基于Kriging模型的圓錐動(dòng)靜壓軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)*

張鵬飛，張澤斌，郭 紅

(鄭州大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，鄭州 450001)

0 引言

圓錐動(dòng)靜壓軸承集向心軸承與推力軸承于一體,具有摩擦功耗低、油膜間隙易于調(diào)整等優(yōu)點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備中被廣泛應(yīng)用。為了更好的提高軸承的綜合性能，使軸承具有更高的承載能力、更小的摩擦功耗以及更好的穩(wěn)定性等優(yōu)點(diǎn)。近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已在軸承優(yōu)化方面進(jìn)行了廣泛的研究。

方曉麗[1]對(duì)具有深淺腔的圓錐動(dòng)靜壓軸承進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，并以單位承載能力下功耗最小為優(yōu)化目標(biāo),采用混合懲罰函數(shù)法對(duì)軸承油腔幾何參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算；Luca Gorasso[2]運(yùn)用遺傳算法和人工蜂群算法，建立了關(guān)于流量、功耗的多目標(biāo)優(yōu)化模型，大大降低了軸承流量和功率消耗，最后和實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果對(duì)比情況吻合良好。朱海港[3]采用復(fù)合形法對(duì)目標(biāo)函數(shù)及約束條件后的動(dòng)靜壓軸承進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，獲得較理想的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果；沈志偉[4]采用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)高速電主軸動(dòng)靜壓軸承結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，取得了較好的優(yōu)化效果。以上研究均是基于梯度或是“啟發(fā)式”優(yōu)化方法，基于梯度的優(yōu)化方法[5]在處理“多峰”的非線性優(yōu)化問題中全局性較差，“啟發(fā)式”優(yōu)化方法由于一定的隨機(jī)性并需耗費(fèi)巨大的計(jì)算量、收斂速度慢。而代理模型[6]可在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中“代替”一些比較復(fù)雜和費(fèi)時(shí)的數(shù)值計(jì)算過程，建立高精度、低成本的近似數(shù)學(xué)模型；從而解決直接求解分析模型所面臨的計(jì)算量過大、計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)等問題。

常用的代理模型有多項(xiàng)式響應(yīng)面法[7]、徑向基函數(shù)[8]、支持向量機(jī)[9]和Kriging模型[10]等。Kriging模型具有良好的非線性近似能力，還能提供預(yù)測(cè)的理論誤差和分布情況，使得建模時(shí)可以更合理構(gòu)建加點(diǎn)策略，從而大大提高優(yōu)化效率。以圓錐動(dòng)靜壓軸承[11]為優(yōu)化對(duì)象，選擇軸承半錐角、軸向封油邊寬度、淺腔包角作為設(shè)計(jì)變量，以單位承載力下功耗最小和平均溫升最小為優(yōu)化目標(biāo)，采用基于Kriging模型對(duì)圓錐動(dòng)靜壓軸承優(yōu)化問題近似代理，利用遺傳算法得到優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解集，根據(jù)權(quán)重系數(shù)法確定最終優(yōu)化方案。優(yōu)化結(jié)果表明采用基于Kriging代理模型方法在滑動(dòng)軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)方面有較高的應(yīng)用價(jià)值。

1 圓錐動(dòng)靜壓軸承描述

1.1 數(shù)值計(jì)算模型

假設(shè)潤(rùn)滑油為不可壓縮流體，忽略流體的旋轉(zhuǎn)慣性力，不考慮軸頸、軸瓦的彈性變形等因素。圖1所示為圓錐動(dòng)靜壓軸承結(jié)構(gòu)圖，軸承各腔均設(shè)置有深腔和淺腔，采用小孔節(jié)流形式。

圖1 圓錐動(dòng)靜壓軸承結(jié)構(gòu)圖

圓錐動(dòng)靜壓軸承球坐標(biāo)系下的靜態(tài)無(wú)量綱Reynolds方程：

(1)

利用有限元法將Reynolds方程離散為線性方程組，再經(jīng)迭代后可求出個(gè)節(jié)點(diǎn)的壓力分布，積分后可得到軸承靜特性參數(shù)：

承載力

(2)

(3)

摩擦功耗

(4)

(5)

端泄流量

(6)

平均溫升

(7)

1.2 數(shù)值模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證理論模型的正確性，根據(jù)文獻(xiàn)[12]對(duì)圓錐動(dòng)靜壓軸承的靜特性分析，選擇與其相同的軸承尺寸與工況條件，計(jì)算出無(wú)量綱徑向承載力，并與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。由圖2可知，本文計(jì)算的無(wú)量綱徑向承載力與文獻(xiàn)結(jié)果均隨偏心率的增大而增大，趨勢(shì)一致，可驗(yàn)證理論模型計(jì)算的正確性。基于模型計(jì)算結(jié)果，為后續(xù)優(yōu)化工作提供理論驗(yàn)證。

圖2 數(shù)值計(jì)算對(duì)比驗(yàn)證

1.3 目標(biāo)函數(shù)

軸承主要設(shè)計(jì)參數(shù)為：主軸轉(zhuǎn)速為10 000 r/min，外部供油壓力為1.0 MPa，潤(rùn)滑油粘度0.044 75 Pa·s，腔數(shù)為4個(gè)偏心率0.25，軸承有效寬度50 mm，大端直徑50 mm，深腔包角15°，半徑間隙0.025 mm，深腔深度0.25 mm，淺腔深度0.03 mm。

對(duì)于動(dòng)靜壓滑動(dòng)軸承而言,可根據(jù)設(shè)計(jì)需要和工作情況選擇不同的性能參數(shù)作為目標(biāo)函數(shù),例如,可選取承載能力最高、摩擦功耗最小、油膜剛度最大、溫升最低、在滑動(dòng)設(shè)計(jì)中處理軸承承載能力和摩擦功耗之間的關(guān)系是最突出的問題之一，以軸承單位承載力下功耗最小和潤(rùn)滑油膜平均溫升最小，其中承載力只考慮徑向承載力作為優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)：

(8)

1.4 設(shè)計(jì)變量及約束

對(duì)于圓錐動(dòng)靜壓軸承而言,影響其性能的參數(shù)有軸承半錐角、軸承直徑、半徑間隙、節(jié)流比、深腔深度、淺腔深度、淺腔包角、軸向封油邊寬度等。軸承半錐角的取值對(duì)軸承性能有較大影響，一般為了保證軸承承載力錐角取值較小，但錐角取值過小，會(huì)導(dǎo)致摩擦功耗增加，潤(rùn)滑油溫升增加，導(dǎo)致軸承性能降低，將軸承錐角作為設(shè)計(jì)變量，α的取值范圍為5°≤α≤10°。

為充分發(fā)揮動(dòng)靜壓軸承的動(dòng)壓效應(yīng)，保證淺腔包角θq≥30°；如果θq過大將削弱動(dòng)壓效應(yīng)的影響區(qū)域，淺腔包角不超過70°。因此包角的一般取值范圍為30°≤θq≤70°。軸向封油邊寬度直接影響端泄量和動(dòng)壓效應(yīng)，封油邊寬度越大，流量越?。粍t承載能力和溫升均會(huì)有所增加。為提高全局搜索范圍對(duì)于高速軸承軸向封油邊寬度的取值范圍為：1

2 基于Kriging模型多目標(biāo)優(yōu)化

2.1 Kriging建模方法

Kriging模型作為一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的線性回歸分析的插值方法，借助設(shè)計(jì)空間中已知樣本處的響應(yīng)信息對(duì)未知區(qū)域的函數(shù)響應(yīng)值進(jìn)行預(yù)測(cè)。通過對(duì)預(yù)測(cè)點(diǎn)周圍的一定區(qū)域內(nèi)信息進(jìn)行線性加權(quán)的方法來實(shí)現(xiàn)。

Kriging模型包含回歸函數(shù)與隨機(jī)變量，即：

y(x)=fT(x)β+z(x)

(9)

式中，y(x)為未知點(diǎn)的函數(shù)估計(jì)；β為回歸系數(shù)；fT(x)為關(guān)于的多項(xiàng)式，用于模擬隨機(jī)過程的期望函數(shù)，通常使用常數(shù)、一次或二次多項(xiàng)式。z(x)為隨機(jī)項(xiàng)，表達(dá)了預(yù)測(cè)模型的不確定性，其隨機(jī)分布規(guī)律決定了模型理論誤差的分布規(guī)律。對(duì)于z(x)需要滿足以下特征：

E[z(x)]=0

(10)

(11)

(12)

式中，E代表期望，Var代表方差，Cov代表協(xié)方差；R(θ,xi,xj)是樣本點(diǎn)xi、xj之間的相關(guān)函數(shù)(也稱相關(guān)模型)，用來表示兩者之間的相關(guān)性。

為建立設(shè)計(jì)參數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)之間的Kriging近似模型，采用最優(yōu)拉丁超立方抽樣[13]。在參數(shù)空間內(nèi)抽取91組樣本點(diǎn)，分別利用數(shù)值計(jì)算方法得到對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值，并構(gòu)建Kriging模型。

2.2 模型精度驗(yàn)證

建立好的代理模型，需要樣本點(diǎn)來驗(yàn)證模型的精度，以保證模型的有效性，經(jīng)過驗(yàn)證后的代理模型才可以用于近似分析。驗(yàn)證模型精度采用的是“加點(diǎn)驗(yàn)證方法”。本文采用復(fù)相關(guān)系數(shù)[14](R2)評(píng)價(jià)代理模型精度。

(13)

在設(shè)計(jì)空間中隨機(jī)額外抽取68個(gè)測(cè)試點(diǎn)，分別計(jì)算理論值和利用已構(gòu)建好的模型測(cè)試點(diǎn)對(duì)應(yīng)響應(yīng)值，其中目標(biāo)函數(shù)1、2的R2相關(guān)系數(shù)分別為0.996 8、0.996 4，R2>0.95認(rèn)為模型滿足要求。圖3為各個(gè)測(cè)試點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值進(jìn)行了對(duì)比。分析圖像可以看出，采用Kriging代理模型計(jì)算出的單位承載力下摩擦功耗和溫升與通過數(shù)值計(jì)算程序計(jì)算得到的精確值均高度吻合，驗(yàn)證了本文所建立的Kriging代理模型是有效的。

圖3 模型精度檢驗(yàn)圖

2.3 多目標(biāo)遺傳算法

NSGA-II算法[15]基于非支配排序原則解決多目標(biāo)之間的協(xié)調(diào)問題，是求解Pareto解集的有效算法。相對(duì)于傳統(tǒng)遺傳算法，降低了算法的復(fù)雜度，增大交叉繁殖的概率，可加速尋優(yōu)收斂過程。本研究定義種群數(shù)為5000，最大迭代數(shù)為100，交配概率為0.9，變異概率為0.1。

通過NSGA-II算法得出Pareto最優(yōu)解如圖4所示，紅色的點(diǎn)為共計(jì)502組Pareto最優(yōu)解。由圖中觀察到多目標(biāo)優(yōu)化算例的Pareto前沿位于空間呈弧狀分布。

圖4 Pareto前沿

3 優(yōu)化結(jié)果及分析

3.1 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

多目標(biāo)優(yōu)化問題通過NSGA-II算法得到滿足優(yōu)化目標(biāo)條件的解有很多個(gè)，此時(shí)可根據(jù)權(quán)重系數(shù)法[16]對(duì)所得結(jié)果中目標(biāo)做歸一化處理，處理方式如下：

(14)

當(dāng)設(shè)計(jì)者更加關(guān)心對(duì)目標(biāo)1的提升時(shí)，可令W1=1.5，W2=1時(shí)，得到此時(shí)權(quán)重系數(shù)下的優(yōu)化設(shè)計(jì)1。如果側(cè)重目標(biāo)函數(shù)2的性能提升時(shí),即分別設(shè)定W1=1，W2=1.5時(shí)，得到此時(shí)權(quán)重系數(shù)下的優(yōu)化設(shè)計(jì)2。將優(yōu)化后軸承性能參數(shù)與初始設(shè)計(jì)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表1所示。

表1 優(yōu)化前后優(yōu)化參數(shù)及目標(biāo)函數(shù)對(duì)比

3.2 優(yōu)化后性能分析

為了深刻優(yōu)化結(jié)果,進(jìn)一步研究分析了在優(yōu)化設(shè)計(jì)情況下目標(biāo)函數(shù)和單獨(dú)目標(biāo)中參數(shù)隨著偏心率的影響情況。

圖5 不同設(shè)計(jì)方案下目標(biāo)函數(shù)隨偏心率變化情況

圖6是分別在同一轉(zhuǎn)速下，初始設(shè)計(jì)和兩種優(yōu)化方案下無(wú)量綱承載力、無(wú)量綱摩擦功耗隨偏心率變化情況。由圖可知在同一轉(zhuǎn)速下，三種設(shè)計(jì)方案無(wú)量綱承載力均隨偏心率的增加而增大，且優(yōu)化前后軸承無(wú)量綱承載力隨偏心率的變化規(guī)律大致相同。其中，優(yōu)化方案1、2相較于初始設(shè)計(jì)承載力均有一定程度的提升，且優(yōu)化方案1對(duì)承載力的提升更為出色。由圖可知，三種設(shè)計(jì)方案無(wú)量綱功耗均隨轉(zhuǎn)速的增加而增大，優(yōu)化方案2相較于初始設(shè)計(jì)功耗明顯地降低；而優(yōu)化方案1的功耗有略微降低。

圖6 無(wú)量綱承載力、功耗隨偏心率變化情況

4 結(jié)論

(1)建立了圓錐動(dòng)靜壓軸承的Kriging代理模型，采用NSGA-II算法進(jìn)行了模型尋優(yōu)，形成雙目標(biāo)Pareto解集。綜合考慮承載力和功耗的工況需求進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)的選取。

(2)利用權(quán)重系數(shù)法對(duì)目標(biāo)函數(shù)配重選擇最優(yōu)非劣解，優(yōu)化結(jié)果表明，優(yōu)化后目標(biāo)函數(shù)均有一定程度的降低，無(wú)量綱承載力在不同偏心工況下提升明顯；無(wú)量綱功耗均有所降低，對(duì)軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)有重要的參考價(jià)值。