基于數(shù)學(xué)史視角的“弧度制”概念教學(xué)設(shè)計(jì)

韓婧

1問題提出

“弧度制”在三角形的發(fā)展史中具有重要的歷史地位，前接角度制，后承三角公式，內(nèi)含豐富的思想方法.同時(shí)，弧度制也是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)相對(duì)較難理解的概念.現(xiàn)行不同版本的高中數(shù)學(xué)教科書在向?qū)W生介紹弧度制概念時(shí)，都是直接拋出的，并且對(duì)于弧度制中有關(guān)公式僅呈現(xiàn)相關(guān)結(jié)論內(nèi)容，將數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和演變過程抹去，導(dǎo)致很多學(xué)生學(xué)習(xí)了角度制后，對(duì)為什么還要學(xué)習(xí)弧度制感到不是很理解，不清楚弧度制是如何發(fā)生發(fā)展的，對(duì)弧度制存在知其然，但不知其所以然的狀況.在實(shí)際教學(xué)過程中，如若教師再刻板的執(zhí)行數(shù)學(xué)教科書上的安排，學(xué)生便感到更加索然無味，常常會(huì)有“弧度，弧度，越學(xué)越糊涂”的感覺.

數(shù)學(xué)史家克萊因（M.Kline，1908-1992）認(rèn)為：“歷史上數(shù)學(xué)家所遇到的困難，這是學(xué)生也會(huì)遇到的學(xué)習(xí)障礙，因而數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南.”任何一門學(xué)科的教學(xué)，都離不開該學(xué)科的歷史，數(shù)學(xué)亦是如此.通過數(shù)學(xué)史的滲透，帶領(lǐng)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一般親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程，領(lǐng)悟和掌握隱藏在知識(shí)形成過程中的思想方法，點(diǎn)燃學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.為此本文從數(shù)學(xué)史視角出發(fā)對(duì)弧度制概念的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重新整合和設(shè)計(jì)，希望對(duì)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教學(xué)提供有益的借鑒.

2教學(xué)分析

依據(jù)數(shù)學(xué)史料不難看出，弧度制和角度制的形成過程十分相似，二者的共同點(diǎn)都是通過圓周等分得到單位弧長，進(jìn)而在此基礎(chǔ)上定義單位角的大小，不同點(diǎn)在于二者劃分的方式不一樣，角度制是以度作為單位將整個(gè)圓周劃分成360個(gè)等份，而弧度制是以半徑長為度量單位將整個(gè)圓周劃分成2π個(gè)等份.根據(jù)這一特征，筆者制定了如下的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重難點(diǎn)：

2.1教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：了解弧度制概念的產(chǎn)生，明確1弧度角的含義;把握角度制、弧度制之間的換算公式和弧度制下的扇形面積以及弧長公式;理解在弧度制下弧與角之間可以建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系;

過程與方法：親歷探索過程，認(rèn)識(shí)到弧度制和角度制都可以作為度量角的制度，二者盡管單位不同，但是相互聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的，并進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)弧度制定義的合理性與優(yōu)越性;

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過展示弧度制的發(fā)展史，讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)家的聰明才智，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2.2教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：弧度制的概念以及角度與弧度的互化換算;

教學(xué)難點(diǎn)：弧度作為單位的合理性.

3教學(xué)過程

3.1溫故知新：復(fù)習(xí)角度制，感悟?qū)?yīng)關(guān)系

問題1在平面幾何中研究角的度量，當(dāng)時(shí)是用“度”做單位來度量角的，1°的角是怎樣定義的？最早的人們是怎樣定義1°的角？

歷史介紹 角度制是由古巴比倫人在公元前300年左右最先提出的.他們將整個(gè)圓的周長平均分成360個(gè)小份，把與其中每一小份相對(duì)應(yīng)的圓心角稱為1度.在弧和角建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系后，把與每一小份相對(duì)應(yīng)的圓心角稱為1度角，這便出現(xiàn)了角的度量.因?yàn)槟菚r(shí)并未產(chǎn)生10進(jìn)制，于是他們便采用60進(jìn)制的計(jì)數(shù)系統(tǒng)，所以1度還可以再分為60分，1分還能再分為60秒.

設(shè)計(jì)意圖 與現(xiàn)今理解有所出入的是，歷史上，人們采用“度”、“分”、“秒”最先是來作為刻畫圓弧的長度單位，在圓心角和圓弧之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系后，才將它們作為度量角的單位.換而言之，從歷史的角度看，人們是先通過對(duì)圓弧長的度量然后才度量角的.然而，“度”、“分”、“秒”在學(xué)生的認(rèn)知中就是作為度量角的單位，并不清晰圓心角與圓弧之間存有關(guān)系.所以在弧度制的教學(xué)過程中，教師需要先打破學(xué)生固有的思維定勢(shì)，讓其認(rèn)識(shí)到角和弧二者存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.換而言之，弧和角是同構(gòu)的，學(xué)生正確認(rèn)識(shí)弧及度量單位是進(jìn)一步理解角及其度量制的一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié).

3.2概念引入：反思角度制，產(chǎn)生認(rèn)知沖突

問題2 請(qǐng)說出等式sin30°=1/2中“30”和“1/2”的進(jìn)位制和度量單位各是多少？在同一式子中出現(xiàn)兩個(gè)不同的進(jìn)位制和度量單位是不是很麻煩？縱觀歷史可以發(fā)現(xiàn)，許多杰出的數(shù)學(xué)家為實(shí)現(xiàn)進(jìn)位制和度量單位的統(tǒng)一都進(jìn)行了探索，認(rèn)真思考一下他們會(huì)怎樣做？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生都知道在等式sin30°=1/2中30的度量單位為度，采用的是60進(jìn)制，1/2的度量單位為長度單位，采用的是10進(jìn)制，在同一式子中出現(xiàn)了進(jìn)位制和度量單位不統(tǒng)一的問題.縱觀歷史發(fā)展，實(shí)現(xiàn)弧長與半徑統(tǒng)一的思想由開始萌芽到后來形成，經(jīng)歷的時(shí)間長達(dá)數(shù)千年，故問題2的設(shè)計(jì)意圖是為了點(diǎn)燃學(xué)生思索問題的熱情，思索怎樣統(tǒng)一度量單位和進(jìn)位制.

3.3概念形成：在對(duì)比中劃分圓周長，加深理解

問題3 問題1中，我們將圓的周長劃分360個(gè)等份所成的弧叫作1度弧，1度弧所對(duì)的角稱為1度角，記作“1°”.現(xiàn)依據(jù)1°的定義，整個(gè)圓周便是360度的弧，即圓的周長等于360度，然而1度又等于60分，你能根據(jù)上述分析，計(jì)算出半徑r等于多少分嗎？

設(shè)計(jì)意圖 這實(shí)際上是阿耶波多的思想，具體來說，阿耶波多的正弦表設(shè)計(jì)按60進(jìn)制，即整個(gè)圓周長是2πr=360°=21600′，若取π的值為3.1416，根據(jù)式子2πr=360°=21600′，可以計(jì)算出半徑r的值約等于3237.74分（保留兩位小數(shù)）.在問題1中，通過對(duì)角度制的歷史介紹，我們了解到原先度、分、秒作為度量單位是用來度量圓弧的，之后才用來度量角的.此時(shí)學(xué)生在頭腦中已意識(shí)到圓弧的度量單位和半徑的度量單位從本質(zhì)上來看是沒有差別的，然而在原有認(rèn)知中，度、分和秒僅僅是作度量角的單位，由此引發(fā)認(rèn)知沖突.

問題4 一個(gè)圓的周長不論有多么長，在角度制中我們總能將它平均分成360個(gè)小份.類比角度制中劃分圓的周長的做法，在半徑長為r的圓中，根據(jù)c=2πr，得到c/r=2π，如果以r為單位，是不是每一個(gè)圓周都可以平均劃分為2π份？

設(shè)計(jì)意圖 實(shí)際上，這是歷史上著名數(shù)學(xué)家歐拉、阿耶波多的思想.公式c/r=2π表示如果把半徑作為長度單位來度量圓的周長，那么圓的周長不論多長，都可以被分成2π個(gè)單位，這與角度制的做法是相同的，即圓的周長不管多長，都可以將其周長平均分成360個(gè)部分.假如說將圓的周長平均分成360份還存有一定的主觀成分，那么把半徑作為度量單位將圓的周長平均劃分為2π個(gè)單位，就不是以人的意識(shí)為轉(zhuǎn)移的客觀規(guī)律，從理論視角上看，這可看作弧度制比角度制更加優(yōu)越的一種合理詮釋.此外，將半徑作為度量單位，采用的是十進(jìn)制，如果將它作為度量圓弧的單位，圓弧的度量單位即角的度量單位也就成了十進(jìn)制，這樣便實(shí)現(xiàn)了半徑和圓弧的進(jìn)位制和度量單位的統(tǒng)一.

3.4概念生成：巧用類比，定義1弧度角

類比角度制，定義1弧度角：在定義1度的角時(shí)，先把整個(gè)圓的周長平均分成360份，將其中一份弧所對(duì)的圓心角稱為1度的角.類比定義1度角的方法，在定義1弧度角時(shí)，采用以半徑長作為度量單位，把圓周的周長劃分成2π等份，把與其中一小份相對(duì)應(yīng)的圓心角叫作1弧度的角，它的單位是“rad”，讀作“弧度”.我們將這種用“弧度”作為單位來度量角的制度稱為弧度制.此時(shí)每一小份弧的長都等于半徑的長.如圖1，也有定義“把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角稱作1弧度的角”.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生通過類比定義1中度量角的方法嘗試對(duì)1弧度的角進(jìn)行定義，使得角度制和弧度制能夠很好的銜接.從本質(zhì)上看，這也和課本上所給的1弧度的角的定義是殊途同歸，實(shí)質(zhì)無異.從歷史演變的角度來看，與其說角度制和弧度制是度量角的制度，還不如說兩者都是度量圓的周長的制度.弧度制引入之后，角的大小實(shí)際上就是一個(gè)實(shí)數(shù)，能夠通過與其所對(duì)應(yīng)的圓弧長來表示.

歷史介紹 弧度的符號(hào)是由英文單詞radian前三個(gè)字母簡寫得來的.1875年愛爾蘭工程師湯姆森率先提出這個(gè)詞，radian其實(shí)是由“radius”（半徑）和“angle”（角）兩個(gè)英文單詞組合而成的.中國是于1935年在《數(shù)學(xué)名詞》一書中將英文單詞“radian”翻譯成了“弳（jing）”，“弳”是由漢字“弧”和“徑”組合而成的，表示圓心角的弧度數(shù)和弧長和半徑相關(guān)，由兩者一同決定.

設(shè)計(jì)意圖 通過數(shù)學(xué)史的介紹，讓學(xué)生對(duì)“弧度制”一詞的構(gòu)成有所了解，對(duì)圓弧、半徑與圓心角之間的關(guān)系也有了更加深入的認(rèn)識(shí).

3.5概念深化：弧度與角度之間的互化換算

問題5 從“形”上看，圓心角有正角、負(fù)角和零角之分，相應(yīng)的弧也有正弧、負(fù)弧和零弧之分，如-π，-2π.從“數(shù)”上來講，圓心角和弧的度數(shù)有正數(shù)、負(fù)數(shù)和零之分.實(shí)際上圓心角和弧的正負(fù)只是代表“角的不同方向”.根據(jù)1弧度角的定義，將圓的半徑設(shè)為r，弧長設(shè)為l，圓心角設(shè)為a，請(qǐng)問r，l和a這三者之間存在聯(lián)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖 根據(jù)1弧度角的定義，分析發(fā)現(xiàn)半徑為r，弧長為l，還有弧度數(shù)的絕對(duì)值|a|三者存在聯(lián)系，即為|a|=1/r中，對(duì)如何應(yīng)用1弧度角的定義有所領(lǐng)會(huì).

問題6 根據(jù)公式|a|=1/r可以分析得到：在角度制下的周角是360度，而在弧度制下卻是2π弧度;在角度制下的平角是180度，而在弧度制下卻是π弧度.你能發(fā)現(xiàn)角度制和弧度制二者之間的換算關(guān)系嗎？

說明：今后在用弧度制表示角時(shí)，通?？陕詫憜挝环?hào)“rad”或者“弧度”兩個(gè)字，只要將這個(gè)角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)寫出即可，如a=-5表示a是-5rad（弧度）的角;a=7表示的是7rad（弧度）的角.此外，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間可以直接建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.如圖2，每一個(gè)角都能在實(shí)數(shù)集R中找到與它對(duì)應(yīng)的唯一一個(gè)實(shí)數(shù)（即這個(gè)角的弧度數(shù)）;與此同時(shí)，實(shí)數(shù)也能在任意角的集合中找到與它對(duì)應(yīng)的唯一一個(gè)角（即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角）.

設(shè)計(jì)意圖 “我們?cè)人煜さ慕嵌戎七m用于初等數(shù)學(xué)以及各種實(shí)用幾何，而弧度制則適用于高等數(shù)學(xué).這種度量角度的單位，為面積與弧長的計(jì)算以及微積分中有關(guān)三角函數(shù)的計(jì)算，帶來了很大的方便.”通過弧度制和角度制比較，讓學(xué)生更加深刻體會(huì)到引入弧度制的簡捷性和優(yōu)越性.

3.7課堂小結(jié)和作業(yè)

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的新知識(shí)點(diǎn)、研究思路，并體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法;合理布置課后習(xí)題作業(yè).

4教學(xué)設(shè)計(jì)反思

在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中，以數(shù)學(xué)問題為載體，以思維發(fā)展為主線，將數(shù)學(xué)史融入到弧度制教學(xué)設(shè)計(jì)中，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷弧度制概念的發(fā)生發(fā)展過程，厘清弧度制概念的來龍與去脈，領(lǐng)會(huì)其發(fā)展過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，充分感受到弧度制引入的必要性、合理性和優(yōu)越性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)“弧度制”的不“糊涂”.具體地，有以下幾點(diǎn)教學(xué)反思：

4.1從數(shù)學(xué)史中尋找問題，感悟數(shù)學(xué)概念的本原和發(fā)展

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中遇到的問題，往往是數(shù)學(xué)家們經(jīng)過長期思考和探究后所克服的問題.數(shù)學(xué)發(fā)展史也是數(shù)學(xué)問題的解決史.因而，教師需善于從數(shù)學(xué)發(fā)展史尋找問題，并以學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平和知識(shí)儲(chǔ)備為基礎(chǔ)重新進(jìn)行問題創(chuàng)設(shè).在本案例概念引入環(huán)節(jié)，從學(xué)生習(xí)以為常的等式“sin30°=1/2”入手，由于30是60進(jìn)制的度量單位和1/2是十進(jìn)制的度量單位，為此出現(xiàn)了進(jìn)位制的不統(tǒng)一，思考如何統(tǒng)一度量單位和進(jìn)位制.通過這樣的概念引入方式，可以更深切的反映弧度制引入的必要性，凸顯了弧度制概念的生成.

4.2將數(shù)學(xué)史融入課堂，喚醒數(shù)學(xué)思維的生命活力

數(shù)學(xué)課堂不但要傳授基本知識(shí)、技能，還要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，只有學(xué)生積極參與，特別是學(xué)生數(shù)學(xué)的思維參與，學(xué)生才能愛數(shù)學(xué)、想學(xué)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué).本教學(xué)設(shè)計(jì)中，在回顧“1度角的定義”后，揭示最早人們定義“1度角”的方法，接著通過一系列的教學(xué)活動(dòng)，與學(xué)生一同經(jīng)歷弧度制概念的建構(gòu)過程，揭示弧度制統(tǒng)一度量單位的歷史背景.這里并不是為了數(shù)學(xué)史而講述數(shù)學(xué)史，而是讓學(xué)生在探索弧度制的發(fā)現(xiàn)過程中，真實(shí)觸摸其背后的文化內(nèi)涵，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶來的趣味和快樂.

4.3再現(xiàn)數(shù)學(xué)史的發(fā)展歷程，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈

數(shù)學(xué)的概念史有其深刻的歷史背景及來龍去脈，只有讓學(xué)生真正了解這些背景及來龍去脈，學(xué)生才能真正理解學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)概念的必要性和重要性.本案例中以數(shù)學(xué)教材為藍(lán)本，結(jié)合數(shù)學(xué)史對(duì)弧度制概念的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行再創(chuàng)造.從學(xué)生熟知的角度制出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考如何實(shí)現(xiàn)等式“sin30°=1/2”的左右進(jìn)位制的統(tǒng)一，以此激發(fā)學(xué)生思考問題的熱情，為學(xué)習(xí)弧度制在形式上和思路上做好鋪墊.再讓學(xué)生循著大數(shù)學(xué)家的足跡進(jìn)行探究，從印度的阿耶波多采用弧長表示半徑的方法，到瑞士數(shù)學(xué)家歐拉采用半徑長為單位度量圓周的方法，再到愛爾蘭工程師湯姆首創(chuàng)“弧度”一詞，在對(duì)弧度制概念一步一步還原的過程中，使學(xué)生真切地感受到數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史曲折性，了解數(shù)學(xué)家們?cè)谔剿髋c創(chuàng)造過程中不同的思維和最初定義的原理，揭示弧度制概念的來龍、去脈，領(lǐng)會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，更加深刻反映學(xué)習(xí)弧度制概念的必要性.