為α粒子在相空間(x,v,t)的分布函數(shù),α=i表示離子,α=e表示電子. 位置空間中的宏觀量, 如密度、速度、壓強(qiáng)、熱流等, 可以通過分布函數(shù)的矩得到, 以量γ(v)為例, 速度空間積分后得到

1.1 電場做功及壓強(qiáng)張量做功

如果把γ(v)取為α粒子的質(zhì)量mα, 動量mαv, 能量mαv2, Vlasov方程的矩分別對應(yīng)質(zhì)量、動量和能量方程

(1)

(2)

式中,qα為α粒子電荷量,ρα=mαnα為α粒子質(zhì)量密度,nα為α粒子數(shù)密度,uα為α粒子的流體速度,Pα為壓強(qiáng)張量,hα為熱流矢量.

(3)

(4)

(5)

1.2 亞格子能流

為了研究各尺度間的能量傳輸, 可采用物理空間濾波器[30]. 低通過濾后的量可記為

(6)

2 混合Vlasov-Maxwell模擬

混合Vlasov-Maxwell (hybrid Vlasov-Maxwell, HVM)模擬[31]是將等離子體系統(tǒng)看成由動理離子和流體電子組成, 本文中采用的是冷電子模型. 求解的方程包括3部分:

(1)Vlasov方程用以求離子分布函數(shù)fi(x,v,t)

(2)Ohm定律用以求電場E(x,t)

(3)Maxwell方程用以求磁場B(x,t)

圖1 z方向電流密度均方根隨時(shí)間的變化Fig. 1 Temporal evolution of

圖時(shí)刻, z方向電流密度jz的云圖Fig. 2 Contour map of jz at

3 能量傳輸通道的區(qū)別與聯(lián)系

等離子體湍流包含多種形式的能量, 如流體動能、內(nèi)能、電磁能, 同時(shí)包含多個(gè)尺度, 尤其對于宇宙空間中無碰撞或弱碰撞的等離子體, 往往是非平衡的過程, 需要考慮電子、離子的動理學(xué)效應(yīng). 因此除了磁流體尺度(如含能尺度、慣性尺度、耗散尺度), 還需要考慮更小的動理學(xué)尺度行為. 對等離子體湍流的能量傳輸過程的研究, 可以采用不同的量對其進(jìn)行表征, 本文將從尺度相關(guān)性以及空間相關(guān)性研究它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.

3.1 能量轉(zhuǎn)換

將方程(3)作全場平均, 并對時(shí)間t進(jìn)行積分, 可得到離子流體動能隨時(shí)間的變化方程

(11)

圖4給出了磁能、離子內(nèi)能、離子流體動能隨時(shí)間的變化及電場做功和壓強(qiáng)張量做功的時(shí)間積分. 圖4(a)中磁能的變化與電場做功趨勢一致, 它們之間的差異可能是由數(shù)值模擬的精度以及時(shí)間積分的精度所致. 圖4(b)中離子內(nèi)能的變化和壓強(qiáng)張量做功幾乎重合, 而圖4(c)中離子流體動能的變化和電場做功(離子部分)及壓強(qiáng)張量做功之和基本重合. 圖4證實(shí)了電場做功表示磁能的損失, 其連接了磁能和流體動能, 而壓強(qiáng)張量做功表示內(nèi)能的增加, 其連接了流體動能和內(nèi)能.

(a) Magnetic energy

(b) Ion internal energy

(c) Ion fluid flow kinetic energy圖4 全場平均的磁能、離子內(nèi)能和離子流體動能隨時(shí)間的變化Fig. 4 Temporal evolution of magnetic energy, ion internal energy and ion fluid flow kinetic energy

3.2 主要作用尺度

圖5 全場平均的離子亞格子能流, 過濾后的離子壓強(qiáng)張量做功, 離子部分電場做功， 總電場做功, 隨過濾尺度l的變化Fig. 5 Volume integrated cross-scale energy transfer flux for ions, filtered pressure tensor work for ions, electric field work on ions and total electric field work, as a function of filtering length l

3.3 空間關(guān)聯(lián)性

(c) ji·E

(d) j·E

圖7 離子亞格子能流, 離子壓強(qiáng)張量做功, 離子部分電場做功, 總電場做功絕對值所占的空間體積(或面積)分?jǐn)?shù)Fig. 7 Filling fraction of volume (or area) occupied by absolute values of cross-scale energy transfer flux for ions, pressure tensor work for ions, electric field work on ions and total electric field work

另一方面, 對比圖6中不同能量傳輸通道的空間分布, 可發(fā)現(xiàn)它們的整體形態(tài)是非常相似的, 比如圖6中綠色框標(biāo)示的部分. 將圖6與圖2對比, 可看到各能量傳輸通道與電流密度的空間分布也存在一定相似性, 強(qiáng)相干結(jié)構(gòu)處對應(yīng)著強(qiáng)能量傳輸, 這與最近研究的結(jié)果[22-23, 36, 40-41]是一致的. 為了定量描述它們空間分布的相關(guān)性, 可采用不同量之間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù), 例如兩個(gè)量f,g之間的2階空間相關(guān)函數(shù)可記作

圖8給出了不同間距下各能量傳輸通道的相關(guān)函數(shù), 可看出各能量傳輸通道的相關(guān)函數(shù)隨著間距|r|的增大而快速減小. 如果利用R(f,g,rc)=e-1(其中e=2.71828…為自然常數(shù))定義相關(guān)長度rc, 則可以得到各能量傳輸通道之間的相關(guān)長度大約為2di, 因此各能量傳輸通道對應(yīng)的強(qiáng)能量傳輸?shù)目臻g位置, 盡管可能不是完全重合, 但距離很近.

圖8 離子亞格子能流, 離子壓強(qiáng)張量做功, 離子部分電場做功, 總電場做功之間的2階空間相關(guān)函數(shù)Fig. 8 Second-order spatial correlation functions of cross-scale energy transfer flux for ions, pressure tensor work for ions, electric field work on ions and total electric field work

4 結(jié)論

從Vlasov-Maxwell方程出發(fā), 可推導(dǎo)出電場做功、壓強(qiáng)張量做功、亞格子能流等能量傳輸通道. 本文通過物理空間濾波, 研究了各能量傳輸通道的尺度依賴性, 混合Vlasov-Maxwell模擬的結(jié)果表明, 電場做功主要集中在較大尺度, 而壓強(qiáng)張量做功集中在小尺度, 其間伴隨有尺度間的能量傳輸. 各能量傳輸通道的空間分布非常相似, 具有強(qiáng)間歇性, 并且與強(qiáng)相干結(jié)構(gòu)相關(guān), 即強(qiáng)能量傳輸傾向于發(fā)生在強(qiáng)相干結(jié)構(gòu)處.

基于以上結(jié)果, 并結(jié)合近年數(shù)值模擬和衛(wèi)星觀測的結(jié)果, 可以大致概括等離子體湍流從磁流體尺度到動理學(xué)尺度的能量傳輸主要過程: (1)經(jīng)典的能量級串概念[42-43]中, 能量從含能尺度輸入, 在慣性區(qū)級串, 在能量級串的過程中電磁場與流場的間歇性出現(xiàn), 不斷形成多尺度的相干結(jié)構(gòu); (2)已有的研究表明, 電場做功集中在強(qiáng)電流片處[22-23], 本文結(jié)果表明電場做功實(shí)現(xiàn)了電磁能與流體動能之間的轉(zhuǎn)化; (3)已有的研究表明, 速度梯度張量會導(dǎo)致壓強(qiáng)張量各向異性的產(chǎn)生[37], 于是壓強(qiáng)張量做功集中在強(qiáng)變形拉伸(渦結(jié)構(gòu))處[12,29,37], 本文結(jié)果驗(yàn)證了壓強(qiáng)張量做功能實(shí)現(xiàn)流體動能和內(nèi)能之間的轉(zhuǎn)化, 該過程主要發(fā)生在小尺度.

致謝第一作者感謝南方科技大學(xué)校長卓越博士后基金及國家自然科學(xué)基金(11902138)的資助. 第二作者感謝國家自然科學(xué)基金(91752201, 11672123)的資助. 本研究工作得到南方科技大學(xué)科學(xué)與工程計(jì)算中心支持.